ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019 S6 Semestre de Printemps
Epreuve : Analyse fonctionnelle Date : 2019
Heure : Dur´ ee : 1h30 Lieu :
Documents : non autoris´ es Epreuve de M. : Sueur Surveillants :
Coll` ege Sciences et technologies
Exercice 1 (sur 4 points)
SoitX un ensemble non vide. On consid`ered:X×X →Rtel qued(x, y) = 0 si x=y etd(x, y) = 1 six6=y.
a) Montrer quedest une distance.
b) Montrer que tout sous-ensemble deX est ouvert.
Correction
a) L’applicationdest bien `a valeurs positives, v´erified(x, y) = 0 si et seulement six=y, et d(x, y) =d(y, x) pour toutxet pour tout y. Enfin pour x, y, z ∈ X, on a bien d(x, y)6d(x, z) + d(y, z) car soitx=yet alors 06d(x, z) +d(y, z), soitx6=y et
alorsz est diff´erent d’au moins un des deux, ce qui assure que d(x, z) +d(y, z)>1.
b) Pour tout sous-ensembleAdeX, pour toutadansA, la boule de centreaet de rayon 1/2 co¨ıncide avec{a} et est donc bien inclus dansA.
Exercice 2 (sur 7 points)
a) Enoncer le th´eor`eme de point fixe de Banach-Picard pour les applications contractantes.
b) Donner deux exemples d’applications contractantes dans un es- pace de dimension infinie.
c) Donner la preuve du th´eor`eme de point fixe de Banach-Picard pour les applications contractantes.
Correction
On renvoie au cours pour l’´enonc´e et la preuve du th´eor`eme de point fixe de Banach-Picard pour les applications contractantes.
Les applications
T1:f ∈ C([0,1];R)7→ 1
2f ∈ C([0,1];R) (1) et
T2:f ∈ C([0,1];R)7→ 19
20f ∈ C([0,1];R) (2) sont deux exemples d’applications contractantes dans un espace de dimension infinie.
Exercice 3 (sur 3 points)
Donner la d´efinition d’une famille de fonctions ´equicontinues.
Donner deux exemples.
2
Correction
On renvoie au cours pour la d´efinition d’une famille de fonctions
´
equicontinues. Un premier exemple de famille de fonctions ´equicontinues est donn´e par un singleton de fonction continue.
De plus si l’on note f ∈ C([0,1];R) la fonction donn´ee par f(x) =xalors la famille{f,12f} est ´equicontinue.
Exercice 4 (sur 6 points)
Dans cet exercice on note H l’espace de Banach C0([0,1];R) des fonctions continues d´efinies sur [0,1] `a valeurs r´eelles muni de la norme
kfk:= sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
On note V l’application qui `a chaque f dansH associe la fonction V f deH d´efinie pourx∈[0,1] par
V f(x) :=
Z x
0
f(t)dt.
1. Montrer queV est lin´eaire et continu deH dansH.
2. On consid`ere une suite de fonctions (fn)nborn´ee dansH. Mon- trer que l’on peut extraire une sous-suite convergente de la suite (V fn)n.
Correction
1. On consid`ere deux fonctionsf etg deH, deux nombres r´eelsa etb. Pour toutx∈[0,1], on a
V(af+bg)(x) = Z x
0
(af+bg)(t)dt
=a Z x
0
f(t)dt+b Z x
0
g(t)dt
=aV(f)(x) +bV(g)(x).
DoncV est lin´eaire.
De plus, pour chaquex∈[0,1],
|V f(x)|6 Z x
0
|f(t)|dt6 Z x
0
kfkdt6 Z 1
0
kfkdt=kfk.
3
Par cons´equent,kV fk6kfkce qui implique queV est continu deH dansH.
2. Comme la suite (fn)n est born´ee dans H et que V est conti- nue, on d´eduit que la suite (V fn)n est born´ee dans H. Elle est donc en particulier ponctuellement born´ee. De plus, pour toutn, la d´eriv´ee deV fn estfn, donc la suite des d´eriv´ees des fonctions (V fn)n est born´ee dans H. Ainsi la suite (V fn)n est
´
equi-continue. L’espace de d´’epart de ces fonctions est l’inter- valle [0,1] qui est compact et l’espace d’arriv´ee est complet.
Ainsi le Th´eor`eme d’Ascoli peut s’appliquer. On obtient ainsi que la suite (V fn)n est relativement compacte, c’est-`a-dire que l’on peut en extraire une sous-suite convergente.
4
