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èmeCours : Notion de fonction
1 I Généralités
a) Notations et vocabulaire
Une fonction f permet d’associer à un nombre x un nombre unique noté f(x).
x est appelé la variable et f(x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x.
On note f : x
f(x) et on lit : « fonction f qui à x associe f de x».Exemples :
• Soit f la fonction qui à x associe le nombre 3x + 5.
On note f : x
3x + 5• Soit h la fonction qui à x associe le nombre x² - 1.
On note h : x
x² - 1.b) Image et antécédent Définitions :
Soit une fonction f : x
f(x). En posant f(x) = y, on dit que :• Le nombre f(x), ou y, est l’image de x par la fonction f ;
• x est un antécédent de y.
Exemples :
Pour la fonction f : x 3x + 5 : f(-2) = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1
Donc l’image de -2 par la fonction f est -1.
-2 est un antécédent de -1 par la fonction f.
Pour la fonction h : x x² - 1
h(-3) = (-3)² - 1 = 9 – 1 = 8 et h(3) = 3² - 1 = 8 Donc l’image de -3 par la fonction h est 8.
L’image de 3 par la fonction h est 8.
-3 et 3 sont des antécédents de 8 par la fonction h.
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2 c) Courbe représentative d’une fonction dans un repère
Définition :
Dans un repère, la courbe représentative, ou représentation graphique, d’une fonction f est formée de tous les points M de coordonnées (x ;y) avec y = f(x), pour toutes les valeurs de x telles que f(x) existe.
Exemple :
Soit la fonction f : x
x² - 1.Dans un repère, la courbe représentative
de f est constituée de tous les points M de coordonnées (x ;y) tels que y = x² - 1.• Tableau de valeurs associé à la fonction f pour x compris entre -2 et 3 :
x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 3 1,25 0 -0,75 -1 -0,75 0 1,25 3 5,25 8
• Le point A(2 ;3) appartient à la courbe
; en effet, f(2) = 2² - 1 = 3 (on obtient l’ordonnée du point A).• Soit un point B d’abscisse -2 appartenant à la courbe
. Son ordonnée est : f(-2) = (-2)² - 1 = 4 – 1 = 3.• Le point D(2,5 ;5) n’appartient pas à la courbe
. En effet, f(2,5) = 2,5² - 1 = 6,25 – 1 = 5,25.On n’obtient pas l’ordonnée du point D.
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3 II Détermination d’une fonction
a) Une fonction peut être déterminée par une expression littérale
Lorsqu’une fonction f est définie par une formule, on peut calculer précisément les valeurs de f(x) pour les valeurs envisagées du nombre x.
Exemple :
On peut calculer l’image de -4 par la fonction f : x
x( x – 2) f(-4) = -4×(-4 – 2) = 24Remarque :
A partir de la formule donnée pour une fonction, on peut aussi calculer les images de plusieurs nombres en utilisant un algorithme sur une calculatrice scientifique, ou une formule dans un tableur.
b) Une fonction peut être déterminée par sa courbe représentative La courbe représentative d’une fonction f permet de déterminer des valeurs approchées de l’image d’un nombre donné ou des antécédents d’un nombre par cette fonction.
Exemple :
La courbe tracée dans le repère ci-dessous représente une fonction f. A chaque valeur de x sur l’axe des abscisses correspond un seul nombre y sur l’axe des ordonnées tel que y = f(x).
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4 Par lecture graphique, on peut déterminer approximativement l’image d’un
nombre donné, ou les antécédents d’un nombre.
Par exemple, d’après le graphique :
• l’image de 0 est 3 et l’image de 1 est -1 ;
les nombres -0,5 et 0,5 sont les deux antécédents du nombre 2.
c) Tableau de valeurs d’une fonction
Un tableau de valeurs permet de connaître les valeurs prises par une fonction f pour certaines valeurs de la variable. On peut alors placer les points
correspondants dans un repère. Si l’on connaît suffisamment de valeurs, on peut les relier pour tracer, de façon approchée, la représentation graphique de cette fonction.
Exemple :
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la pression atmosphérique P, en hectopascal (hPa), en fonction de l’altitude a (en km).
Altitude a (en km)
0 1 2 3 5 7 8 10 15 20
Pression P (en hPa)
1000 900 800 700 550 410 360 260 130 55
On peut représenter graphiquement la fonction P : a
