√

√𝟐 est IRRATIONNEL

On suppose que √2 est rationnel, c'est-à-dire qu'il s'écrit sous forme irréductible ^$_% avec 𝑝 et 𝑞 entiers naturels non nuls.

Quelques pistes et idées pour commencer…

1. Justifier que 𝑝⁽ = 2𝑞⁽.

………..

………..

2. Remplir ces tableaux :

𝑝 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑝⁽

𝑞 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2𝑞⁽

3. Si on a 𝑝⁽ = 2𝑞⁽, quelle est la seule possibilité ?

………..

………..

De quoi s'agit-il ?

Il s'agit, en fait, de démontrer que √2 n'est pas rationnel contrairement à ce que dit l'hypothèse car :

§ On va voir que les deux nombres p et q sont tous les deux pairs

§ Ce qui veut dire que la fraction ^$_% peut se simplifier en divisant par 2 et que ^$_% n'était pas dans une forme irréductible

§ En bref, on cherche à nous embrouiller On appelle cela une démonstration par l'absurde

Démonstration par l'absurde : qu’est-ce que c’est ??...

® On suppose que quelque chose est vraie.

® Puis on démontre qu'au bout du compte, ça ne tient pas la route

® Et que donc la seule possibilité c'est de considérer que l'hypothèse est fausse.

Démonstration :

Hypothèse de départ : supposons que √2 est rationnel.

On peut donc se ramener à une écriture de √2 sous la forme d’une fraction irréductible.

Il existe donc deux nombres 𝑝 et 𝑞 non-nuls et premiers entre eux (pas de diviseur commun) tels que √2 =

.

Ainsi 2=

Donc 𝑝² = 2𝑞² (*) Par le fait, 𝑝

est pair.

Or un nombre au carré garde sa parité, donc 𝑝 est pair.

Il existe donc un nombre 𝑎 non-nul tel que 𝒑 = 𝟐𝒂.

Ainsi, l’égalité (*) devient (2𝑎)

= 2𝑞

Donc 4𝑎

= 2𝑞

Donc 2𝑎

= 𝑞

Par le fait, 𝑞

est pair.

Or un nombre au carré garde sa parité. Donc 𝑞 est pair.

Il existe donc un nombre 𝑏 non-nul tel que 𝒒 = 𝟐𝒃.

Ainsi, 2 est un diviseur commun à 𝑝 et 𝑞, ce qui contredit l’hypothèse de départ : absurde !!

Donc √𝟐 est irrationnel !

CQFD.