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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

de Haan, M. (1973). Le modèle de Lee dans la dynamique causale (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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V BIBLIOTHEQUE de MATHEMATIQUES et de PHYSIQUE

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTÉ DES SCIENCES

Service de Ctiimie-Physique ii

LE MODÈLE DE LEE

DANS LA DYNAMIQUE CAUSALE.

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Thèse présentée pour l’obtention du grade légal de

Docteur en Sciences Physiques

Michel de HAAN

Thèse Annexe

Il serait intéressant d'étudier l’application de la théorie des transformations non unitaires au gaz classique dans le domaine linéaire,

BIBLIOTHEQUE d0 MATHEiVlATIQUES et de PHYSIQUE

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTÉ DES SCIENCES

Service de Chimie-Physique II

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VMO I

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LE MODÈLE DE LEE

DANS LA DYNAMIQUE CAUSALE.

Thèse présentée pour l’obtention du grade légal de

Docteur en Sciences Physiques

Michel de HAAN

Que Monsieur le Professeur Prigogine veuille bien trouver loi l’expression de ma reconnaissance pour m’avoir accueilli au sein de l’équipe de recherche qu’il Inspire par son dynamisme, son ouverture d’esprit et son sens critique très développé.

Les années passées dans une telle atmosphère ne peuvent que marquer profondément l'esprit d’un jeune chercheur.

Je dois beaucoup à Madame le Professeur Jeener- Henln qui a guidé mes premiers pas dans la recherche scienti­

fique, A l'occasion de travaux effectués en sa collaboration et qui sont à la base de cette thèse, j'al pu apprécier sa grande compétence et sa rigueur scientifique.

Je la remercie de m'avoir fait bénéficier de son expérience dans la mise au point définitive de cette thèse.

C'est un plaisir de remercier Monsieur le

Professeur George pour les discussions nombreuses et fructueuses que nous avons eues ensemble. C'est avec une très grande

gentillesse qu’il a guidé avec Intelligence la rédaction de cette thèse.

Je remercie ma femme pour les conseil en program­

mation qu'elle m'a prodigués et pour l’aide apportée à la publication de cette thèse.

Je remercie tous les membres du service de

Chimie-Physique II et du Center for Statlstlcal Mechanlcs and Thermodynamlcs (Austln, Texas] pour nos nombreux échanges d'idées dans un climat toujours cordial.

Je remercie Mademoiselle Galland, Madame Dereumaux et Monsieur Klnet pour leur amabilité et le soin apporté

à la réalisation de ce travail.

452675

T.1

TABLE DES MATIERES

□

.

I . II . III . IV . V.

VI .

VII.

VIII . IX . X . XI . XII . XIII.

XIV . XV . XVI .

XVII . AI . AU . AIII . AIV.

AV . AVI.

AVII . B .

Introduction

Introduction aux transformations star-unitaires

Propriétés formelles de l'espace des superopérateurs Grandeurs fondamentales

û

Sous-dy.namique - Propriétés fondamentales Schéma de construction - Règle des ^

Equivalences entre les représentations et équation deMandel-Turner

Présentation dumodèle deLee

Préparation à la construction des sous-dy namiques Méthode d es p i n c eme n ti. Singularités de

Construction de

Construction de la sous-dynamique Construction des sous-dynamiques

Détermination de la transformation physique causale Résolution des équations cinétiques. Invariants.

Energie de l’état instable

Equivalence entre la représentation phy s 1que et la représentation initiale.

Conclusions, _O

Existence de )

Nature des singu 1 ar11és de

11 11

n

iK

Expression de Identités Expression de Expression de Expression de Bibliographie,

n

J2 (9 Hy 11

R '3 ^11

G . 1 .

INTRODUCTION.

Le propos de la mécanique statistique est d’établir le lien entre la description md.croscopique de la matière, en termes des grandeurs de la

thermodynamique, et sa description macroscopique en

termes des grandeurs de la dynamique. Pour l'équilibre, ce but est atteint : la mécanique statistique d’équi­

libre exprime les potentiels thermodynamiques en fonction de l’hamiltonien du système, donnée micros­

copique. Les problèmes encore en suspens dans ce domaine ne le sont que du fait de la comp1exité des techniques de calcul à utiliser dans le traitement des systèmes à N corps.

La situation est tout à fait différente en mécanique statistique de non-équilibre : l’expression microscopique de l’entropie se heurte encore à des difficultés conceptuelles. Comment concilier, en effet, l’irréversibilité au niveau macroscopique de la thermodynamique avec la symétrie pour le retourne­

ment du temps des équations de mouvement microscopique [par exemple, l’invariance des équations de Newton sous la transformation t - t ] ?

L’école de. Bruxelles dirigée par I. Prigoglne a publie de nombreux travaux a ce sujet et ils apportent des éléments de réponse à ce dilemne.

Il y est introduit un nouveau type de transformations, appelées star-unitaires, qui brisent la symétrie

temporelle des équations d’évolution , tout en conservant une description exacte et complète du système. Ces transformations diffèrent des transfor­

ma t 1 o n s u ni t ai re s lorsque certaines conditions,

caractéristiques des grands systèmes, sont remplies.

0

.

²

.

Pour l’application des transformations star-unitaires, on exige, entre autres que l’opérateur d’évolution possède un spectre continu et qu’uncertain nombre de grandeurs telles que l’opérateur de collision

existent et soient analytiques. Des exemples de tels systèmes sont considérés en mécanique statistique ; on peut vérifier dans le cadre d’un calcul de pertur­

bation qu’à la limite thermodynamique (on fait tendre le nombre de particules et le volumeLqui les contient ,1 vers l’infini en conservant leur rapport constant]

ces systèmes satisfont aux conditions énoncées et les transformations star-unitaires peuvent y être définies.

cept de transformations star-unitaires pour un modèle 6 ] bien connu en théorie des champs : lemodèle de Lee dans le secteur à une particule. Les méthodes

développées à Bruxelles peuvent lui être appliquées grâce à la continuité de son spectre. La présence d’un

la transformation starunitaire n’y est pas réductible à une transformation unitaire. La solubilité du modèle permet une resommation du calcul de perturbation. Le

mécanisme habituel de construction est alors généralisé pour s’affranchir du cadre des développements en puissance de l’interaction grâce notamment à l’emploi de convolution pour représenter la résolvante et à l’usage de techniques appropriée

(techniques de pincements] pour y repérer les singularités.

application au modèle de Lee constituent les deux grandes parties de notre thèse, L’étude de ce modèle soluble nous permettra eh effet d'apporter des précisions au formalisme

exemple simple de système présentant une particule instable, Il nous a semblé intéressant d’analyser le con­

opérateur de collision non nul nous montre que

La présentation du formalisme général et son

général et, d’autre part, le modèle de Lee constitue un

Dans la première partie, en plus des rappels indispen­

sables à une bonne compréhension de notre travail, et pour lesquels nous renverrons aux articles originaux pour plus de détails, nous insisterons sur certains aspects du formalisme peu développés dans la littérature mais dont notre travail a montré l’importance.

L’étude d’un modèle simple permet en effet d’intéressan­

tes réflexions menant à une. meilleure compréhension du forma­

lisme général. C’est ainsi que nous sommes amehésà préciser le lien étroit entre la causalité, les propriétés spectrales des opérateurs de collision et la " règle des f " introduite par Cl, George^^ pour la construction des transformations-

star-unitaires. Ces considérations nous permettent en particu­

lier de formuler l’utilisation de la règle lorsqu’on étudie la symétrie L -» -L [ L. est le liouvllllen du système).

