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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Doyen, J. (1970). Sur les systèmes de Steiner (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles. Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214951/1/65a16a1c-6597-4652-a25e-e2debfb52f8a.txt
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hèque de mathématiquesi
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Faculté des Sciences
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SUR LES SYSTÈMES DE STEiNER
PREMIERE PARTIE
nièse présentée en vue de l’obtention du gnée de Docteur en Sciences mathématiques
(Grade légal)
Jean DOYEN
BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉMATIQUES
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UhSIVERSJTE LÎ8RE VB BRUXELLES
FACULTE VES SCUUCES
SUR LES SifSTEÜES VE STclUER
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iGmdc légal].
TABLE DES MATIERES,
Introduction---—---—--- j PREMIERE PARTIE ; PROBLEMES D’EXISTENCE
Chapitre I. Designs : introduction et historique ——•“*'— 1
l.i. t-designs--- 1
1.2» BIB designs ---— ---—•»“—-—— 2
1.3. Systèmes de Steiner —---—--- 4
1.^ Le problème d'existence des designs — ---g 1.5 Systèmes de Steiner S(2,k,n) et leiîrs sous^systèines 10 1.6 Systèmes triples de Steiner---—•—••—14
1.7 Designs à parallélisme et systèmes de Kirkman — 16 Chapitra II. A.utoîJiorphisînô3 de systèmes triples de Steiner 19 2»î Introduction ---—-—-—-•—---—--- 19
2.2 Systèmes triples cycliquas---—--- 20
2.3 Systèmes triples symétriques---———- 20
2.4 Systèmes triples quasi-cycliques ---—• 23
2.5 Quelques problèmes---——---26
Chapitre III. Constructions récurrentes de systèmes triples de Steiner---——— ---— 29
3.1 Introduction---—---—---29
3.2 Une nouvelle construction récurrente---——---— 30 3.3 Constructions récurrentes minimales
2S221G
38
Chapitre IV. Une classification des systènes triples de
Steiner---—---4.1 Introduction---3g 4.2 Construction directe de systèmes triples d'ordre 6k->3 40
4.3 Construction d'un plan non ôégénêvé d'ordre 6k<-3 ----49
4.4 Construction d’un plan non dégénéré d'ordre 6ktl 52 4.5 Construction d’un plan dégénéré d'ordre n ^ 15 --- 57
4.6 Le problème d'existence dos espaces---60
4.7 Une question de White ---—39
4.8 La méthode des séquences et des indices de Cumiainss - 72 Clïapitre V. Systèmes triples de Steiner disjoints —- 77 5.1 Introduction ---*---*---77
5.2 Etude de la fonction^^(n)---g2 5.3 Etude de la fonctionnel(n) ---. gg 5.4 Quelques problèmes ---——-— 91
Chapitre VI. Un problème de Henderson.---—— ---32
6.1 Introduction —---—---—---92
6.2 Espaces de Bolyai-Lobatchevsky finis à 3 dimensions - 94 DEÜXa^E PARTIE ; PROBLEMES DE NON ISOMORPHISME Chapitre VII. ConslTCUctions de S(2,q,q^) non isomorphes - 101 7.1 Introduction et historique —---101
7.2 Systèmes transversaux---—“—107
7.3 Etude de N(2,p,p^) —---—--- 112
Chapitre VIII Construction de systèmes triples de
Steiner non isomorphes ---124
8.1 Introduction et historique ---*--- 124
8.2 Etude de la croissance de NCn) et N^(n)---— 131
8.3 Variations sur un thème de Assmus et Mattson---155
8.4 Une borne inférieure pour N^(n) ---——---— 157
8.5 Une borne supérieur pour N(n) ---17$
La première crêpe «et toujoura ratée,. (Proverbe russe).
Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Monsieur P.LIBOIS^ dont l'enseignement et les conseils éclairés ont eu une influence considérable sur le
développement de mon travail.
Je remercie également de tout coeur Messieurs P. BUSKEMBOUT, X. HUBAUT et J. VAB BUGGESHAVT, qui m'ont guidé avec tant de compétence et de gentillesse,Monsieur G. VALETTEj, qui m'a fourni de précieux renseignements bibliographiquesf et le Fonds (iational de la Recherche
Scientifique J dont l'aide généreuse m'a permis de participer â l 'International Conférence on Combinatorial StruotureSt en Juin dernier.
INTRODUCTION.
, Un oyotème de Steiner S(t,k,n) ^ où t ^ k ^ n sont des entiers positifs, est un ensemble S de eardinat otrua-^ turê par une famille de eous-onaembles appelés bloosfou
droites si t = Z) satisfaisant aux axiomes suivants : (i) tout sous-ensemble de S de cardinal t est contenu
dans un et un seul bloc
(ii) tout bloc contient exactement k pointe.
Un des buts de ce travail est de résoudre^ souvent à l’aide de techniques nouvelles^ une série de problèmes rela tifs aux S(2,kan) : ces systèmes de Steiner occupent actuel lement une place de choix dans les recherches sur les designs (notamment en raison de leurs applications en statistique) et ont été ,au cours des deux dernières années^ l'obfet de travaux remarquables de Bananij Ray-Chaudhuri et Wilson,
Nous ne donnerons ici qu ’un bref aperçu du contenu de notre travail : chaque chapitre est précédé d’une intro duction détaillée dans laquelle nous avons rassemblé tous les résultats connus se rapportant au problème qui y est étudié^ afin de mieux dégager notre apport personnel.
Introduction II.
Dans l& chapitre J, noua situons tes systèmes
S(2,k,n) au sein de ta classe plus vaste des t-designa et nous introduisons tes principales notions utilisées dans la suite. Noua donnons un historique détaillé des problèmes d^existenoe de designs et nous signalons quelques résultats rêaents(dont certains ne sont pas encore publiés).
