Problème du mois n° E559 : Remonter à la source
Une suiteS0est définie par les six entiers1,2,3,4,5,6. On efface deux entiers quelconquesaetbet on les remplace par leur sommea+bet leur produitab. En poursuivant le processus aussi longtemps qu’on le souhaite, on obtient toujours une suite de six entiers tous positifs.
Parmi les trois suites
– S1:{15,50,60,125,153,900}, – S2:{42,203, 245,252,1372,15840}, – S3:{27,60,213,324,630,1960}, une seule a pour sourceS0.
Laquelle ?
Justifier votre réponse et reconstituer les étapes qui permettent de remonter à la source.
Soientset pla somme et le produit de deux réels aetb (a < b).
a=s−p
s2−4p
2 et b= s+p s2−4p 2
D’autre part, la somme et le produit de deux entiers naturels sont deux entiers naturels.
À partir de ces deux constatations élémentaires, il est possible de construire un algorithme simple pour remonter des suitesS1,S2etS3versS0: pour chaque couple (s, p) d’éléments deSi, on calculeaetbà l’aide des relations précédentes et on remplaceset pparaetbsi ces derniers sont des entiers positifs.
Par exemple, dans la suite {15,50,60,125,153,900}, 60 et 900 peuvent être remplacés par 30 et 30 pour obtenir la suite {15, 50,30,125,153,30}.
Dans cette nouvelle suite,125 et 30 peuvent être remplacés par 5 et 25... On peut également remplacer15 et 50 dansS1 par5 et 10. On obtient une autre
« filiation » pour la suite S1... Quels que soient la « filiation » considérée, on aboutit toujours à la suite{5,5,5, 5,30,153}. Pour cette dernière suite, il est impossible de prendre un couple de valeurs et le considérer comme somme et produit de deux entiers positifs.
1
Cet algorithme peut être exécuté avec un papier et un crayon. Toutefois, il est assez long et fastidieux. D’autre part, il s’implante aisément sur un tableur. Il suffit de quelques itérations pour constater que les suitesS1etS3ne conduisent pas à{1,2,3,4,5,6}.
Par contre, en remontant les différentes suites obtenues, on arrive aisément au résultat suivant (on remplace deux termes par leur somme et leur produit, puis on réordonne par ordre croissant) :
{1,2,3, 4,5,6} 7−→ {7,2,3,4,5,6}
{2,3,4, 5,6,7} 7−→ {7,3,4,10,6,7}
{3,4,6, 7,7,10} 7−→ {7,12,6, 7,7,10}
{6,7,7, 7,10,12} 7−→ {6,7,7,7,22,120}
{6,7,7, 7,22,120} 7−→ {28,7,7, 7,132,120}
{7,7,7, 28,120,132} 7−→ {35,7,7, 196,120,132}
{7,7,35,120,132,196} 7−→ {42,7,245,120,132, 196}
{7,42,120,132, 196,245} 7−→ {7,42,252,15840,196, 245}
{7,42,196,245, 252,15840} 7−→ {203,42,1372,245,252,15840}
{42,203,245,252, 1372, 15840}
La suiteS2a pour sourceS0
2