Les conditions d’analycité habituellement imposées à l’opérateur de collision, qui sont des conditions commodes pour l’applicatlon du formalisme général, ne sont pas vérifiées pour le modèle de Lee. CeS conditions s’introduisent naturellement dans le formalisme général en raison de l’optique perturbative de l’approche. Nous montrons donc que la théorie générale n'est pas limitée par ces conditions d’analycité sans qu’il, soit présentement possible de formuler des conditions nécessai­

res et suffisantes,

Ensuite, nous établissons l’équivalence entre plusieurs constructions pour les sou s-dynamiques qui ont été introduites par Prigoglne, George, Henin^^^^^\ Chacune de ces construc­

tions mettra en évidence un caractère" propre d^ sous-dynamlqueg et le schéma de transformation qui les relie est l’objet d’une ' étude détaillée.

0.4

Il est clair cependant que toutes les caractéristiques des problèmes à N-corps ne sont pas présentes dans le modèle s

la limite thermodynamique proprement dite n’y est pas abordée

I î

mais est remplacée simplement par la limite L qui rend le spectre continu.

Le caractère dissipatif du système se manifeste entre autres par le decay de la particule. Certains concepts du modèle apparaissent selon un nouvel éclairage, notamment

l'énergie à attribuer à la particule Instable.

Le premier chapitre est consacré à l’étude de la symétrie ■t^-t’ des équations du mouvement, à

l’examen de la notion de causalité et à l’introduction d’un nouveau type de transformations où la causalité estincluse.

Le cadre formel de la théorie est brièvement exposé dans le deuxième chapitre. Nous y introduisons les différentes conjugaisons définies surles superope­

rateurs en termes desquels est formulée la théorie générale.

Dang les deux chapitres suivants, nous présen­

tons les opérateurs fondamentaux rencontrés dans l’étude O

de la sous-dynamique asymptotique FL et nous en rappelons les principales propriétés.

□ans le chapitre V, nous exposons une méthode qui sé généralise à l’ensemble des autres sous-dynamiques.

Ce procédé, qui ne fait pas explicitement appel à la notion de prolongement analytique permet la discussion approfondie de la règle des 4 , Oansce contexte, nous insistons sur l’importance du théorème

G. 5 .

, g ■) ■ en dynamique de corrélations introduit par F.Henin , et nousmontrons que le choix de la règle des 6

est lié à la causalité et au mode de description

adopté. Nous formulons les modifications de la règle pour la description d’une évolution anticausale (vers le passé). Nous étudions enfin les propriétés qDectraies des opérateurs de collision qui peuvent être définis dans chacune des sous-dynamiques.

Le chapitre VI contient deux paragraphes.

Nous montrons dans le premier comment une description causale irréversible dans chaque s ou s-dynamique est compatible avec la symétrie L -j> - L ^ tT —> - C

de l’équation de Liouville. Dans le second, nous présentons l’équation de Mandel-Turnsr^^^"'"'^"'^^ qui permet la détermination, à partir des sous-dynamiques, causales ou anticaus a 1es, d’une transformation

star-unitalre particulière, appelée transformation physique.

Avec le chapitre VIi, nous abordons la deuxième partie de notre thèse : l’obtention et l’étude de la transformation physique oausale associée à un modèle spécifique, en l’occurence le modèle de Lee dans le secteuràuneparticule.

La longueur de certains calculs nous conduit à. un compromis entre 1’interprétation des résultats et tes développement:s techniques qui y. mènent.

Une revue rapide des méthodes d’études habituelles (fonction de Green et matrice .S ) nous permet d’introduire les notations et de préparer une comparaison ultérieure avec l’approche par la théorie des transformations starunitaires.'

□ . B .

L'obtention des sous-dynamiques nécessite la

connaissance explicite de la résolvante db 1_ et au chapitre VIII, nous introduisons une technique de diagrammes.

Par re s omma t iori> nous. obtenons une expression de.cette résolvante sous forme de convolution où apparaît la fonction de Green de l'hamiltonien.

Les singularitésde la résolvante peuvent y être facilement repérées par l'emploi de la méthode des pincements qui est présentée brièvement au chapitre IX 13)'

et illustréepar un certain nombred'exemples utiles,

La sb u s ~

d y

nam i qu e

/'7

est alors construite au chapitre X en appliquant la technique des pincements à l'expression de la résolvante. Les relatio;ns nécessàires à l'établissement

O

des propriétés bien connues de R. (structure, idempo- tence, commutation avec le . 1 iouvi11ien,. . . ) sont

présentées en appendice.

□ans les chapitres XI et XII, nous construisons les projecteurs

FL

qui correspondent aux autres corrélations et qui définissent des sous-dynamiques au même titre que R. . Nous montrons tout d'abord que l'application de la règle des t est compatible avec l'expression de la résolvante sous

forme de convolution. L’étude de.cas .simples nous amène à' formuler des règles précises pour l’obtention de tous les éléments des (I . Leur j u s t i f i odb i o n est effectuée à posteriori : connaissant explicitement les projecteurs, nous vérifions qu'ils satisfont à toutes les exigences :

0.7.

orthagonalité avec idempotence,...

L’équation de Mande1-Turner, résolue pour toutes les sous dynamiques au chapitre XIII, permet l'obtention de la transformation physique causale.

Nous calculons l’opérateur d’évolution dans cette

représentation où les éléments diagonaux de la matrice densité ne peuvent plus, à proprement parler, s'inter­

préter comme des probabilités. Le caractère

fonctionnel de limite l’analogie entre l’évolution de ses éléments diagonaux et les processus de gain et perte de, la théorie des probabilités. Nous étudions la grandeur proposée dans le formalisme général en tant qu’indicateur d’existence de phénomènes dissipatifs et noU s.montrOns explicitement qu’elle est bien définie dans le cadre du modèle et qu’elle décroit de manière monotone pour tout temps.

Le chapitre XIV, est consacré à l’étude des équations cinétiques. Selon l’échelle de temps considérée, nous décrivons le decay de la particule

Cou état) instable, ou le scattering entre les modes du continu.’ Les invariants du modèle sont alors étudiés dans le cadre de la transformation physique.

Le chapitre X\J est consacré au concept d'énergie

pour l'état instable. Dans la représentation physique causale, où la durée de vie de l’état instable a une valeur bien

déterminée, on ne peut attribuer de valeur précise à son énergie. Nous étudions en détail la manière dont cette indé­

termination se présente. Nous attribuons une énergie moyenne à l’état et nous montrons qu’elle diffère de l'énergie obtenue à l’aide de la méthode des fonctions de Green, Nous illustrons cette différence au moyen d’exemples numériques traités sur ordinateur. Nous montrons d’autre part que la différence disparaît au moment où le couplage atteint une valeurtelle qu’il y ait pos sibi111é d’un état stable.

□ ans le d er n i er , c h a p i t r e , nous a na 1 y s o h s 1 e c omp o r t,em e n t temporel dans les différentes sou s-dy na.mlqu es , Nous montrons en particulier quelle est l’origine du comportement non

exponentiel bien connu et nous établissons le caractère complet de la représentation causale. Ce caractère complet permet ladescript ion de l’évolution anticausale (vers le passé) enreprésentation physique causale,

CHAPITRE I. INTRCDUCTION AUX TRANSFORMATIONS STAR-UNITAIRES.

