Primitives. Chapitre 16 Primitives. Exercices

Primitives

Exercice 1

Soit f et g les fonctions définies sur ]0 ;+∞[ par f (x)=lnx et g(x)=xlnx−x. 1. Démontrer que g est une primitive de f .

2. Déterminer la primitive de f qui s'annule en x=1 . Exercice 2

Soit f et g les fonctions définies sur ]−1;+∞[ par f (x)=ln(x+1) et g(x)=(x+1)ln(x+1)−x.

1. Démontrer que g est une primitive de f .

2. Déterminer la primitive de f qui s'annule en x=0 . Exercice 3

Soit f et g les fonctions définies sur ℝ par f (x)=xsinx et g(x)=sinx−xcosx . 1. Démontrer que g est une primitive de f .

2. Déterminer la primitive de f qui s'annule en π. Exercice 4

Soit f et g les fonctions définies sur ℝ par f (x)=3 cos³x et g(x)=3 sinx−sin³x. 1. Démontrer que g est une primitive de f .

2. Déterminer la primitive de f valant 0 en π 2 . Exercice 5

Soit f et F les fonctions définies sur ]0 ;+∞[ par f (x)=2 lnx

x et F(x)=(lnx)². 1. Démontrer que F est une primitive de f .

2. En déduire une primitive sur ℝ^+* de la fonction g définie sur cet intervalle par g(x)=lnx x . Exercice 6

Soit f et F les fonctions définies sur ℝ par f (x)=3xe^−3x et F(x)=

(

)

1. Démontrer que F est une primitive de f .

2. Soit g la fonction définie sur ℝ par g(_x)_=xe^−3x. Déterminer la primitive de g sur ℝ valant 2 en x=1 .

Exercice 7

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (_x)_=xe^x₊₄.

Déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie sur ℝ par F(x)=(ax+b)e^x+4 soit une primitive de la fonction f .

Exercice 8

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=e^x−3x²+8x−1 . Déterminer la primitive de la fonction f qui s'annule pour x=−1 .

a. Montrer que f admet pour primitive la fonction F définie par F(_x)_=sin(_2x+3)_{+x +50}. b. Donner deux autres primitives de f .

2. Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x)= x (x+1)² .

a. Montrer que g admet pour primitive la fonction G telle que G(x)=ln(x+1)+ 1 x+1 . b. La fonction H définie par H(x)=ln(10x+10)+ x+2

x+1 est-elle une primitive de g ? Exercice 10

Soit F et G les fonctions définies sur ]1;+∞[ par F(x)=x²+3x−1

x−1 et G(x)= x²+7x−5

x−1 .

1. Montrer que les fonctions F et G sont deux primitives de la même fonction f sur ]1;+∞[. 2. Aurait-on pu prévoir ce résultat ?

Exercice 11

Démontrer dans chacun des cas suivants que la fonction F est une primitive de f sur I . 1. f (x)=2(x⁴−1)

x³ et F(x)=x²+ 1

x² sur I=]0;+∞[ . 2. f (x)= 1

1+e^x et F(x)=x−ln(1+e^x) sur I=ℝ. 3. f (x)= 1

xlnx et F(x)=ln(lnx) sur I=]1 ;+∞[. 4. f (x)=cosx−xsinx et F(x)=xcosx sur I=ℝ. Exercice 12

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)=3 2. f (x)=5x 3. f (x)=7

2 x−3 4. f (x)=2x²+5x−8 5. f (x)=2x⁴+5x³−8x 6. f (x)=x²+2

x 7. f (x)=x⁴−4x³+x²−4x+3 8. f (x)=x²−2x+1

3 9. f (x)=−3x²− 2

x 10. f (x)=− 1

x³+ 4

x²−1 11. f (x)=2x³+x²−5x+1

x 12. f (x)=1− 1

x³ 13. f (x)=2x³+x²−5x+1

x² 14. f (x)=4

x+2 e^x 15. f (x)=x³+ x² 6 −7 16. f (x)=4x³−3e^x− 1

√

3+4x

Exercice 13

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)=6 cosx−5sinx 2. f (x)=−7x²+ 4

x³−2 ln(x) 3. f (x)= 2

√

√

x 5. f (_x)_{=3 e}^x+x²+x⁴ 6. f (x)=1 x+e^x 7. f (x)=−3

x−1

2e^x+7 lnx 8. f (x)= 1

2

√

7

x²+lnx 8 Exercice 14

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)=cos2x 2. f (x)=sin 3x 3. f (x)=sin

(

)

4. f (x)=6 cos

(

)

(

)

(

)

7. f (x)=cos

(

)

_√

2 9. f (x)=5sin(9x+5) Exercice 15

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)=(x+2)³ 2. f (x)=4x(6x²+1) 3. f (x)=x²(x³−1)² 4. f (x)=2x(3x²−1)³ 5. f (x)=sinxcosx 6. f (x)=2x(1+x²)⁵ 7. f (x)=(x−1)⁵

3 8. f (x)=

(

)

10. f (x)=x⁷(x⁸−1)⁶ 11. f (x)=(x³+2x)(x⁴+4x²+1)¹⁰ 12. f (x)=x

√

Exercice 16

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)= 2

(x+4)³ 2. f (x)= x−1

(x²−2x−3)^{2 3. f (x)=}

1 (3x−1)² 4. f (x)= x³+1

(x⁴+4x+1)^{2 5. f (x)=}

4x²

(x³+8)^{3 6. f (x)=}

2x−1 (x²−x+3)² 7. f (x)= 4

(2x−4)⁴ 8. f (x)= sinx

cos²x 9. f (x)=− 16

(x−5)² 10. f (x)= e^x

(e^x+1)^{3 11. f (x)=}

1

(3x+1)⁴ 12. f (x)= x (x²−1)⁶

d'intégration.

