Etant donn´ ´ ee une fonction f , on veut estimer la d´ eriv´ ee f 0 de f en un point x.

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ erivation num´ erique

Vincent Nozick

Vincent Nozick D´erivation num´erique 1 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ erivation num´ erique

Probl´ ematique :

Etant donn´ ´ ee une fonction f , on veut estimer la d´ eriv´ ee f ⁰ de f en un point x.

Vincent Nozick D´erivation num´erique 2 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ erivation num´ erique

Fonctions ´ etudi´ ees :

• fonctions analytiques

(fonctions dont on connait la formule) R → R , continues et d´ erivables

• fonctions non analytiques, mais ´ evaluables en n’importe quel point.

• un ensemble de points repr´ esentant une fonction suppos´ ee continue.

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ erivation num´ erique

Applications :

• R´ esolution de syst` emes physiques

• Traitement d’image ou du signal

• ...

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee

f ⁰ (x ₀ ) = lim

x→x

0

f(x) − f (x ₀ ) x − x ₀

Vincent Nozick D´erivation num´erique 5 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee

f (x) − f (x ₀ ) x − x ₀

| {z }

d´ eriv´ ee

ressemble ` a f (x _B ) − f(x _A ) x _B − x _A

| {z }

coefficient directeur d’une droite

Vincent Nozick D´erivation num´erique 6 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul de la d´ eriv´ ee

Si on a la formule analytique de la fonction, on peut la d´ eriver en utilisant des m´ ethodes de calcul formel (maple/mupad).

Et si on ne l’a pas ? → on peut en faire une estimation.

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee

la formulation :

f ⁰ (x ₀ ) = lim

x→x

₀

f (x) − f (x ₀ ) x − x ₀ est ´ equivalente ` a :

f ⁰ (x ₀ ) = lim

h→0

f(x ₀ + h) − f (x ₀ )

h

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee avant

f ⁰ (x ₀ ) ' f (x ₀ + ∆x) − f (x ₀ )

∆x

Vincent Nozick D´erivation num´erique 9 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee arri` ere

f ⁰ (x ₀ ) ' f(x ₀ ) − f (x ₀ − ∆x)

∆x

Vincent Nozick D´erivation num´erique 10 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee centr´ ee

f ⁰ (x ₀ ) ' f (x ₀ + ∆x) − f (x ₀ − ∆x) 2∆x

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ee centr´ ee

f ⁰ (x ) ' f (x ₀ + ∆x) − f (x ₀ − ∆x)

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

Formule de Taylor :

f (x) = f (a) + f ⁰ (a)(x − a) + f ⁰⁰ (a)

2! (x − a) ² + ...

Vincent Nozick D´erivation num´erique 12 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x) = f(a) + f ⁰ (a)(x − a) + f ⁰⁰ (a)

2! (x − a) ² + ...

changement de variable : x ← x ± ∆x a ← x

f (x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f (x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

Vincent Nozick D´erivation num´erique 13 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x) = f (a) + f ⁰ (a)(x − a) + f ⁰⁰ (a)

2! (x − a) ² + ...

changement de variable : x ← x ± ∆x a ← x

f(x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f(x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x) = f(a) + f ⁰ (a)(x − a) + f ⁰⁰ (a)

2! (x − a) ² + ...

changement de variable : x ← x ± ∆x a ← x

f(x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f (x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x) = f (a) + f ⁰ (a)(x − a) + f ⁰⁰ (a)

2! (x − a) ² + ...

changement de variable : x ← x ± ∆x a ← x

f (x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f (x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

Vincent Nozick D´erivation num´erique 13 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f(x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f(x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• ^{f(x + ∆x) − f (x)}

∆x = f ⁰ (x) + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ¹ + ...

• d´ eriv´ ee avant

• ∆x ¹ → ordre 1

Vincent Nozick D´erivation num´erique 14 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f (x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• ^{f (x + ∆x)} _∆x ^{− f (x) = f 0 (x) + f 00} _2! ^{(x) ∆x 1 + ...}

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f(x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f(x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• ^{f(x) − f} _∆x ^{(x − ∆x) = f 0 (x) − f 00} _2! ^{(x) ∆x 1 + ...}

• d´ eriv´ ee arri` ere

• ∆x ¹ → ordre 1

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f (x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• ^{f (x) − f (x − ∆x)}

∆x = f ⁰ (x) − f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ¹ + ...