Ce chapitre est destiné à situer de manière générale la théorie des transformations star-unitaires par l'étude des symétries de

l'équation d'évolution du système. L'accent sera mis sur le concept de causalité et sur la brisure de symétrie nécessaire à la

construction d'une grandeur qui soit l'équivalent de l'entropie thermodynamique.

Une description formelle commune peut être donnée pour les systèmes classique et quantique : nous appelonsj Q ( Is fonction de distribution à N corps des systèmes classiques et la matrice densité des systèmes quantiquesj son

évolution est donnée dans les deux cas par l'équation de Liouville-von Neumann :

<- f (U = L

(1.1 ] où l'opérateur d'évolution infinitésimal représente, selon le cas, soit le crochet de Poisson, soit le commutateur avec l'hamiltonien du système.

Pour des raisons de commodité, nous utiliserons au cours de cette thèse, le langage de la mécanique quantique. L'analogie formelle des équations de Liouvi11e-von Neumann garantit par

ailleurs que chacun de nos résultats se traduira par un résultat correspondant en mécanique classique.

I . 2

Une équation telle que CI.1] peut être appliquée à deux types de situations très différentes soit un problème à valeur initiale, soit- un prôb1ème à valeur finale :dans le premier cas, l'évolution s’effectue vers le futur et nous parlerons d'évolution causale : le présent est alors déterminé à partir du passé. Dans le second cas, oh connaît le présent et ■ l'on cherche quelle, est la situation passée qui l’a créé : nous parlerons alors d’évolution anticausale.

Etudions la symétrie de l’équation de Liouvilie-von Neumann pour un retournement du signe du temps : la transformation conduit à

l’équation.:

(

1

.

2

}

et est par conséquent équivalente à un changement du signe de L. Or, nous savons que si ,L est un liouvillien a d mj^s_ai_b le, l’est également.

Les observables de la mécanique quantique en image d’Heisenberg satisfont, en effet, à une

équation de mouvement d’opérateur (-1— }

Aux opérateurs d’évolution infinitésimale L et - L correspondent des opérateurs d’évolution globale <irx^(-A.L^) et . L’invariance des valeurs moyennes d’observables pour le changement d’image Heisenberg - Schrodinger nous est assurée par 1 ’ he rmi t i ci t é de L :

O ^çp (_ 4, L t _ - Tru ^«oc|3 P (1.3}

où

O

représente une observable arbitraire.

Pour une évolution thermody'narriique, l'opérateur L doit nous conduire asymptotiquement à l’état d’équilibre dans le futur. L’-équation

(1.3) nous montre que l’opérateur (-

Lj

jouit de Ja mêmepropriété.

De l’équivalence des transformations

L—>-L

et t _ t nous déduisons d’autre part, que l’opérateur

L

est également capable de décrire une évolution antithermodynamique où l’équilibre était le passé.

Par conséquent, les conditions d’approche asymptotique vers l’équilibre pour l’évolution causale ne sont pas liées uniquement aux propriétés de L

mais doivent faire apparaître les propriétés des observables et de la matrice densité initiale.

L’entropie thermodynamique satisfait à l’inégalité

(1.4)

qui permet de distinguer absolument le futur aa passe. Si nous voulons construire une grandeur que nous puissions associer à l'entropie, nous devrons donc avoir obtenu

auparavant la brisure de symétrie par rapport aux deux direc tions du temps, c'est-à-dire, une équation d’évolution à caractère causal. Il est commode de suggérer par un exemple la manière dont nous allons procéder.

Considérons une équation irréversible tyPique et bien connue : l'équation de Fourier pour la diffusionde la chaleur:'

o^T(oc;tj=

J oc ■

(1.5]

Le coefficient de diffusion thermique HC est strictement positif et cette équation n'admet pas de symétrie analogue à la transformation | t-—- t

l L _ L

1

Il est facile de construire pour (1. 53 une grandeur qui satisfasse une inégalité analogue à (1.4), par exemple

J

^{" i ûO} -2 K J Soc ^ j \)J ^ O

: (

1

.

6

)

où nous avons supposé que T t') s'annule en ^

L'équation de la chaleur peùt ê'tre diagonalisée par l'introduction de la transformée de Fourier T (k,l)

(1.7)

et la solution causale peut s'écrire, pour chaque mode 6. , sous la forme d'une transformée inverse deLaplace

où ^uKr/JJ~ ^ le mode ^

(

¹

.

⁸

)

joue le rôle de résolvant pour

1.5.

La solution anticausale s’écrit sous une forme analogue :

-/ oo A /h h \

-«O—»A ' ’r y ''

^ ^*3 (1.9]

où A esr tel que le contour d'intégration sur Tj^ soit en-dessous de toutes les singularités de l'intégrand. Nous constatons que, pour une équation à caractère causal manifeste (l'équilibre n’est atteint que dans le futur] les singularités

du résolvant associé à chaque mode sont toutes localisées dans le demi-plan inférieur S ( \ <■ o ]

L'importance de cette propriété se manifestera plus loin où nous utiliserons la loca­

lisation des singularités des résolvants associés à chaque m,ode du liouviUien pour distinguer les représentations causales et anticausales.

Considérons en effet, la solution formelle de l’équation de Liouvi1 le-von Neumann :

c.

(

¹

.

¹⁰

]

ou

_ ^ est le résolvant de L. ^ - Lj

Le contour [l est situé au-dessus de toutes les singularités de dans le cas tr et en dessous de toutes les singularités dans le cas t Ces singularités dépendent fortement du système

considéré : prenons tout d’abord un système quantique décrit par un hamiltonien qui admet un spectre

d’énergie discret, non dégénéré ,sans point d’accumg- lation et sans couple de niveaux équidistants.

1.6.

A partir de 1 a connai s s ance de dans une b a s e 'q U e 1 cp nq U e , i 1 nous est pose ib le de construire un superopérateur P tel que P ) soit la matrice densité dans la base où l'hamiltonien est diagonal 15]

P

peut s ’ écrire comme

U U où U

est la transformation unitaire qui diagonalise

H

dans la base initiale . L'évolution de

P Ç*

est diagonale dans la base initiale etestdonnée par

.c 3^ <(rn 1 P (3 I an> - ( <no I P(^ I

(1.11)

Les singularités de R(sont donc constituées de pôles simples sur l'axe réel situés aux différences d'énergie. Le comportement temporel se compose d'une sommede cosinus et sinus et il est exclu qu'un tel système manifeste des propriétés d'irréversibilité.

La situation change du tout au tout lorsque le système possède un nombre infini de degrés, de

liberté. Cette limite permet au liouvillien de posséder un spectre continu. La résolvante présente alors une ou des cpupures sur l'axe réel et la différence entre les cas causal et anticausal peut apparaître : dans le premiercas,du fait delà position du contour nous sommes amenés â effectuer un prolongement analyti­

que de de la région jnnrv(r^^J^q vers la région Jrrrv ( tandis que dans le cas anticausal, le prolongement doit être effectué dans l'autre sens.