Les chapitres II à V sont co ’^aoréa aux systèmes S(2,3,n) appelés systèmes triples de Steiner. Une condition
nécessaire et suffisante pour l'existence d'un Sf2,S,nj est que n soit s 1 ou 3(mod 6). Depuis 2847, année où fut posé le
problème d’existence de ces systèmes, de nombreuses oorstruc- tione en ont été données.
Dans h chapitre II, nous étudions certains systèmes triples définis à partir d’un de leurs automorphismes. Nous complétons un résultat de Dosa sur l’existence de systèmes triples symétriques et, en liaison avec ce problème, nous don nons une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un S(2,3,n) quasi-cyclique, c’est-à-dire ayant un groupe d’automorphismes cyclique d’ordre n-1 fixant un point et tran sitif sur les n-1 autres pointe : un tel système existe
si et seulement ai n m 3 ou 9(mod 24).
Introduction III„
récente(non encore publiée) de Hanani, qui donne un S(2,S,2n+7) à partir d'un S(2,S,n).
Face à un problème non rêaolUf noue avons souvent adopté t'attitude suivante : généraliser le problème posé, étudier cette généralisation et retrouver alors comme simple corollaire la solution du problème primitif.
Cette façon de procéder apparaît assez bien dans le chapitre VlIIf ainsi que dans le chapitre JF, qui est consacré à une classification des systèmes triples de Steiner introduite par Szamkoiowioz ; un S(2,3gn) d'ordre n > 7 est appelé plan non dégénéré , espace ou plan dégénéré selon que tout triangle en gendre le systèmet qu'aucun triangle n'engendre le système^ ou qu'il existe des triangles des deux types. Saamkoiovioz avait proposé en 196S de déterminer les valeurs de n pour lesquelles il existe un plan non dégénéré d'ordre n, un plan dégénéré d'or dre n, et un espace d'ordre n.
nous résolvons complètement les deux premiers problèmes en construisant un plan non dégénéré d'ordre n pour tout n s 1 ou 3(mod 6) avec n ^ 7^ et un plan dégénéré d'ordre n pour tout n s I ou S(mod 6) avec n ^ IS, Le troisième problème de Szamkoiowicz est toujours ouvert ; nous indiquons quelques
Introduotion IV,
Nous Téootvons aussi un problème posé par Ssainkotowios à propos de ta olaesi fi cation de certains
S(Sj,6k-f-S) définis par Base» et nous répondons à une question de Vhite relative à la aontvuation du plus petit système triple d'ordre n > 15 dépourvu de sous-système propre et d'automorphis me propre.
Deux systèmes triples sont dits disjoints s'ils n'ont aucune droite en commun. Soit ^ (n) le nombre maximum
de SiZfSgn) disjoints deux à deux. Cayley et Sylvester avaient
établi que ~ 2 et ~ 7 maie le problème d'existence
de systèmes triples disjoints d'ordre n n'avait jamais reçu de solution. Dans le chapitre nous résolvons oe problème en montrant non seulement que pour tout n s 1 ou S(mod 6) (n ^ 7), il existe deux S(2j3,n) disjoints^ mais encore qu'on peut
imposer à ces deux systèmes d'être isomorphes.
Baye a conjecturé en 1917 que ^ (n) (n-l)/2
pour tout n > 7 ; noue montrons que cette conjecture est correcte si n "3 S(mod 6). Nous confirmons aussi une conjecture récente de Asemus et Matteon, selon laquelle ^ (2^-1) ^ (2^-2)/t pour tout nombre premier de Merssnne 2-1,
Dana le chapitre VI^ nous étudions le problème d'exis tence des espaces finis de Bolyai-Lobatchcvsky^'tsle qu'ils ont ét»' définis en 1986 par Benderaon : ce dernier avait établi leur non existence en dimension > 3^ laissant ouvert le cas de la
Intpoduction l'
Depuie quelques années, la aonstpuûtion de
S(2,k,n} non isomorphes revient au centre des préoccupations des mathématiciens s 'intéressant aux designs. La deuxième
partie de notre travail, prêaêdéed'un historique détaillé, est une contribution à l'étude de ce problème.
Soit N(2,k,n) le nombre de S(2,k,n) deux à deux non isomorphes. En 1969, Bhat a établi que si q eet une puis sance de nombre premier, Sl(2,q,q^) ^ 2 pour q ^ 4 avec r 4 et pour q ^ ? avec r ^ 3, et que ai q ^ 4 est fixé, S(2^ q,q^)
tend vers l'infini avec r. Dans le chapitre VII, noue améliorons ce résultat en prouvant que si p est un nombre premier impair quelconque, N(2,p,p ) ^ 3p pour tout r ^ 3 et que la fonction N(2,p,p ), où p est fixé, est croissante (ta démonstration est basée sur une nouvelle construction de systèmes transversaux au sens de Banani) ; d'autre part, si Q - P ^ ^ &Bt une puissance de nombre premier avec ^ 2,
T* 2*
nous montrons que S(2 , q,q ) > q pour tout r ^ 3.
Posons H(2,3,n) = l/fn) et désignons par B^(n) le nombre de S(2,3,n) non isomorphes contenant au moins un
SOUS-système d'ordre 7, et par S^(n) le nombre de S(2,3,n)
non isomorphes contenant au moins un sous-système d'ordre ? et n'ayant pas d'autre automorphisme que l'identité.
Introduction VI.
a) S^(2n<-1) ^ S^(n) pour tout n(d‘où il déooute qua jf
N^(2 -1} eat une fonction aroisaante de k). b) N^(2^’-l) > ! pour tout k 5.
a) Ny(n) tend vers l'infini avec nf s 1 ou 3 (mod 6)}.
Lee propriêtéa de aroiaaanoe de ta fonction S(nJ n'avtdert famaie attiré l'attention ; noua étudione ce problème de manière approfondie : un de noa prinaipaua rêaul"
tata affirme que pour tout entier n ^ 9 et tout entier n ' ^ 4n^^3 (n et n' s 1 ou 3 (mod 6)), on a
N(n') ^ S(n).
