E123. A la recherche de l'irrationnel
On définit la suite des entiers par son premier terme et la formule de récurrence
dans laquelle [...] désigne la partie entière par défaut.
Dans un deuxième temps, on détermine la suite des entiers définie pour tout telle que
Démontrer que est le n-ième chiffre dans la représentation binaire d’un nombre irrationnel que l’on déterminera.
Solution proposée par David Amar
Propriété 1 : Soit un réel, le n-ième chiffre de la représentation binaire de est
Démonstration : On notera la représentation binaire de . On remarque que décale la virgule de nombres vers la gauche ; est donc égal à , est lui égal à et vaut . Dans le cas particulier où , on a juste Par conséquent
Propriété 2 :
Démonstration : implique qu’il existe un carré parfait entre et , or le premier est entier et le second est inférieur à l’entier suivant. Par conséquent
Propriété 3 : Résultat intermédiaire utile pour la suite,
Démonstration :
Propriété 4 : et Démonstration : on va faire une double récurrence.
Supposons que jusqu’au rang , on ait
Au rang , on a d’après la propriété 2 ; montrons alors que
(d’après la propriété 3)
(d’après la propriété 1, où vaut 0 ou 1 et est le n-ième chiffre de la représentation binaire de )
(puisque vaut 0 ou 1)
Or par définition, d’où le résultat.
Donc si , alors
Montrons maintenant que si , alors
On a , montrons alors que
Or, donc et De plus, donc CQFD.
Propriété 5 : est le n-ième chiffre de l’écriture binaire de
Démonstration : d’après la propriété 4 ; Or, d’après la propriété 1, c’est l’expression du n-ième chiffre de .