Dansle cas d'un spectre.discret, la

diagonalisation de l'évolutionau sens dél.llcorres- pond à un changement de base, qui permet de travailler + ) (il agit sur l'opérateur densité).

1.7.

avGC les fonctions propres spectrales du liouvilllen.

De plus, le superoperateur P permet de garder le même vocabulaire que pour le système non perturbé.

Les états quantiques continuent d'être décrits par le mêm.e ensemble de nombres quantiques et, par conséquent,

le système perturbé, en représentation spectrale, décrit un ensemble d'entités de même nature que le système non perturbé. Une telle propriété ne peut plus, en général, être obtenue pour les systèmes dont le spectre est continu et il n'existe pas en général de superopérateur P tel que l'évolution de(^ P Ç soit diagonale dans la base des fonctions propres de

. Cependant, une diagonalisation partielle peut être effectuée dans un sens qui sera précisé aux chapitresV,\/I.

Partant de la représentation de la matrice densité dans une base qui diagonalise une partie de l'hamiltonien, à laquelle correspond une partie d1 ouvillien, nous cons_t_ruisons un superopérateur

Nous appelons

donnée par

la matrice et son évolution est

\ "’e (t; = j

(I. i2]

ou

<j>

n'est autre que le superopérateur P L P

- ^

A l'analyse, cette équation possède des propriétés manifestement différentes de l'équation de Liouville,

malgré l'équivalence entre les deux représentations.

En effet, l'opérateur d'évolution tj) ne possède plus de parité déterminée par rapport à L mais se

décompose en une partie paire (even) et impaire Codd] :

. I . 8 -.

f = f^ ■

[1.13]

Il en résulte que les trônsformationst->-t' et L _i> - L ne sent plus les inverses l’une .de l’autre.

L'existence d'une partie (/ non nulle est directement liée à la présence d'upe partie continue

dans le spectredu liouvillien : Iq.mécanisme d'apparition des termes possédant des propriétés différentes par rapport au changement de signe de L sera étpdié au chapitre III

[voir III . 1 3 ] .

4

En plus des propriétés de parité en ^ * différentes par construction, les opérateurs et ont des propriétés d'hermiticité opposées : ^ est un ^*^rateur hermitien tandis que ~ est un operateur an t i h ermi t i e n .

a

Il en résulte que les valeurs propres associées à _-c sont toutes Imaginaires et que l'évolution temporelle dont il est responsable est de

û .

type oscillatoire. Au contraire ^ ■c possède des valeurs propres réelles qui correspondent à un tout autre type d'évolution. Leur présence témoigne que les grandeurs J et H ne s^nt pas équivalentes au sens des transformations unitaJ/res ; nous

reviendrons un peu plus.loin sur pet aspect du problème.

. I.. 9 .

Les modèles tels que les valeurs propres de ont toutes le même signe négatlf ou pos 111f sont particulièrement intéressants puisque, pour ces modèles, l’équation d’évolution 1.12 présente des pro­

priétés causales ou anticausales manifestes. Le modèle de Lee que nous considérons dans la deuxième partie de notre thèse, constitue un exemple où un opérateur

menant à de telles propriétés spectrales de - ^

<j>

peut être construit exactement, c’est-à-dire sans avoir recours au calcul de perturbation.

La construction explicite du superopérateur I dans un cadre perturbatif sera effectuéeaux chapitres III et V.

La transformation

P

pour laquelle les valeurs propres de -'-f sont toutes négatives ou nulles joue un rôle très important et nous représentons par L?

l’ensemble des variables, éventuellement continues, par rapport auxquelles l’équation CI.12] est diagonalisée.

1. 1 0 .

L’équatlon[I.12) décrit alors une approche monotone vers l'équilibre pour chaque ' l'équi­

libre étant caractérisé par la valeur propre nulle de _ ^ ^ '■ • situation est en tout point analogue à celle' de l'équation de la chaleur que nous avons

discutée plus haut. Nous disons que la transformation

^ définit la transformation causale de l’équation de LiO U Vi 11 e-V0n Neumann. En effet, le passé et le futur jouent maintenant des rôles nettement distincts :

l’équilibre n’est atteint que dans le futur tandis que dans le passé se trouvent les fluctuations qui ont donné naissance au présent.

Insistons sur le fait suivant : la description du système en termes des modes normaux causais

est complète. Considérons en particulier un gaz

% ■ . I

classique qui évolue vers l’équilibre et inversons instantanément la vitesse de chaque particule. Nous savons que le gaz va retracer son histoire et, pendant un certain temps, paraître s’éloigner de l’équilibre.

Les deux évolutions, avant et après le retournement des vitesses, sont suceptibles d’êtredécritgs sans approximation, par la meme équation 1.12.

Nous adopterons la notation P pour la transformation causale etnous appellerons P

la transformation anticausale pour laquelle toutes les valeurs propres de ~sont positives. Sans plus nous étendre sur l’équation anticausale, nous remarquerons

qu’elle possède les propriétés analogues à 1’"antiéquation"

de Fourler ( K négatif) où l’équilibre était le passé : les singularités du résolvant associées à chaque mode sont ■ toutes dans le demi-plan supérieur.

1j.

f ■ Ü ' 1 ' *

1.11.

Au lieu de considérer la transformation anticausale pour L , nous pouvons étudier la transformation causale associée à (-L)

En effet, les transformations tT —^ - t et L - L sont équivalentes au niveau de l'équation de Liouville. La transformation causale associée

établit naturellement la connection entre les images de Schrodinger et d'Heisenberg.

A toute grandeur définie en image de Schrodinger, nous pouvons associer la grandeur correspondante en image d'Heisenberg et cette conjugaison est notée par un "prime". Le supero­

perateur correspondant à la transformation causale associée à est donc représenté par P

obtenu essentiellement en remplaçant la f on et iorre 11 e ra; par p(-l; .

Le nouveau type de conjugaison Heisenberg- Schrodinger ou L - L est à la base de l'extension de la théorie des transformations développée à

Bruxelles pour les systèmes à I\1 corps. En effet, elle permet de construire des transformations plus générales que les transformations unitaires tout en / respectant la métrique de l'espace. ^

L'unitarité des opérateurs de transformation est déduite habituellement de la proposition suivante la valeur moyenne d'une observable doit être

indépendante de la représentation dans laquelle elle est calculée.

Si nous considérons que la matrice densité et les observables doivent être modifiées à l'aide d'un même superopérateur, nous pouvons déduire

1.12.

-, l'unitarité de ce dernier. Cependant, si nous voulons définir une transformation causale, il est naturel

de traiter les images de Schrc5dinger et d’Heisenberg sur un pied d’égalité et de transformer la matrice densité à l’aide de et les observables à l’aide de O ^ La permanence du produit scalaire entre une observable

O et la matrice densité

impose que P soit .l’inverse de P . (_Les diverses conjugaisons associées aux superoperateurs sont

reprises en détail au chapitre II}. Nous appelons

" la combinaison des opérations " et "y"

et nous disons donc que la transformation P doit être star-Unitaire.

Le concept de star-unitarité généralise clairement le concept d’unitarité aux systèmes, dont

le liouvillien présente un spectre partiellement continu.

Nous étudierons plus en détail les propriétés de P lors de sa construction.