• d´ eriv´ ee arri` ere

• ∆x ¹ → ordre 1

Vincent Nozick D´erivation num´erique 15 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f(x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f(x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• − • ^{f (x + ∆x) − f (x − ∆x) = 2f 0 (x)∆x + 2 f 000 (x)}

3! ∆x ³ + ...

f (x ₀ + ∆x) − f (x ₀ − ∆x)

2∆x = f ⁰ (x) + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ² + ...

• d´ eriv´ ee centr´ ee

• ∆x ² → ordre 2 (plus pr´ ecis)

Vincent Nozick D´erivation num´erique 16 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f (x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f (x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• − • ^{f(x + ∆x) − f (x − ∆x) = 2f 0 (x)∆x + 2 f 000 (x)}

3! ∆x ³ + ...

f(x ₀ + ∆x) − f (x ₀ − ∆x)

2∆x = f ⁰ (x) + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ² + ...

• d´ eriv´ ee centr´ ee

• ∆x ² → ordre 2 (plus pr´ ecis)

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

f(x + ∆x) = f (x) + f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

f(x − ∆x) = f (x) − f ⁰ (x)∆x + f ⁰⁰ (x)

2! ∆x ² − f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ³ + ...

• − • ^{f (x + ∆x) − f (x − ∆x) = 2f 0 (x)∆x + 2 f 000 (x)}

3! ∆x ³ + ...

f (x ₀ + ∆x) − f (x ₀ − ∆x)

2∆x = f ⁰ (x) + f ⁰⁰⁰ (x)

3! ∆x ² + ...

• d´ eriv´ ee centr´ ee

• ∆x ² → ordre 2 (plus pr´ ecis)

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Calcul d’erreur

Bilan:

d´ eriv´ ee avant : f ⁰ (x) ' f(x ₀ + ∆x) − f(x ₀ )

∆x ordre 1

d´ eriv´ ee arri` ere : f ⁰ (x) ' f(x ₀ ) − f (x ₀ − ∆x)

∆x ordre 1

d´ eriv´ ee centr´ ee : f ⁰ (x) ' f(x ₀ + ∆x) − f(x ₀ − ∆x)

2∆x ordre 2

Vincent Nozick D´erivation num´erique 17 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ees partielles

Soit une fonction f ` a plusieurs variables de R ⁿ 7→ R ^m :

f : x =









 x ₁ x ₂ .. . x _n









 7−→











f ₁ (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n ) f ₂ (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )

.. .

f _m (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )











D´ efinition:

La d´ eriv´ ee partielle de f est la d´ eriv´ ee par rapport ` a l’une de ses variables, les autres ´ etant gard´ ees constantes.

Vincent Nozick D´erivation num´erique 18 / 21

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ees partielles

f : x =









 x ₁ x ₂ .. . x _n









 7−→











f ₁ (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n ) f ₂ (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )

.. .

f _m (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )











Exemple:

∂f (x)

∂x _i

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

D´ eriv´ ees partielles

En pratique :

∂f (x)

∂x _i ' f (x + ∆x _i ) − f (x)

δx _i avec ∆x _i =















 0

.. . δx _i

.. . 0

















il est conseill´ e de choisir : δx = max min(x .10 ⁻⁴ , 10 ⁻⁶ ), 10 ⁻¹⁵

Introduction D´eriv´ee Estimation Calcul d’erreur D´eriv´ees partielles

Matrice jacobienne

f : x =









 x ₁ x ₂ .. . x _n









 7−→











f ₁ (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n ) f ₂ (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )

.. .

f _m (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n )











D´ efinition:

La matrice jacobienne J est la matrice des d´ eriv´ ees partielles du premier ordre d’une fonction vectorielle f .

J = ∂(f ₁ , . . . , f _m )

∂(x ₁ , . . . , x _n ) =







∂f

1

∂x

1

· · · _∂x ^∂f

¹

..

n

. . .. .. .

∂f

m

∂x

1

· · · ^∂f _∂x

^m

n







Vincent Nozick D´erivation num´erique 21 / 21