Enfin, noua dêterminona dea bomea inférieure et Bupôrieure de S(n), qui donnent une première idée dv comportement asymptotique de cette fonction.
La bibliographie, assez oopieuae, contient quelques articleo publiée dans dea pâriodiquee très rares
(édités au aiôole paeaê) que noua n'avono pas pu noua procurer et que noua citons uniquement pour l'intérêt hietorique :
PREMIERE PARTIE
aiAPITRE I. DESIGNS : INTRODUCTION ET HISTORIQUE.
1.1. t-designo.
t-design S(t,k,n ; îi) où t,k,n,A eont des entiers posi tifs tels que t< k< n est un couple(S, (2) )» S étant un
ensemble de cardinal nCdont les éléments sont appelés points) et ^ une famille de sous-ensembles de S(appe3,és blocs) satis faisant aux axiomes suivcints ;
(i) le cardinal de tout bloc est égal à k
(ii) t points distincts quelconques de S ^appartiennent â X blocs.
Les t>'designs sont parfois appelés"tactical configurations” ou simplement "designs”. Les entiers t,k,n,X en sont les paramétres.
La définition ci-dessus a été donnée en 1961 par Hanani [144] , puis reprise par Hughes ^5 9^ ^isoj .
Deux t“designs(S,(& ) et (S’*(?^') ayant les mêmes paramètres sont dits i3omor»phe3 s’il existe une bijection de S sur S’ (isomorphisme) appliquant tout bloc de sur un bloc de ‘. Un automorphisme d'un t-design ) sera évidemment un isomorphisme de (Ss,(B ) sur lui-même.
0<
2
.-Une condition nécessaire pour l'existence d'un t“design SCtsk^n ; X) est que
soit un entier pour tout h s 0,1,...,t-l. En effet, cette expression donne pour h s 0 le nombre de blocs du t-design et pour h = le nombre de blocs contenant h points fixés de S.
Un t-design est dit trivial si tout sous-ensemble de S de cardinal k est un bloc. Tous les t-designs pour lesquels t sî k ou k a n sont triviaux.
Si S est un t-design S(t,k,n j l) et x un point de S, l'ensem
ble S' = S -{x> struduré par la restriction à S' des blocs de S contenant le point x est un (t-1)-design S'(t-l,k-l, n-1 i X) qui est appelé le design dérivé de S par rapport au
point X.
On désigne souvent par b le nombre de blocs d'un t-design. Si b a n, on dit que le t-design est symétrique . Dcmbowski
[9s]] et Hughes ([iSO^ ont démontré qu'il n'existe pas de t-design symétrique non trivial pour t > 3 (cf. aussi
Mende Isohn [l9 sJ ) 1.2, BIB designs
3,-Ils ont été définis en 1936 par Yates[329j et ont été depuis
lors l’objet d’une foule de travaux, en raison surtout du grand intérêt qu’ils présentent dans les études statistiques, notamment en analyse de variance(cf. Cochran et , Fisher C112] , Mann [190] ). Comparativement, les t-designs avec t > 3 ont été peu étudiés ; cependant, la découverte récente d’un lien avec la théorie de l’information et la construction de codes correcteurs d’erreurs leur a donné un regain d'intérStCcf. AssiJiiis et MattsonjjsJ JllJ |l23 ).
En vertu de(l.a), BIB design S(2,k,
(l.b)
tine condition nécessaire pour l’existence d’un n J X) est
Xn(n-l) £ 0 raod k(k-l) X(n-l) £ 0 modOc-1)
Une autre condition nécessaire est connue sous le nom d’”in6gali“ té de Fisher” (jl.l3]| : elle affirme que
(l.c) k n ======> ^ n
Les BIE designs symétrieues(c’est-à-dire pour lesquels b s n)
sont parfois dénommés designs projectifsCcf. Dembowski[99^ ) : tout BIB design symétrique S(2,k,n ; X) de paramètre X = 1 est un
plan projectif d'ordre k-1. Dans un BIB design sjnaétrique, Iss conditions (l.b) se réduisent à
1*3* Systèaes de Steiner
Les t-designs S(t,k,n ; X) de paramètre - i acnt appelés systèmes de Steiner et sont notés simplement S(t,k,n).
Ils ont été définis pour la première fois de façon précise par Moore[îsej en 189S. Cependant, leur origine est beaucoup plus ancienne ; elle remonte à un problème posé par Woolhousc [324] en 1844 dans un journal féminin, le Lady's and Geîitleman'b Diary ;
”Prize question 1733. Déterminé the number of combinations that can be made out of n symbois, p symbols in each, with this limitation, that no combination of q symbols, which may appear in any one cf them, may be repeated in any other”.
Malgré son énoncé très généraKpeu apte à éveiller l’intérêt), ce problème attira l’attention du Révérend T.P. Kirkman qui, en 1847, donne une solution complète £l66j du cas particulier q=2,p=3, résolvant ainsi le problème d'existence des S(2,3,n). Puis en 1850 il démontre|jl6s] les théorèmes sui vants, remarquables pour l’époque :
"Ther?r. I, If r be any prime number, synibols can be
formed into (r“^^-l);(r-1) columns of r-plets, or combinations of r together, each column containing ail the symbolt; , and
80 that every duad shall be once, and only once employed”. "Theor.II. If r be any prime number ,(r •4-r-H)symbois esnbe
2
KirJcinan construisait ainsi un espace affin â m->l diaaen-
sions d’ordre r et un plan projectif «'‘ordre r pour tout
noiabre premier r(ce dernier résultat est généralement attri~ bue à Fano[lil| qui l'a redécouvert en 1892),
1*1 même année(1850), ylrkman |*187j propose dcina ).e
Lady’s and Gentleman’o Diary un problème qui, malgré son aspect anodin, va susciter quantité de travaux, notamment de Cayley ^Sylvester, Bumside ,., „ : c'est le célèbre problème dee’’i5 écolières’(cf. S 1.7) que nous reproduisons ici, pour l'intérêt historique, sous sa forme originale ;
"Query 8. Fifteen young ladies in a school walk o\it three abrsast for seven days in succession : it is rsquired to
arrange thera daily, so that no two shali walk twice abreaat’'. L'intérêt pour les systèmes de Steiner S(2,3,n) s’est encore accru en 1853 avec un problème posé par Steiner f27&J , Ce problès'.e, inspiré par l’étude de la configuration dess 28
bitangentes à une quartique ]^ane []277J Cef, Noether £2.1^[21®î]) comporte plusieurs parties, dont voici la première :
"Welche Zahi,M, von Elementen hat die Eigonschaft, dass sich die Elément© so zw dreien ordnen lassen, dass je zwei in
En vertu de <i.a), une condition nécessaire pour l'existence d’un S(t,k,n) est que
( 1 .e)
soit un entier pour tout h 0,1,... ,t"i(Moore [^198^ p.268>.