Nous pouvons dès à présent introduire une nouvelle grandeur par1 1

JL - "Tn, ""ç ~

(1.15}

Constatons tout d’abord que

Jï.

n’a pas d’équivalent dans la représentation initiale et qu’il ne peut être défini que par le biais de la connaissance de la dy namique - causale. ,^Nous vérifions immédiatement

j_JL- possède un signe défini : que

I. 1.3.

JL - Tn_ I/- ^ L - ^jJ P

[1.16) . ir^'

[1.17)

Nous avons en effet vu que les propriétés d ’ h ermi t i O i t é de <j> et (j>° sont opposées et dans

[1.17) n’apparaît que dont nous connaissons le oaractère négatif du spectre.

La grandeur SL, va nous permettre de

construire une grandeur qui possède les caractéristiques que l'on attend de l’entropie hors d’équilibre. Les arguments d ’ additivité nous conduisent à considérer

[I. 18)

est la valeur à l’équilibre de JZ. tandis que la constante de Boltzmann est introduite pour des'raisons dimensionneJes. Le seul arbitraire est la, valeur du coefficient devant le logarithme ^ coefficient que nous avons pris égal à 1/2 afin

d’établir le lien avec l’entropie de Boltzmann dans 18]

le domaine linéaire.

La grandeur ainsi construite satisfait l'inégalité [1.4) et possède toutes les propriétés

que les considérations générales permettent de requérir

de l’entropie thermodynamique. Il est intéressant, de noter qu’elle ne peu.t être définie pour; les systèmes gravifiques. Ce point est en accord avec les

, , 19 ]

expériences réalisées sur ordinateur qui ont montré que ces systèmes ne présentent aucune tendance à

l’uniformisation de la répartition de la matière.

II. 1

CHAPITRE II. PROPRIETES FORNELLES DE .L’ESPACE DES

■formel de là théorie et nous précisons les propriétés des superoperateurs qui nous seront nécessaires. Nous ne visons pas à une rigueur formelle mais nous cher­

cherons à dégager les concepts Importants en les intro­

duisant de manière opérationnelle plutôt qu'axiomatIque

L.’espace de base est l'espace de Hilbert usuel de la mécanique quantique. Dans les problèmes qui nous intéressent, cet espace est nécessairement infinidimen- sionnel mais nous le traitons comme, fini en précisant cependant les propriétés qui ne s'étendent pas au cas 1nfinidimensiOnne 1. L’espace de Hilbert est muni, de la structure d'un espace vectoriel et l’ensemble des opérateurs linéaires sur cet espace définit l'ensemble des opérateurs de la mécanique quantiq u e. Nous pouvons considérer alors l'espace dual del'espace de Hilbert et l’identification de ces deux espaces est bien connue L’adjoint d’un opérateur est en particulier défini dans lemêmeespàce.

Les observables dusystème sontalors représen­

tées par des opérateurs hermitiens et la valeur moyenne d’une observable 0 dans le système dont l’état est représenté par un vecteur est donnée par la forme linéaire en

0

et quadratique en 1 :

SUPERDPERATEURS

Dans ce chapitre, noua étudions le cadre

< G >

(11.13

II . 2.

L’existence expérimentale de situations

physiques non représentables par un vecteur de l'espace de Hilbert conduit à introduire 1 a matri ce de nsité pour décrire 1’état du système. La valeur moyenne d'une observable est alors représentée par une forme linéaire à la fois en l’observable et enl'étatdu système ;

<°> ^{= o'} _P

[ 11.3 )

Cette expression est bien définie pour tout système fini et ne se ramène à (II.1) que.pour les

situations où lamatrice p est factorisable [cas pur].

En mécanique statistique, nous considérons la limite thermodynamique où le volume du système tend vers l’infini tandis que la concentration en

particules reste finie.

Un système est donc spécifié de la manière suivante : nous nous donnons tout d'abord une base de l’espace de Hilbert correspondant au système fini.

Cette base sera suffisamment simple pour que nous

f

connaissions la manière dont elle varie avec le volume.

Dans cette base, nous considérons l’ensemble des observables et des matrices densité admissibles.

Tous les éléments de matrice ont une

dépendance en le volume telle que (II.2] admette une limite correcte pour un volume infini. Cette limite est finie si

O

est une observableintensive ou

est proportionnelle au volume si

O

est une observable extensive.

\

II . 3.

Lors çdu passage à la limitéV dans

1! operation "trace" apparais sent des intégrations dont les intégrands sont constitués par un produit de deux fonctions dont l'une est liée à O et l'autre à Une illustration de ce type de passage à la limite sera donnée dans la deuxième partie- de la thèse. Pour le modèle de.Lee. dans le secteur à une particule, la limite thermodynamique est remplacée par la li-

mite du volume infini+ ]

Nous reprenons l'étude de 1 ' ,e x p r e s s i o n (11.23 en nous plaçant dans le cas fini.

Nous considérons toutes les transformations linéaires des operateurs de l-'espace de Hilbert. Un exemple d'unetelle transformation est fourni par le superopérateur 'XL ("t^ qui transforme la matrice densité initiale P (, ^o) matrice densité à l'instant

e(t; OL f t ^ t^j :: êoc.jp L. (t -

C11.3 3

’ Une classe particulièrement simple de superopératéurs linéaires est constituée par les superoperateurs factorisables Q tels que

+ 3 Un formalisme plus rigoureux en ce qui .20 3 2 1 3 concerne la limite thermodynamique a été proposé'

pour l’étude dés gaz classiques. Le système est alors décrit non à l’aide de la fonction de distribution à N particules mais uniquement en termes des fonctions de distributions réduites. Les concepts de sous-dynamiques que nous étudierons au ch*apitrel\/ peuvent ê t re i n t ro d u i t s dans une telle approche qui fait le pont entre la théorie linéaire de l'école de Bruxelles e-t la théorie non linéaire de la hiérarchie B.B.G.K.y. L ' équivalent quantique, où la matrice densi-té. serait

représentée à l’aide de traces partielles, n’a pas encore été développé à notre connaissance.

11.4 .

Q Pi E ( M X rj j R n P 1")

(Il.4}

où M ^ n^R sont des opérateurs de l'espace de Hilbert.

Cette classe de superoperateurs est stable pour la multiplication ,:

(M, . MH A ^

(11.5)

Le s up e r op e r a t e U r [_ lui-même apparaît comme combinaison linéaire particulière de superopérateurs factorisab1es :

L-HxX„XxH

(11.6]

o ù

X

est l'opérateur unité.

• Dans le cas finidimensionne 1 , tout superoperateur peut s'exprimer comme combinaison

linéaire de superoperateurs factorisab1 es qui définis­

sent ainsi une base de l'espace des superoperateurs.

Rien ne garantit cependant cette propriété dans le cadre de matrices infinidimensionne 11 es dont les éléments sont repérés par des Indices continus.

Dans le cas finidimensipnne1 , l'espace dual des superoperateurs peut de nouveau s’identifier

11. 5

avecl'espace de départ, l'opération "trace" servant à définir le produit scalaire. Nous.pouvons.alors

considérer un certain nombre de relations de conjugaleo 1 ] 1 4 )

définies sur les superopérateurs

La première relation est l'adjonction.

Considérons un superoperateur Q agissant sur un operateur . L'adjoint de Q est défini comme le super opérateur Q"*" tel que, pour tout et

1 ' o n a i t :

(II.7)

Les deux symboles " + " du second membre de (II.7] ont un sens différent puisque l'un désigne l'adjoint dans l'espace des opérateurs et l'autre l'adjoint dans l'espace des superopérateurs.