1. f (x)= 1

x−4 2. f (x)= 2

3x+5 3. f (x)=ln(x)

x 4. f (x)= 16x+4

4x²+2x+1 5. f (x)=sinxcosx

cos²x+1 6. f (x)= 3

x−4 7. f (x)= e^x

e^x+1 8. f (x)=2x−1

x²−x 9. f (x)= 2x+1

x²+x+1 10. f (x)= x²

x³+1 11. f (x)= x⁴

x⁵+3 12. f (x)=tanx Exercice 18

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)= 2

√

√

5 2

√

√

x

√

e^x

√

7. f (x)= x³

√

2x+1

√

8x

√

Exercice 19

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (_x)_=e^x+1 2. f (_x)_=e^−x+2 3. f (x)=xe⁻

x² 2

4. f (_x)_{=−6 e}^2x+1 5. f (x)=x²e^x3 6. f (_x)_=e^{xln 4} 7. f (x)=e^7x+2+3 e^−2x 8. f (x)=2 e^3x−2 9. f (x)=sinxe^cosx

10. f (x)=6xe^x2+1 11. f (x)=x³e^2x4 12. f (x)=e^3x+1

Exercice 20

Dans chacun des cas, trouver la primitive des fonctions f suivantes qui vérifient la condition donnée sur un intervalle I à préciser.

1. f (x)=x⁴+3x²−4x+1 et F(2)=0 2. f (x)= 2

x²+x et F(1)=0 3. f (x)= 1

(2x+1)² et F(0)=0 4. f (x)=− 1

3−x et F(1)=1 5. f (x)=e^3x+1 et F(−1)=0 6. f (x)=xe^−x2 et F(

√

(x²−1)^{2 et F(0)=0 8. f (x)=}

1

x−1+ 1

x+1 et F(2)=0

(

) (

)

(

)

Exercice 21

Dans chacun des cas, déterminer une primitive des fonctions f suivantes en précisant l'ensemble d'intégration.

1. f (x)= x²

x³−1 2. f (x)=cosx

sinx 3. f (x)= 1

x² e⁻

2 x

4. f (x)=xcosx−sinx

x² 5. f (x)=lnx−1

x² 6. f (x)=lnx

x 7. f (x)= 1

xlnx 8. f (x)=e^x−e^−x

e^x+e^−x 9. f (x)=cosx+cos²x Exercice 22

Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=2x²+3x+2

x+1 .

1. Démontrer que pour tout x∈[0 ;+∞[, f (x)=2x+1+ 1 x+1 . 2. En déduire une primitive de la fonction f sur [0 ;+∞[. Exercice 23

Soit f la fonction définie sur ]3 ;+∞[ par f (x)= 2x−7 x²−2x−3 . 1. Démontrer que pour tout x∈]3 ;+∞[, f (x)= 2x−2

x²−2x−3+ a

x+1+ b x−3 . 2. En déduire une primitive de la fonction f sur ]3 ;+∞[ .

Exercice 24

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x⁴−x³+4x²+3 x²+1 . 1. Démontrer que pour tout réel x, f (x)=x²−x+3+ x

x²+1 . 2. En déduire une primitive de la fonction f sur ℝ.

3. Déterminer la primitive de f dont la courbe représentative passe par le point A(0 ;−1). Exercice 25

1. Soit la fonction f définie sur

]

[

2x+1 . En déduire une primitive de f . 2. Soit la fonction f définie sur ]2 ;+∞[ par f (x)=2x²−3x−4

x−2 .

Montrer qu'il existe (a;b;c)∈ℝ³ tel que f (x)=ax+b+ c

x−2 . En déduire une primitive de f .

(x−3)(x+3) Montrer qu'il existe (a;b)∈ℝ² tel que f (x)= a

x−3+ b x+3 .

En déduire une primitive de f sur [3 ;+∞[, sur ]−3;3[ et sur ]−∞;−3[ . 2. Soit la fonction f définie sur ]1;+∞[ par f (x)=x²+x+1

(x²−1)^{2 .} Montrer qu'il existe (a;b)∈ℝ² tel que f (x)= a

(x−1)²+ b

(x+1)² . En déduire une primitive de f . Exercice 27

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive des fonctions f ci-dessous en précisant la méthode utilisée).

1. f (_x)_=sinxcos⁴_x 2. f (x)=lnx

x 3. f (_x)_=e^−2x+6

4. f (_x)_=x²_cosx 5. 1

√

cosx+sinx 7. f (x)=tan(2x−1) 8. f (x)=(x+1)sin 3x 9. f (x)= 1

tanx 10. f (x)=2x−1

4x 11. f (x)= 1

x² e

1

x 12. f (x)=2xe^x2

13. f (x)=4 sin(3x)cos(3x) 14. f (x)=cosxsin²x 15. f (x)= 2x 1−x² 16. f (x)= x+1

x²−1 17. f (x)=(x²−4)

√

19. f (x)= e^x

1−e^x 20. f (x)= x

√

2e^x