Le problème d'existence des designs
Un problème difficile, encore loin d’être résolu, consiste à trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur les entiers t,k,n,7t pour qu'il existe un t-design S(t,k,n i A)
a) t> 3
De même qu’on ne connaît aucun groupe t-transitif non tri vial avec t > 6 , on ne connaît aucun t-design non trivial avec t > 6. En fait, les deux problèmes sont liés (Hughes ) ; si on pouvait démonter que tous les t-designs sont triviaux pour t>t^, il en résulterait que tous les groupes t-transitif s finis avec t>t^ sont symétriques ou alternés.
D’autre part, seuls quatre systèmes non triviaux S(t,k,n) avec
t s H ou 5 sont connus ; ce sont des S( 4,5,11), S( 5,6,12),
3(4,7,23), 3(5,8,24). Barrau[2l] a donné en 1908 une construction purement combinatoire des deux premiersCvoir aussi Fitting[ll7j). Signalons cependant que le 3(4,5,11) avait déjà été trouvé en 1868 par Lea[l79j . Par la suite, Carmichael jjC)| en 1931 et Witt[322] [323] en 1938 ont montré que ces quatre systèmes excep tionnels étaient liés aux groupes de Mathieu
l
On trouvera dans im article de Todd []2 99j une table donnant tous les blocs du Système S (6,8,24) ; ce système de Steiner joue un rôle importarit dans la construction du groupe simple de Conway |^86^ (de même que le S(3,6,22) associé à dans la construction du groupe simple de Higman-Sims [lS8]| ) .
Au cours des 5 dernières années, de nombreux 4- et 5-designs avec ^ > 1 ont été découverts, notamment par Hughes £î60j ,
Assmus et Mattson fioj [l:Q [l»}] , AlltoppsJ []6j et Pless |227j, Hanani[î42]] |]l45j| a démontré en 196 3 que les conditions nécessai
res (l.a) sont aussi suffisantes pour l'eiéstence des
S(3,4,n ;X) . Beaucoup d'autres 3-designs ont été construits* par exemple, on est assuré de l'existence d'un SC3,q-M,q’’^!'l) pour tout q puissance de nombre premier (Witt [^32 33 ).
b) t a 2
Hanani [1443 1^1473 [^14sJ a pu montrer que les conditions nécessai;?es (l.b) et (l.c) sont suffisantes pour l'existence des S(2,3,n iX), S(2,4,n }X) et S(2,5,n jX) avec une seule exception ; il n'existe pas de 8(2,5,15 ; 2)(la non existence de ce design avait déjà été établie par Kandi[2053et par
Hall et Connor|jl383 ),
D'autre part, les conditions (l.b) et (l.c) ne sont pas suffisantes pour une infinité de valeurs des paramètres k,n,X ; en effet, dans un S(2,k,n ;X) symétrique
7.-8
.-o) si n est pair, k -Xest un carré
(SchützenbergerQzSS] ; Chowla et Ryser [763 ^ 6)si n est impair, l'équation diophantienne
s (k-X)x^ •{•
a une solution en entiers x,y,z non tous nuis (STvrlkbande [zsuj ; Chowla et Ryser [^763 ).
Pour X = Ijtout design symétrique S(2,k,n ; X ) est un plan projectif d'ordre N = k-1 et la condition nécessaire 6 se réduit au
Théorème de Bruck et Ryser [S83 : Si N 5 1 ou 2(mod 4) n'est pas la somme de deux carrés, il n'existe pas de plan projectif d'ordre N,
Par exemple, il n'exbte pas de 3(2,7,43), c'est-à-dire de plan projectif d'ordre 6. En 1900, Tarry |j2973 qui étudiait le célèbre problème "des 36 officiers" d’Euler, avait déjà démontré,sans s'en rendre compte, la non existence d'un tel plan, mais la première démonstration"consciente" n'a été donnée qu'en 1907 par Safford £2493 , en réponse à un problè me proposé par Veblen dans 1’American Mathematical Monthly
oC
9.”
Un résultat aussi remarquable que celui de Hanani a été obte nu récerament par Wilson £31?3 [3l£j ^32o3 : il a trait â
la conjecture suivante, dont l’auteur exact ne semble pas connu (cf, Hall[l37^, p,248) ;
Conjecture d’existence asymptotique : A tout couple d’entiers k, X est associée une constante C(k, X ) telle qu'il existe un S(2,k,n; X ) pour tout entier n > C(k,X ) vérifiant les congruences (l.b).
Wilson a montré que cette conjecture est vraie si l'une des conditions suivantes est remplie :
(i) y./(k, X } est égal â 1 ou à une puissance de n<xnbre
premier.
(ii) X > ([k/2]-l)([k/2] -2)
Notons que la condition (i) est remplie pour tout k puissance de nombre premier.
On trouvera de plus amples renseignements sur le problème d'existence des BIB designs dans les travaux de Witt Qs23j , Bose , Hall ^37j , Dembowski , ainsi que dans les tables de Fisher et ïates {lisj , Cochran et Cox^Q^a Rao [2 3^, Sprott [27^, Takeuchi [23^ Clatworthy et Lewyckyj .