L’adjoint d'un superopérateur factorisable H X n'est autre que H puisque

6'^(m xM'J A . Te .. IV MB'mB

(II.B3

où nous avons utilisé la propriété d’invariance

cyclique de la trace et 1 es propr1étés de l’adjonction dans l’espace des opérateurs.

L'adjonction dans l'espace des superopé­

rateurs possède les propriétés habituelles

C ^

(II.9]

II . 6 .

(11.10)

Nous parlerons de superopérateurs

hermitiens ou antihermitiens selon qu’lÈ sont invariants ou qu'ils changent de signe sous l'effet de l'adjonction.

L'adjonction permet également de définir les superopérateurs unitaires qui doivent satisfaire, les relations

q' q qq'* = J1

CII. 11 )

O ù X est le superopérateur identité.

Un exemple de superopérateur unitaire factorisable est fourni par

q ^ U X

(11.12) où

U

est un opérateur unitaire quelconque de l'espace de Hilbert.

Une deuxième relation de conjugaison importante dans la théorie est l'association. Le superopérateur Q'^est défini à l'aide de la relation

A = ( q fl"')''

tll.13)

L'association jouit des propriétés;

(11.14)

II . 7 .

r O.

(11.15)

Les superopérateurs invariants par

rapport à l’association sont appelés adjoints-symétriques et préservent le caractère hermitien des opérateurs

sur lesquels ils agissent : si F) est hermitien et adjOint-symétrique, nousavons

q fi = ( q" fty = (qfij :

(11.16)

L’ensemble des opérateurs hermitiens est donc stable par rapport aux superopérateurs adjoints- symétriques qui forment eux-mêmes un ensemble stable pour la multiplication d’après (11.15).

L’opérateur infinitésimal d’évolution ( t possède naturellement le caractère adjoint-symétrique ce qui assure la permanence dans le temps de l'hermi- tlcité de la matrice densité.

y

L’évolution temporelle desobservables conduit à considérer des superopérateurs qui sont des fonctionnelles de .

Le lien entre les Images de Schrodinger et d'Heisenberg est obtenu parla conjugaison ”prime”

qui consiste es sentie11ement à remplacer une fonction­

nelle de l_ par.la même f o net i on ne 11 e de . Par exemple,

(11.17)

I,I . 8

' Cependant, lorsque le superopérateur est défini à l’aidede tTL_, la conjugaison H e i s e nb e r g - Schrodinger est plus délicate. L'extension de la conjugaison "prime” à tous les superoperateursque nous utiliserons sera précisée au chapitre

Nous appelons " * " la combinaison des conjugaisons "adjonction" et "prime"

q" -- Q "

(11.18]

et nous définissons les superopérateurs. star-hermitiens et star-unitaires respectivement par les relations

q = Q ^ Q q

(II.19)

Les opérateurs inf initésimaux ^..L

LJ

et globaux d’évolution sont star-hermitiens

X L : ^

LJ* . -> C ^

(11.203

(11.213

Introduisons un nouveau type de transformation à l’aide d'un superopérateur star-unitalne et adjoint-!

symétr.ique.r^ !

> -

■b = P'o

(11.223

II . 9 . ;

Les observables sont transformées par P. afin de

respecter au maximum la symétrieen les images d'Heisenberg et de Schrodinger.

La star-unitarité de P assure l'invariance de la trace sous cette transformation

O

^■f

(11.23)

et satisfait l'équation d'évolution

(11.24)

avec

P L P - d

(11.25)

meme Il est clair que(.i possède le

caractère star-hermitien que^-<lLy et nous pouvons le décomposer en ses parties paire et impaire vis à vis de la conjugaison "prime"

^ ^ -I °

(11.26)

La s t a r - U n i t a r i t é de a. <j> impose que

soit antihermitien et u hermitien. La décomposition (11.26) revient donc aussi à la décomposition de ^ en ses parties hermitiennes et antihermitiennes.

Dans le cadre du calcul de perturbation, nous exposerons dans les chapitres suivants la

construction de la transformation causale P telle . que^_^^M soit non nul et possède un spectre négatif.

Dans 1 a seCOndfcPartie de notre thèse, nous obtiendrons explicitement la transformation causale pour le modèle de Lee en, dehors du calcul de perturbation.

111.1.

CHAPITRE ni. GRANDEURS FONDAMENTALES.,

Nous allons, dans les chapitres qui suivent, montrer qu'il est possible de construire une

transformation star-unitaire conduisant aux propriétés ( I . 1 4 ) e t ( I . 1 7 ) .

Nous présentons un schéma de construction et nous étudions au furet à mesure les conditions que doit Satisfaire le liouvillien du système pour en

permettre l'application. Ces hypothèses peuvent être vérifiées sur un certain nombre demodèles spécifiques

22] 23]

tels que un gazclassique , un solide anharmonique.

Elles constituent des conditions suffis antes d'existence sans être toutes nécessaires. Par exemple, le modèle de Lee que nous traiterons exactement viole des

con^d^i^^^i^_ns___^J^a^na_ly^^t^^^ certaines grandeurs dans le formalisme général.

Considérons un système décrit par un

liouvillien

L

que nous décomposons en une partie non perturbée etune partie liée aux interactions cT L

Le schéma de construction étant basé sur le calcul de perturbation, la convergence des séries en puissance de sera postulée dans tout’le

traitement.

Le liouvillien correspond à un hamiltonien pour lequella solution des équations aux valeurs propres est supposée connue. Nous nous donnons la

matrice densité initiale et les observables dans la base des fonctions propres de

ILI. 2 .

Nous utiliserons la représentation d éfi. n i e P a r

( III.1]

l'ensemble des demi-

Pour la plupart des systèmes, un rôle prépondérant est joué par les éléments diagonaux de

la matrice densité, correspondant à une valeur nulle de O .O mesure en quelque sorte l'écart à la diagonalité et nous dirons que les indices o sont les indices de co r r é 1 a t i o n , - O correspondant au vide de corrélation.

< l-.J 1 O I t -4 > =

ù O représente et H

j •

ou sommes

Dans cette représentation, la valeur moyenne d'une observable est donnée par

<o> -- T, -- Z {o*}^ 11 (o2(n;

' -J (III. 2)

et, en l'absence d'interaction, l'évolution est régie par

ç-J») -- pZ"

(III.3)

avec

(III.43

Si H , et'donc L,. décrivent un système d’objets (phonons, particules, ...} indépendants, uo^

ne dépend pas de en seconde quantification. Lorsque aucune confusion n’est possible, nous remplaçons par u)

111-. 3

Le s U PeropérateUr JL permet un classement d^es. cp. rré^l a t i op.s, en,._p lus le ups_ types. ' E,n_ e f f e t,

n'est non nul que pour un ensemble de valeurs de o qui définissent les monocorrélations. D'une manière générale, le degré d'une corrélation o est défini , suivant George^^, par le plus petit nombre’ rn tel.

que soit non nul. Nous avons construit de cette manière une partition de l'ensemble des

corrélations accessibles à partir du vide.

Pour la facilité et la clarté de l'exposé, nous admettrons que toutes les corrélations de même degré sont d'un même type et ne doivent pas être discernées.

