USTV- Master 1- Approximation des EDP 2016 Examen 09 mai 2016 - Documents non autoris´ es.
Dur´ ee 3 heures.
1. Alg`ebre lin´eaire:
SoitA la matrice deMN,N(R) suivante
A=Id+ 1 h2
2 −1 0 · · · 0
−1 . .. ... ... ... 0 . .. ... ... 0 ... . .. −1 . .. −1 0 · · · 0 −1 2
o`u hest un r´eel et Idla matrice identit´e de MN,N(R).
Montrer que la matriceA est d´efinie positive.
2. El´ements finis:
• Le triplet ([0,1],IP1,{p→p(0), p→p(1/2)}) est-il un ´el´ement fini?
• Le triplet ([0,1],IP2,{p→p(0), p→p(1), p→p(1/2)}) est-il un ´el´ement fini?
3. Probl`eme elliptique:
Soit f une fonction donn´ee de [0,1] dans R, f ∈ L2([0,1],R). On consid`ere le probl`eme variationnel suivant
Z 1 0
u2(x)v(x)−u1(x)w(x)dx+ Z 1
0
u01(x)v0(x) +u02(x)w0(x)dx= Z 1
0
f(x)v(x)dx, (1)
∀v∈HD1(0,1), ∀w∈HD1(0,1),
o`u HD1(0,1) ={v∈H1(0,1), v(0) = 0}.
(a) Justifier rigoureusement pourquoi le probl`eme (1) admet une unique solution dans (HD1(0,1))2. (b) Ecrire le syst`eme diff´erentiel v´erifi´e par la solution (u1, u2) de (1), sans oublier de pr´eciser
les conditions limites.
4. Approximation El´ement fini:
On propose d’approcher la formulation (1) par une m´ethode ´el´ement fini IP2.
(a) On se donne une discr´etisation uniforme du segment [0,1], xi = i h, pour 1 ≤ i ≤ N, avec h = N1. On note de plusxi+1
2 = (i+12)h. Proposer une approximation conforme de l’espace HD1(0,1) bas´ee sur une m´ethode ´el´ement fini IP2. On noteVh cet espace.
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(b) On note φi (1 ≤ i ≤ N) un ´el´ement de Vh tel que φi(xj) = δij et φi(xj−1
2) = 0, (1 ≤ j ≤ N). On note ψi (1 ≤ i ≤ N) un ´el´ement de Vh tel que ψi(xj−1
2) = δij et ψi(xj) = 0, (1≤j≤N).
Proposer, en le justifiant, une base deVh et donner sa dimension.
(c) Justifier que l’approximation propos´ee induit une unique solution approch´ee (uh1, uh2) et donner un r´esultat d’estimation d’erreur entre (u1, u2) et (uh1, uh2).
(d) Calculer la matrice ´el´ementaire associ´ee `a l’int´egrale: R1
0 u01(x)v0(x)dx.
(e) Proposer la construction d’un syst`eme lin´eaire permettant de trouver (uh1, uh2).
(f) Donner les propri´et´es de la matrice du syst`eme lin´eaire obtenu.
5. Probl`eme parabolique:
On consid`ere le probl`eme d’´evolution suivant , Z 1
0
∂tu1(t, x)v(x) +∂tu2(t, x)w(x) +u2(t, x)v(x)−u1(t, x)w(x)dx
+ Z 1
0
u01(t, x)v0(x) +u02(t, x)w0(x)dx= 0,
∀v∈HD1(0,1), ∀w∈HD1(0,1), pp. t >0 u1(0, x) =a(x), u2(0, x) =b(x).
(a) Proposer la discr´etisation en temps Euler implicite de cette ´equation avec un pas de temps not´eδt. On notera (U1n, U2n)n∈IN la suite g´en´er´ee.
(b) En s’inspirant de l’exercice 3, montrer que la suite (U1n, U2n)n∈IN est bien d´efinie.
(c) Montrer que la suite de fonctions (U1n, U2n)n∈IN est uniform´ement born´ee dansL2(0,1).
(d) On munitL2(0,1) de la normek.k. Donner une borne pour la quantit´e
δt
M−1
X
n=1
k∂xU1nk2+k∂xU2nk2.
(e) On consid`ere de plus une discr´etisation en espace par la m´ethode ´el´ement fini IP2 pro- pos´ee `a l’exercice 3. On note (U hn1, U hn2)n∈IN la suite de vecteurs ainsi construite.
Etendre les bornes obtenues pr´ec´edemment `a la suite (U hn1, U hn2)n∈IN.
(f) Ecrire en langage matlab/scilab l’algorithme de r´esolution de ce probl`eme d’´evolution (discr´etisation implicite en temps et ´el´ement fini IP2 en espace).
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