Voici un échantillon de valeurs de k et n pour lesquelles le problème d'existence d'un système de Steiner S<2,k,n) est
- n existe vm S(2 3q^q^> et un S(2
(p3.ans affin et projectif d'ordre q) pour tout q puissance ûe nombre pi?emier(Vebrien et Bussey f304] ). On ignore s'il existe un plan affin ou projectif d'ordre N non puissance de nombre premier; la première valeur pour laquelle il y a doute est N = 10. En 1968j Clatworthy a”démontré" la non existence d'un tel plan : sa démonstration est ccrt'ecte mais s'appuie sur un résultat erroné de Shriîchande.
3
- Il existe un S(2, q-î-l,q +1) pour tout q puisseuice de nombre premier ( Bose |S , Segre ^2 5 sJ )
~ Il existe un CÏ2,2^ pour tout r > 2 (Witt [32 3] 3 Seiden [262]j263] , Puharev [2 ÎO] ) .
- S'il existe un S(2,k,k^) ,un S(2,k,n) et un SC?.,kjn')j
il existe tin S(2 ,k,nn ' ) (Moore |l98] Vii
“ S'il existe un S(2,k-!'l sk^tktl) et un S(2,kvl,n), il
existe un S(2,k-î l ,kn-î-l) (Sko.lem[212] , note 16 de la 2e édition^
p.329).
* « • • ^2
-Soit n a p. p„ , c .. p. la décomposition de n en tracteurs premiers et soit r < minCp. » po p ) v 1 .
*** i 4L *0^
S'il existe un S(2^r.r5), il existe un S(2,r,rn), et s'il
existe un S(2,r,n-M), il existe un S(2,r,rn+1) (Hanani [l44j ) ,
1.5. Systèmes de Steinei’ S(2,k,n) et leurs sous-systèmes.
des systèmes de Steiner qui sont en même temps des BIB designs.
Les S(2,k,n) sont des cas particuliers d’espaces linéaires au sens de Libois : nous appellerons leurs blocs des droites et nous utiliserons la terminologie classique, plus intuitive, en disant par exemple qu'une droite passe par un point, que deux droites se coupent en un point,etc...
Un système de Steiner S(2,k,n) sera dit d’ordre n . Nous supposerons presque toujours k > 2.
1.5.2. Un sous-système d'un S(2,k,n) est une parti® V de
l'ensemble S telle que toute droite de S passant par deux points distincts quelconques de V soit contenue entièrement dans V, La partie vide, toute partie formée d’un seul point, toute droite, l'ensemble S lui-même sont des sous-systèmes
(triviaux) de S. Nous sommes ainsi amenés à considérer l’en semble vide et tout ensemble de cardinal 1 comme des systèmes de Steiner S(2,k,n) (traditionnellement, on suppose n > k).
Un sous-système de cardinal v sera dit d’ordre v. Il est clair que toute intersection de sous-systèmes est encore un sous-système.
12
.-Théorème 1, Soient S un système de Steiner S(2,k,n)j
Vi et Vg deux sous-systèmes de S d’ordres et Vj respec tivement . Si Vj » on a
(n - vJ
Démonstration. Comme » il existe un point xcV^-V^» Toute droite de S joignant x à un point y de Vg - ne peut avoir un deuxième point en commun avec sinon elle serait tout entière dans et on aurait y € V^. Par con séquent, chacune des droites de S joignant x aux
^2 ” de Vg - Vj a k - 1 points extérieurs à . D’autre part, deux quelconques de ces droites ne peuvent avoir d'autre point commun que le point x, sinon elles
coîncidera.ient et comme elles auraient alors deux points dans
y2 > elles seraient tout entières dans V2 et on aurait x 6 Vj. On a donc
+ (k-lKVg ” V2j ) < n
et l'inégalité annoncée s'en déduit immédiatement.
Théorème 2. Soient S un système de Steiner S(2,k,n)jV un sous-systà^e (vide ou non) d'ordre v de S. Si V ^ S, on a
13,
Démonstration, Comme V S, il existe un point x 6 S - V,
Il suffit alors d’appliquer le théorème 1 ci-dessua en posant et Vj = V.
En vertu du théorème 2, dans un système de Steiner S(2,k,n>, tout sous-système distinct de S a au plus (n-l)/(k-l) points. S’il existe dans S un sous-système V de cet ordre, nous
dirons que V est un sous-système maximal de S,
Théorème 3, Si un système de Steiner S<2,k,n) contient deux sous-systèmes maximaux distincts et , leur intersection est un sous-système maximal de chacun d’eux, autrement dit
Démonstration. Corne Vj, on peut appliquer le théorème 1 ci-dessus en posant = Vg » (n-l)/(k-l), d’où
D’autre part, comme V2 ^ V^, le théorème 2 ci-dessus
donne
<n-l)/<k-l) > (k-1) [V^nv^j + 1
c’est-à-RÜre
Î4
Théorème 4. Soit S un système de Stcinesr SC2jîCÿn> avec k>2 =
S ne peut contenir simultanément un sous-système V d’ordre V > 1 et un sous-système V’ d’ordre v t 1,
Démonstration. Si v = 1» V’ est d'ordre 2, ce qui sot impos sible puisque toute dy<iitc a plus de 2 points.
Si V > 2, chacun des sous-systèmes V et V' contient
au moins mie droite et v > k. Dès lors, la condition nécessai re d’existence (l.b) donnée en 1.2 implique les égalités
V - 1 = d<(k-l) et V s d’(k-î), où d et d’ sont des entiers positits ; on en tire successivement <d’ - d)(k-i) s 1 et k = 2,ce qui contredit l'hypothèse.
Ce théorème est faux pour v = 0.
1.6. Systèmes tripl«^s de Steiner.
1.6.1. Les S(2,3sn) sont appelés systèmes triples de Steiner Cou systèmes triples) et sont notés plus sirapleinent S(n). lia contiennent n(n-i)/6 dï*oites.