L'extension aux cas plus généraux est immédiate mais nécessite une écriture plus lourde sans rien apporter d'essentiellement neuf.

la solution formelle

L'équation de Liouville-von Neumann admet 24]

_ ■ d

CIII.5 )

où nous avons pris O et où le contour est entièrement dans le demi plan lom au-dessus de toutes les singularités de l'intégrand.

Lerésolvant

(III.6)

admet un développement de perturbation

(111.7}

III . 4

est diagonal en u tandis que ^ L. induit des transitions entre états de corrélation différents.

Ne nous interrogeons pas ici quant à la convergence des séries de perturbation : elle doit être examinée pour chaque modèleauquel le schéma est appliqué.

En introduisant Œil.7) dans (III.5], nous obtenons la solution formelle sous la forme

f. --

_{2n ^}

_.otr

J T

c

dn e. ^ J(r-v) o (oJ + 2^ 2- - ■ 2- _1_

Q 1 ^ ^ ^ O"'" '5 '' (3"

(dL) (SL) P

^(O)

( I 11 . 1 8 ]

OÙ la dépendance en superoperateurs

est imp licite.'

- 4.

Le premier terme correspond au comportement temporel décrit par (III.3) tandis que les autres décrivent chacun une chaîne des états de corrélation par lesquels passe le Système pour relier (oj h

m Les propagateurs non perturbés comme

vont être responsables d'un comportement temporel du type - . Gn est conduit ainsi à regrouper les termes présentant le mime type de

comportement temporel. Nous considérons tout d'abord un cas simple en regroupant tous les termes issus des propagateurs - J qui apparaissent à chaque passage

par le vide de corrélation ('^-o pour o - o d'après III.4]

Dans ce travail, nous présenterons ce regrou­

pement de deux manière différentes ; nous ferons appel dans CB chapitre aux concepts habituels d'Intégrales de Cauchy et de prolongement analytique . Dans le 24 ] chapitre suivant, nous montrerons cprnfTient la

"règle des L " permet de retrouver les mêmes résultats.

:ni. 5

■Le procédé de-, regroupement utilisant la règle des S. sera applicable pour tous- les types de

propagateurs alors qu'il ïn’en va pas de même pour la première procédure.

La recherche d’un superoperateur qui rende - d

compte de tous les propagateurs ( ^ est justifiée 2 4]."

par la considération suivante ’i

Portons l'expression Cill;8] dans l’expression des valeurs moyennes (III.2) et permutons intégration sur 1^ et développement de perturbation :

:

Z (-1

|r,y^2ac'

Z

Z (

^{' '}

)

^■Z

<TV ; ^

Afin

de

-.dL- c +

fjL) (JL) --iJL)

/ou. Urr\ - » ^nr\

(111.9)

effectuons les hypothèses suivantes sur le système.

'Considérons l'ensemble des corrélations de même degré n ( ) et les valeurs prises par uJ sur cet

V(-rv)

ensemble. Sauf pourle vide de corrélation, nous supposons que, à la limite thermodynamique, prend toutes les valeurs entre moins et plus l'infini.

III . 6

Considérons un propagateur du type . avec ÿ <P . Nous supposons que, par un, changement de variables adéquat, ^ Z puisse être transformé

de manière a faire ajDparaître explicitement )é et à n’introduire aucune non-analycité en , .soit

dans le Jacobien, soit dans les bornes d’intégration.

L’intégrale sur^ . doit, être effectuée avec 3onn ^ puisque est dans ce demi-plan. La fonc­

tion de ainsi définie peut être prolongée analy­

tiquement dans le demi-plan inférieur et n'aura de singularité à distance finie non nulle de 1'axe réel des ri qœ si les conditions suivantes sont réalisées :

a) La condition initial est. une fonction analytique de eu / > dans une bande entourant l’axe réel lorsque en considère un prolongement analytique en permettant des valeurs complexes pour uj , i ._I

b} La classe d’observable ^oj doit satisfaire le même type de condition : doit être analytique en ^ dans la même bande entourant l’axe réel.

c} Les interactions doivent présenter le même type de régularité : dans (III,9], chaque { ^ Lj

doit entraîner une fonction analytique en co ^ uj^ .

III . 7

Sou3 ces hypothèses, les intégrands de (III.9}

ont uniquement les pôles, eventuellement multiples, en D - ü comme singularités proches de l’axe réel.

Dès lors, à cause du facteur p (_ L g t j .les seules singularités importantes 'lorsque t est ’ferand"

sont ces pôles en qui déterminent' le

comportement asymptotique du système. Il est clair que t doit être beaucoup plus grand que t<- , l’inverse ■ de la distance à l’axe réel de la singularité la plus proche de la résolvante, en ne considérant évidemment pas les pôles en ^ détermine en quelque sorte le temps de collision du système et la

terminologie peut être justifiée sur des modèles particuliers . Nous verrons que les pôles en - O 24 ] entraîneront lamLse à l’équilibre du système sur un temps caractéristique que nous appellerons temps de relaxation

V

ly

Il est évident que ce temps de relaxation doit être beaucoup plus grand que si nous voulons décrire l’évolution asymptotique en termes des singularités en ri - O seulement.

Si nous supposons cette condition remplie, les contributions à la matrice densité dues aux singu1arités autres que les pôles en ^ décroissent asymptotiquement au moins comme

t-

^)

. si

nous considérons

l’équation de Liouville-von Neumann pour t , nous devons avoir l'égalité des termes ayant un comportement

.111 . B

temporel du type

t

^1- et nous en déduisons que la matrice obtenue par les résidus aux seuls pôles

en - c> est solution exacte de cette équation.

Cette propriété doit rester valable même si : (T, et t

^ N

ne déterminent pas des échelles de temps distinctes.

Lorsque nous effectuons la transformation l'' la considération d’échelles de temps distinctes n’est plus nécessaire puisque toutes les singularités de la résolvante entrent en ligne de compte. Nous sommes

cependant assurés que. les résidus en - O permettent l'obtention d’une solution exacte de l'équation de

L i o U V i 11 e .

Considérons donc la solution formelle, tIII.81 sans perdre de vue que, sauf pour , tous.les propagateurs sont inclus dans une intégrale sur o- et que la fonction de ainsi formée est définie

pour Jrm ^ O avant d’être prolongée, éventuellement, danstoutleplan.

Afin d'extraire le comportement temporel dû aux pôles multiples en ^ ~ » définissons des opérateurs irréductibles par rapport au vide de

corrélation. Lerôle principal est jouépar l’opérateur (en hl ‘ j construit comme suit :

%1'i)

-4 O

-Z- '3,

(III.io3

O

où toutes les corrélations intermédiaires sont différentes du vide.

D'après nos hypothèses, admet un prolongement analytique dans une bande autour de l’axe réel et nous supposons que cette bande reste

III .9.

libre de toute singularité pour toute valeur du couplage.

Nous pouvons donner une définition plus formelle de en introduisant un superoperateur P^^^^dont l'action est de sélectionner lès composantes diagonales de tout opérateur :

(P» ‘C.c

cm.11)

Nous appelons Q le projecteur complément de P + Q c X , P Q r Q. P, - O

0^0 ^ l)'<p

(III.12) .

i^ont les seuls ,éléments de matrice non nuis sont donnés par (III.10), s'écrit formellement

i(^) " (

(J

- L Q

- 1

JL?

cm.13)

Les autres superoperateurs irréductibles vis à vis du vide sont

QJ'i- T

v>

0

(-5) =: n f’o IL ('yQ.L<?j''Q

-- Q. (g-Q.LQj- q,

(III.14)

(III.15)

(III.16)

Ces superoperateurs permettent d'écrire la résolvante du système sous la forme .

