E123 A la recherche de l'irrationnel. On définit la suite des entiers un

E123 A la recherche de l'irrationnel.

On définit la suite des entiers u_n par son premier terme u₁ = 1 et la formule de récurrence dans laquelle [...] désigne la partie entière par défaut.

Dans un deuxième temps, on détermine la suite des entiers v_n définie pour tout n ≥ 1 telle que v_n = u_2n+1 - 2u_2n-1

Démontrer que v_n est le n-ième chiffre dans la représentation binaire d’un nombre irrationnel que l’on déterminera. .

Solution :

Pour p entier, [√(2p(p+1))] = [(p+1/2)√2] car aucun entier n'a son carré compris entre

2p²+2p et 2p²+2p+1. On peut remplacer un+1 = [ √(2u n(u n+1))] par un+1 = [ (u n+1/2)√2] ou encore par un+1 = [ un√2 + 1/√2 ]

Les premiers termes de la suite des u_2n+1 sont : 1,3,6,13,27,54,109,218,437...

Les premiers termes de la suite des v_n sont : 1,0,1,1,0,1,0,1...

Le nombre qui en binaire s'écrit 1,0110101 vaut 1+1/4+1/8+1/32+1/128 = 181/128 = 1,4140625 Le nombre irrationnel mystérieux est probablement √2.

On va démontrer par récurrence que

u 2n+1 = 2ⁿ +[2^n-1/2 ] et u 2n+2 = 2ⁿ +[2^{n + 1/2} ]

Posons x=2ⁿ +[2^n-1/2 ], y=[x√2 + 1/√2], z=[y√2+1/√2]

et montrons que y =2ⁿ +[2^{n + 1/2} ] et z = 2ⁿ⁺¹ +[2^{n + 1/2} ].

Posons x=2ⁿ + h, avec h=[2^{n - 1/2} ] et m=[2^{n + 1/2} ], on aura m = 2h ou m = 2h+1.

Pour montrer que y = 2ⁿ + m, il faut montrer que 2ⁿ + m ≤ 2^{n + 1/2} + (2h + 1)/√2 < 2ⁿ + m + 1

La première inégalité se déduit de 2ⁿ + m ≤ 2^{n + 1/2} + m/√2 car m(1-1/√2)=m(√2-1)/√2 ≤ 2ⁿ (√2-1) et la seconde de 2^{n + 1/2} + (m+1)/√2 < 2ⁿ + m + 1 car (m+1)(1-1/√2) = (m+1)(√2-1)/√2 > 2ⁿ (√2-1) Pour montrer que z = 2ⁿ⁺¹ + m, il faut montrer que

2ⁿ⁺¹ + m ≤ (2ⁿ + m)√2 + 1/√2 < 2ⁿ⁺¹ + m + 1

La première inégalité se déduit de 2ⁿ √2(√2-1) < (m+1)(√2-1) < m(√2-1) + 1/√2 et la seconde de ( 2ⁿ √2 + 1/√2)( √2 – 1) >m(√2-1)

Partant de u 2n+1 = 2ⁿ +[2^{n - 1/2} ] on aboutit à u 2n+3 = 2ⁿ⁺¹ +[2^{n + 1/2} ] , et on peut vérifier pour les premiers termes : u1=1 = 2⁰ + [2^-1/2] ; u2= 2 = 2⁰ + [2^1/2] ; u3 = 3 = 2¹ + [2^1/2] ; u4 = 4 = 2¹ + [2^3/2] . Étudions v_n = u_2n+1 - 2u_2n-1 = 2ⁿ +[2^n-1/2 ] - 2.( 2^n-1 +[2^n-3/2 ] ) = [2^n-1/2 ] - 2.[2^n-3/2 ]

donc, pour n ≥1, v_n est le n-ième chiffre dans la représentation binaire de l'irrationnel √2

appendice :

j'avais un pendant un moment pensé à utiliser le « lemme 2 », avec a= √2 :

Si k est un entier, et a un réel strictement compris entre 1 et 2, et x = k/(a-1), alors [a[x]+a/2]=[ax].

trouvé à l'adresse http://www.mathpropress.com/stan/bibliography/recur.pdf