En vertu de (l.b), une condition nécessaire pour l'existence d'uTï système triple d'ordre n >0 est
nHl ou 3 (îsod 8)
X
15,-première construction, en 1859,d'un système triple d'ordre n = 6k + 1 ou 6k v 3. Il a fallu attendre les travaux
de Ryser£24?3 et Hall [l3^[l37} pour que la vérité historique soit rétablie(citons cependant une tentative de réhabili
tation pau? Cummings [933 1918) .
La démonstration de Reiss (qui était identique à celle de Kirkman) tomba quelque temps dans l'oubli et ne fut retrouvée par Netto (cf.[]21^ , note p.211) qu'après la publication en 1893 par Moore [l96^ d'une démonstration tout à fait différente. Depuis lors, plusieurs autres procédés de construction ont été découverts, notamment par Netto
[20^[212], Heffter[l55] , Fitting[il6] , Skolem[212] (notes 16-18 de la 2e édition, pp, 321-334) [2683 » Carmichael [723 »
Peltesohn[2253 , Bose [4s3 [bi3 , Fort et Hedlund [Î2o3 , Hanani [l43] [l44] [l50] , Bruck[S7] , Rosa [24s3 et Hall [l37j .
Signalons aussi les «æticles de Sierpinski [26^ , Frascella Q.2^ [^22^, Sobocinski [2693 et Vuckovic [3093 qui traitent du problème d'existence de systèmes triples de Steiner sur un ensemble de cardinal infini quelconque.
■16."
de problèmes ouverts . Un des buta de ce travail est d’apporter une solution à quelques-uns d’entre eux.
Remarque. Dans les chapitres consacrés aux systèmes triples de Steiner, n désignera toujours un entier nul ou de la forme 6k + 1 ou 6k t 3. Ainsi, lorsqu’on dira qu’;me propriété
est vraie"pour tout n”, il sera sous-entendu que n est nul ou congru à 1 ou 3 module 6.
1.7. Designs a parallélisme et systèmes de Kirkman.
1.7,1. Soit (B l’ensemble des blocs d’un t-design S. Une partie de est appelée une classe parallèle de blocs si tout point de S appartient à un et un seul bloc de , et le design S est dit à parallélisme si admet une partition en classes parallèles.
Les BIB designs à parallélisme sont souvent appelés "resolvable BIB designs" ; ils ont été définis en 1942 par Bose [493 ,
Nous appellerons système de Kirkman tout système de
Steiner S(t,k,n) à parallélisme et nous le noterons K(t,k,n)y en souvenir du problème suivant, proposé par Kirkman flBS] en
1850 :
”To assign the nurabers n,q and r, such that it shall be possi ble to arrange nr symbols in co3.umns of n r-plets, each coluran
ot
17.-1.7.2. Récemment, Ray-Chaudhuri et Wilson[239j ont obtenu des résultats remarquables sur l’existence des systèmes de
Kirkman qui sont en même temps des BIB designs, c’est-â-dire des K(2,k,n) ;
Une condition nécessaire pour l’existence d’un K(2,k,n) est
n S k mod k(k-i)
Ray-Chaudhuri et Wilson ont montré qu’elle est asymptotique ment suffisante : à tout entier k est associée une constante C(k) telle que si n s k mod k(k-l) et n > CCk),alors il
existe un K(2,k,n)
De plus, ils ont montré £2373|^2383 que pour k ^ 3, cette condition nécessaire, qui se réduit alors à n ^ 3(mod 6), est suffisante, résolvant ainsi le fameux problème de Kirkman dif’des 6m 3 écolières”, dont nous avons donné l’énoncé en 1,3 dans le cas parüsulier où 6m -î* 3 = 15.
Ce problème n’était à l'origine qu’une simple amusette (on le retrouve dans tous les traités classiques de
récréations mathématiques : Ahrens £l3. Bail [isj £l73 ,
Kraitchik £1773 , Lucas £l843 , Sainte-Lague [25CÎ| , Schubert
£2553 £2573) et Kirkman en était conscientCcf. £1683 ,p.260 ; ”... a practical puzzle given by me at page 48 of the Lady’s and Gentleman*s Diary, 1850, which I should hardly deem
18.-exciteé* as I hear^ some attention among a far higher class of readers than those for vjhom the first 48 pages of the Diary ara intended”). En effet, ce "puzzle” connaît
très vite un énorme succès, notamment auprès de mathématiciens éminents tels Cayley et Sylvester, et il est l'objet de tant de travaux que, 19 ans plus tard, Kirkman (^74], p.99)
n'hésite pas à parler de "the famous fifteen young ladies whom I had the honour of introducing to the planet for the first time in the Lady's and Gentleman's Diary for 1850".
C'est d'ailleurs à peu près à cette époque que Sylvester C23l] en revendique la paternité : "It is not improbable that the question, under its existing form, raay hâve originated thr*ough channeis which can no longer be traced in the oral communications ma^e by myself to ray fellow-undergraduate at the University of Cambridge long years before its first appearance".
Le nombre de solutions partielles données depuis 1850 au p3X)blème des 6m + 3 écolières était tel que certains auteurs(cf. Coxfs?] ,p.77) ont cru le problème complètement résolu J il y a quelques années , BoselSf^et Segre [2593 avaient encore?vainement) tenté de le résoudre.
19.-CHAPITRE II. AUTOMORPHISMES DE SYSTEMES TRIPLES DE STEINER.
2.1. Introduction.
Les diverses méthodes de construction de systèmes triples de SteinerCet plus généralement de designs) sont de deux espèces :
a) les constructions récurrentes ,dans lesquelles le design est obtenu par des techniques purement combinatoires à partir d*un autre design ou d'une collection de designs"plus petits". Ces méthodes de construction sont très puissantes ; elles sont â la base des splendides résultats de Hanani[l4t^ [l4^ » Ray-Chaudhuri et Wilson [23^ , et Wilson [319^ [32oj . Nous décrirons quelques nouvelles constz*uctions récurrentes dans le chapitre III.
b) les constructions directes , dans lesquelles le design est obtenu â partir d'une structure algébrique : cette
technique a atteint son apogée dans un travail, devenu
clas-tions directesC à partir d'un groupe abélien fini) dans le chapitre IV.