(III.17)

ni. 10

L 'opérateur d’évolution asymptotique est obtenu en ne tenant compte que du seul pôle en z. O du second membre de Cil1.17)

- OO

2i lit): ^

2 a m-o J

3

JTo

■3

cm. 18 )

où , ne contient que le pôle multiple en - ü L'expression explicite pour

2.

{ s ouï f o rme de sériels est bien connue^^^^^^ et fait intervenir les prolon- gements de 6^ ® ^ ainsi que de toutes leurs dérivées au point - le

O l O Û

Z (tj . C e AJ) Cfl e J)

(III.19)

OÙ les superoperateurs d'évolution 0 satisfont les relations

O et ©

O ? J

e = Z d_ )L

^ ° ^ l cL ^fT

5

e

3 -> 10

cm.200

I, L n 0^

'3 3

^1.0

cm.21}

Le développement de 0^0 en puissance de c|7 et de ses dérivées en est déduit directement

O û O / 0

0 Z t uj u7 it y y

cm.22)

— ^ O /

© - y + y -I

cm.23)

III. 11.

Les autres superoperateurs de (III.19) sont donnéspar

cP

R ? 2 _±_ ^

O /y\ - 0

■‘h

y ^ •

(III.24)

C

^{,21 J_}

jy

^{L JL}

n - O ~ I

(III.25)

(III.26)

Toutes ces expressions sont O O : en effet, les

() 3rrr\ fl'^0

dans le demi-pl vers la valeur zéro.

an lmp

>

calculées à la limite 'C ^ G) ^ C|^ sont définis et prolongés ensuite

La présence dans (III.2ü - III.26) de dérivées de tous les ordres en impose l'analycité des

c e O ,

opérateurs '€> ^ UJ dans un voisinage de 0.

En .l’absence de cette condition les formules (111.22,24,25,26) ne peuvent convenir pour définir

Û O

les différents éléments de . L'opérateurZ.(^t2 peut cependant rester bien défini et garder la

structure (III.21) mais, par exemple, nous devons

«

introduire un opérateur ô(n.j satisfaisant

O r>v

® h)

(III.22bis)

O _fp ,01'=’,.

O n,) , 2-

Q! /ri -- 0711 d ^

puisse LO peut être parfaitement définie. Dans l’appendice I, nous montrons que le modèle de Lee présente detelles caractéristiques.

Bien que chaque dérivée de ^ ne pas exister, la limite de pjur r

III.12.

La structure de 2 (t; est remarquable.

en effet nous pouvons l'écrire sous la forme L-

f]

cm.27)

L’indice supérieur” o " est redondant lorsque

nous écrivons explicitement les indices des superope­

rateurs JP .

Lu de droite à gauche CIII.27) nous donne la destruction de la corrélation initiale, pour

mener le système au vide de corrélation Csauf si - O auquel cas ^ évolution temporelle diagonale en l'indice o :

et enfin un fragment qui crée la corrélation finale à partir du vide ( - X ^ ' .

La relation suivante :

[III.28)

o

découle de *la structure de 2^(t)

L’évolution asymptotique est donc donnée par O

la seule connaissance de qui satisfait 1 'équation

0.

0

_{O O}

(III.23 )

avec la condition initiale redéfinie

(III.30 )

III. 13 .

Etudions la parité de _{O O} vis à vis de la conjugaison "prime” correspondant au changement de s igné de L

A l'ordre le plus bas en la perturbation^ (III.2G) donne :

0,=

(a

c 0 y. -O

+ 0 A y

(III .31 )

0[-iJ

+ ,0 ( X*

*3 ^ (III.32)

- 2_ L)

(cf L)

rt •*- Z.

cT ^ eu ^

■ un) C^)

Z J -h O / X

0 O C'i) '■ yo(i^û '•

(III.33)

où la partie principale et la fonction delta n’ont de sens qu’après avoir fait apparaître l’intégrale sur tu ,

' U (J J

Lorsque nous changeons L en - l__

et cTLchangent de signe. Par conséquent, le premier ter­

me de (III.33) change de signe tandis que le second reste invariant. Nous avons Iciune indication de

la manière dont peut apparaître un opérateur d’évolution comprenant une partie paire par rapport à "prime".

La continuité du spectre de est une hypothèse capitale : en effet, si le spectre de était discret, la fonction

serait impair par rapport à la conjugaison "prime".

III . 14.

Le s P B c t re de

©

_oo peut être précisé en partant de deux expressions équivalentes de :

£V

-_1_

L

in X. J f

ûL O e c5

(o

3

^{- ^}

(àn 0.

3

'Tl ^ 4 2n

1 ^

111 . 3^4 ]^{O O}

- A p\oo

Z

Essayons de permuter et dans le. premier rn

J

^{^ S'a}

membre et considérons tout d'abord nombre et non un opérateur (en. N).

comme un

Par un théorème dû à Lagrange^^'\ nous pouvons obtenir

OC/

2_

2fii

di\ e ^'■3 Ÿ.„<V JO

r. S

2 a J ^

(111.35}

où ^ ne contient que la singularité de

la plus proche de l’origine, cette singularité devant être Isolée .

Nous pouvons essayer de généraliser le théorème

au cas où est un opérateur. Nous obtenons alors

4" ^ 4- c (111.36}

0 0

Nous devons définir les singularités que doit contenir

^ . Nous savons que sst analytique dans le plan 3oTn ^ L2

±.

■Z

Les singularités que contient

sont donc nécessairement dans le demi-planSou sur l'axe réel.

Le premier membre de (III.35} contient deux types de singularités : le pôle en r^:;:0 et les singularités

III. 1 5

de J par hypothèse, celles-ci sont toutes en dehors- d'une bande entourant l'axe réel. Si nous faisons tendre A vers o , les singularités que doit contenir ^ vont être les seules à tendre vers l'origine ce qui fournit un critère pour les

sélectionner. Lorsque A <9 , les temps de relaxation et de collision se situent sur des échelles de temps nettement distinctes et il est donc tout à fait naturel que

contienne les singularités les plus hautes dans le plan complexe puisque la somme des résidus en ^ = o de CIII.21]

fournit le comportement asymptotique. ’

Le su perOpérateur Ao. est inc^enckit cfe^fet diagonal en les corrélations]. Sa présence n'intervient pas dans la

position des singularités de l'intégrand du second membre de (111.36) et nous en déduisons que toutes les

'J

singularités de.(i^_ sont dans le 1/2 plan

inférieur et que si un développement en fonctions propres de 0^^ est possible, les valeurs propres correspondantes ont toutesune partie imaginaire négative ou nulle.

Le fait de pouvoir définir ©,00 l'aide du prolongement analytique (111,36) nous a donc permis d'obtenir des renseignements sur son spectre.

nul si

La relation (III.23) nous montre que 0^^ est l'est. Par conséquent, nous retrouvons la condition de dlssipatlvlté introduite par I. Prigogine trois types de systèmes sont possibles selon les pro­

priétés de .

32)

a) Le système est tel identiquement nul