Examen d’analyse complexe (3M266) Mai 2016.

Universit´e Pierre et Marie Curie Licence de Math´ematiques L3

Examen d’analyse complexe (3M266) Mai 2016.

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Dur´ee : 2 heures.

Exercice 1. Enoncer pr´ecis´ement

(a) la d´efinition d’une fonction holomorphe, (b) le principe des z´eros isol´es,

(c) le th´eor`eme de Liouville.

Exercice 2. On se place sur le disque unit´e D = {z ∈ C/|z| < 1}. Soit f une fonction holomorphe sur D, telle que : f(D) ⊂ D. Elle est donn´ee par son d´eveloppement en s´erie enti`ere : ∀z∈D, f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ.

(a) Pour 0 ≤ r < 1, on note l(r) = Z 2π

0

|f(re^it)|²dt. Apr`es avoir justifi´e son existence, montrer quel(r) v´erifie la formule :

l(r) = 2π

∞

X

n=0

|a_n|²r²ⁿ.

(b) Prouver l’in´egalit´e :

∞

X

n=0

|a_n|²≤1.

(c) En d´eduire que |f⁰(0)| ≤1.

(d) Montrer que|f⁰(0)|= 1 si et seulement s’il existe un r´eel β tel que

∀z∈D, f(z) =e^iβz.

(e) Soitu∈D. Montrer que l’application h:z 7→ z+u

¯

uz+ 1 est un automorphisme de D.

(f) Prouver l’in´egalit´e :

∀u∈D, |f⁰(u)| ≤ 1− |f(u)|² 1− |u|² .

Indication : si ϕ et ψ sont des automorphismes de D tels que ϕ(0) = u et ψ(f(u)) = 0, consid´erer l’application g=ψ◦f◦ϕ.

1

2

Exercice 3. On s’int´eresse `a :F(z) = Z ∞

0

t⁻³⁴e^−ztdt, z∈C. (a) Domaine de d´efinition.

(i) Pour quelles valeurs du nombre complexez l’int´egraleF(z) est-elle ab- solument convergente ?

(ii) Pour quelles valeurs de z, la limite, quandR →+∞, de Z R

0

t⁻³⁴e^−ztdt existe-t-elle ?Indication : transformer l’int´egrale

Z R

1

t⁻³⁴e^−ztdt `a l’aide d’une int´egration par parties.

(iii) Que peut-on en d´eduire concernant le domaine de d´efinition deF? (b) R´egularit´e

(i) Montrer que F est holomorphe sur l’ouvert Ω ={z∈C,Re(z)>0} et exprimer sa d´eriv´eeF⁰ sous la forme d’une int´egrale.

(ii) Montrer que F d´efinit une fonction continue sur Ω\{0}. Indication : comme `a la question (a) (ii).

(c) Calcul et prolongement.

(i) Montrer que :

∀z∈Ω, F⁰(z) =−F(z) 4z .

(ii) Calculer F(x) pour x > 0. On pourra utiliser la valeur en un point convenable de la fonction Γ, d´efinie par

Γ(s) = Z ∞

0

t^s−1e^−sds.

(iii) SoitV =C\]− ∞,0]. Justifier l’existence et l’unicit´e d’une fonctionG, holomorphe surV, telle que

∀x >0, G(x) =x⁻¹⁴. On explicitera Gavec pr´ecision.

(iv) CalculerF(z), pourz∈Ω.

(v) Prouver queFse prolonge en une fonction holomorphe surV. Ce prolon- gement est-il unique ? Peut-on prolongerF en une fonction holomorphe sur un ouvert de Ccontenant strictementV ?

(vi) Evaluer les int´egrales C= Z ∞

0

t⁻³⁴ cos(t)dt etS= Z ∞

0

t⁻³⁴sin(t)dt.