Parfois, le design est construit directement à partir du groupe de ses automorphismes, d'un sous-groupe de celui-ci ou même d'un seul automorphisme. Ce sont des constructions
construc-
20.-de ce type que nous nous proposons d'examiner dans ce chapitre.
2.2. Systèmes triples cycliques.
Un système triple S(n) est dit cyclique si le groupe de ses automorphismes contient une permutation de la forme
OC ...»x^) .
Netto[209] en 1893 , Heffter [iSS] et Moore Jl99] [2O0] en 1897 avaient construit un grand nombre de tels systèmes, mais en fait le problème d'existence des systèmes triples cycli ques n'a été résolu qu'en 1939 par Peltesohn|225"J qui a démontré le
Théorème. Il existe un système triple cyclique d'ordre n pour tout n s 1 ou 3 (mod 6), sauf pour n s 9.
Rosa [[243]] a donné en 1966 une nouvelle démonstration de ce théorème.
2.3. Systèmes triples symétriques.
2,3.1. Un système triple S(n) est dit symétrique si le groupe de ses automorphismes contient une permutation involutive de la forme
oc «(aXxj.îj) (Xj.Sj) ... , S(n_i)/2)
2.1.-Démonstration, Soit S(n) un système triple S3miétrique admet tant l’automorphisme involutif oCi(a)(x^,x^)(x^»Xj). ® .
^’^(n-l)/2» ^(n-l)/2^ *
Les droites de S passant par le point a sont nécessairement ^ajXj.x^l , ... , {^»^(n-l)/2’ ^(n-D/2}
les autres droites de S sont d'un des quatre types suivants :
(1) |x^, Xj, Xjçj
(2) {5i. iy
(3) {xi. X^,
(4) {îi> ïj. x,^}
Désignons par d le nombre de droites du type<1)(c'est aussi le nombre de droites du type(2)) et d’ le nombre de droites du type (3)(c'est aussi le nombre de droites du type (4))»
Comme S contient n(n-l)/6 droites, on a
2d + 2d' s -6
(I)
Il y a (n-l)(n-3)/8 paires de points x^ dans S ; chaque droite du type (1) contient trois de ces paires et chaque droite du type (3) encontient une seule. On a donc
_ (n-l)(n-3) 3d + d'
8
22o-Les équations (I) et (II) donnent
. (n-1) (n-3)
- —- d C ---jg---J, _ (n-l)(n~3)
Comme n3l ou 3 (mod 6) et que d et d' doivent être entiers, on en déduit que
n s 1,3,9 ou 19 (mod 24)
a pu montrer l’exBtence d*un S(n) symétrique pour tout n=l,3 ou 9(mod 24), sauf pour n ~ 25.
Nous allons d*une part compléter ce résultat en construisant un système symétrique dordre 25, et d'autre part établir d’une manière plus simple l'existence de tels systèmes pour ns3 ou 9(mod 24) (cf. § 2.4).
2.3.3. Considérons l'ensemble S = .^a,l,2,... ,12, 1,2,..., Î5 On vérifie aisément que les sous-ensembles suivants
23.-{4,6,îô] {3,6,12] {4,7,îl] {3,8,10] {4,5,Î2| {3,5,9] {4,6,9] {3,6,§| {4,7,10] {3,7,15] {4,8,11} {3,8,n] {2,7,9] {1,7,12] {2,8,11] {1,8,9] {2,5,îï] {1,5,10} {2,6,12] {1,6,ÏÏ] {2,7,9} {1,7,12] {2,8,îo| {l,8,9j
ainsi que leurs "complexes conjugués" (on tiendra compte de
SB
la propriété bien connue z s z), sont les droites d'un S(25) symétrique, d’où le
Théorème 2. Il existe un système triple symétrique d'ordre n pour tout n = 1,3 ou 9 (mod 24)
On ignore sll existe des S(n) symétriques pour n s 19(mod 24). Toutefois, par un procédé de construction partiellement empiriqui
(tout comme pour le S(25) que nous avons décrit ci-dessus), Rosa[2443 a établi l'existence d'un S(19) symétrique.
2.4. Systèmes triples quasi-cycliques.
Nous dirons qu'un système triple S(n) est quasi-cyclique. si le groupe de ses automorphismes contient une permutation delà forme OC s (a) (x^,Xg, • •. ,Xj^_ ^) .
24.-(cf. Bail jl7] , lie édit., pp. 269-273).
Nous allons en donner une solution complète(Rosa nous a informé qu’il possédait une solution analogue, non encore publiée) . Nous utiliserons le lemme suivant, dû à Skolem[267^ :
Lemme. Il est possible de répartir les entiers 1,2,...,2k en k couples disjoints (p^,qj,) avec qj, - = r pour tout r = l,...,k, si et seulement si k ~ 0 ou Kmod 4).
De telles répartitions ont été données également par Davies ^9b3 , Hanani jjl4^ et Markov ^ISlJCvoir aussi Alekseev [2^ et Eckler |l06^ ).
Théorème. Une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un système triple quasi-cyclique d'ordre n p» 1 est que n soit S 3 ou 9(mod 24).
Démonstration. Soit S un système triple quasi-cyclique admettant l’automorphisme C< = (a)(x^,X2,...^). Il est
clair que S est aussi symétrique et par conséquent on a nécessai rement n 1, 3, 9 ou 19(mod 24)(théorème 1 du § 2.3,1).
