ANNEE UNIVERSITAIRE 2018 / 2019 S6 Semestre de Printemps
Epreuve : Analyse fonctionnelle Date : 06/03/2019 14h-15h30 Lieu : A9 Amphi 1
Documents : non autoris´ es Epreuve de M. : Sueur
Coll` ege Sciences et technologies
Exercice 1
SoitX un ensemble non vide. On consid`ered:X×X →Rtel qued(x, y) = 0 si x=y etd(x, y) = 1 six6=y.
a) Montrer quedest une distance.
b) Montrer que tout sous-ensemble deX est ouvert.
Exercice 2
a) Enoncer le th´eor`eme de point fixe de Banach-Picard pour les applications contractantes.
b) Donner deux exemples d’applications contractantes dans un es- pace de dimension infinie.
c) Donner la preuve du th´eor`eme de point fixe de Banach-Picard pour les applications contractantes.
Exercice 3
Donner la d´efinition d’une famille de fonctions ´equicontinues.
Donner deux exemples.
Exercice 4
Dans cet exercice on note H l’espace de Banach C0([0,1];R) des fonctions continues d´efinies sur [0,1] `a valeurs r´eelles muni de la norme
kfk:= sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
On note V l’application qui `a chaque f dansH associe la fonction V f deH d´efinie pourx∈[0,1] par
V f(x) :=
Z x
0
f(t)dt.
1. Montrer queV est lin´eaire et continu deH dansH.
2. On consid`ere une suite de fonctions (fn)nborn´ee dansH. Mon- trer que l’on peut extraire une sous-suite convergente de la suite (V fn)n.
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