Nous définirons la distance d.. des points x.,x.
ij ^ J
(i,j = l,...,n-l) comme étant d^. s min ||i“j| » ^-1
25o-Soit ^a,x^,x^^ une droite de S passant par le point a et oCi* la puissance de oC appliquant x. sur x, . Comme oC..
fixe le point a et que toute paire de points de S est contenue dôuis une seule droite,®^., doit appliquer x. snr x. « On en
* J 3 ^
déduit que les droites de S contenant a sont les sous-ensem-blés ^a,x^,Xj^ où d^^ * (n-l)/2
Soit droite de S ne passant pas par le
point a. Les entiers d^^dj^^ sont tels que l*un d'entre eux est égal â la somme des deux autres ou que la somme
des trois est égale à n - 1. D'autre part, si deux de ces entiers sont égaux, ils sont tous égaux i si on suppose par
exemple que d^^ » ^jk* ^ij
x.( et aussi x. sur x. puisque d.. - d., ) doit appliquer
3 3 ^ ^3 3^
Xj^ sur Xji^ puisque toute paire de points est contenue dans tine seule droite, d'où on déduit que d^^ = d^j^ s *^ici* *
a) Si S contient une droite avec
la valeur commune de ces distances est (n-l)/3, qui doit être un entier, et par conséquent n £ 1 ou 19(mod 24).
La construction du système S est alors équivalente au problème suivant : partitionner l'ensemble
E a X1 2 ^ ^ — i S- “ ^ * 1 - 1 \ — + 1,..., ^ J
26.
est de cardinal(n-5)/2 et que n s 1 ou 19Cmod 24), une telle partition est impossible.
b) Si, pour toute droite distances
d..,d., ,d, . sont différentes deux à deux, la construction du ij’ jk* kx
système S est équivalente au problème suivant : partitionner l'ensemble
E’ = {l,2...Sjl - l]
en classes de cardinal 3, de telle façon que dans chaque
classe la somme de deux entiers soit égale au troisième ou que la sosame des trois entiers soit égale à n - 1.
Comme E' est de cardinal (n-3)/2, une telle partition n'est possible que si (n-3)/8 est un entier, c'est-à-dire si
n 3 3 ou 9(mod 24). Dans ces conditions k*(n-3)/6 est æ 0 ou 1 (mod 4) et on peut appliquer le lemme de Skolem aux entiers 1,2,...,2k. Il est facile de vérifier que les sous-ensembles
^r^^l (r=l,...,k) forment une partition de
l'ensemble ^l,2,...,3k| =. E et que cette partition satisfait aux exigences foraulées ci-dessus.
La condition nécessaire n S 3 ou 9(mod 24) est donc aussi suffisante pour l'existence d'un S(n) quasi-cyclique.
2.5. Quelques problèmes.
27.-que comprend 0( . A la permutation oC est donc associé un n-uple d’entiers ( (Kg,.. ., tels que
+ 2 0(_ + 3 OC- + ,., + n OC a n
12 3 n
Les étant donnés, quelles sont les conditions néces saires et suffisantes sur l’entier n pour qu’il existe un système triple d’ordre n admettêmt un automorphisme du type OCg,
Dans ce chapitre, nous avons discuté les cas (0,0,..,,0,1) S(n) cyclique
(1,2^ ,0,0,...,0) S(n) symétrique (1,0,0 ,.,.,0,1,0) S(n) quasi-cyclique
b) Les groupes d’automorphismes des systèmes triples de Steiner sont encore assez mal connus. Ainsi, malgré les travaux de Hall jl3lj [l36j et King [iBS] (voir aussi
Ltineburg [iSS^ ), la conjecture suivante est toujours sans réponse.
28„-L’étude des groupes d’automorphismes des systèmes triples d'ordre 15 fournit de précieuses indications sur les
automorphismes des designs en général. Il y a 80 S(15) non isomorphes(cf. la deuxième partie de ce travail) j la table suivante donne les ordres de leurs groupes d’automorphismes ainsi quele nombre de systèmes ayant un groupe d'ordre donné.
28 bis
On a constaté que chaque fois qu’il existe un design ayant certains paramètres, il existe aussi un design ayant ces paramètres et possédant un automorphisme distinct
29,
CHAPITRE III. CONSTRUCTIONS RECURRENTES DE SYSTEMES TRIPLES DE STEINER.
3.1, Introduction.
La première démonstration par Kirkman de l'existence d'un S(n) pour tout n S 1 ou 3(iaod 6) utilisait une
construction récurrente de ces systèmes. Kirkman montrait comment on peut,à partir d'un S(n), construire un S(2n+1) et un S(2n-5)(la deuxième construction n'étant possible que si le S(n) de départ a certaines propriétés).
Un autre type de construction récurrente est dû à Moore [^19^ qui a établi en 1893 le
Théorème 1. Soient S^jSjjSg trois systèmes triples d'ordres n^,n2, Ug respectivement, Sg étant un sous-systèmes de Sj« Il existe un système triple S dbrdre n^ + nj(n2~ng),contenant des sous-systèmes isomorP^^s â S^,S2,Sg.
Pour n2 * 3 et ng = 1, on retrouve la construction de Kirkman qui permet de passer d'un S(n) à un S(2n+1). En prenant ng * 0, on obtient le
Théorème 2. Soient 8^,82 deux systèmes triples d'ordres n^,n2
respectivement. Il existe un système triple S d'ordre n^Ug contenant des sous-systèmes isomorphes à 3^,82.
30.-Q idempotent totalement symétrique(noté multiplicativement) défini par
2
(i) a = a pour tout point a de S
(ii) ab Z c si et seulement si ^a,b,c^ est une droite de S
Q peut être caractérisé par les égalités a = a, ab = ba, (ab)b s a pour tout a,b €Q (cf. Bruck [57] , Szamkoîowicz (28^) ; tout qiiasigroupe ayant ces propriétés est associé à un système triple de Steiner. Le produit direct de deux tels quasigroupes est un quasigroupe du même type et le théorème 2 en découle immédiatement.
Si sont les quasigroupes associés à nous dirons que le système triple S associé à x Q2 est le produit direct de et Sj.
3.2. Une nouvelle construction récurrente.
Récemment, Hanani [l503 a découvert une nouvelle construc tion récurrente(non encore publiée) de systèmes triples de Steiner ; il a montré comment, à partir d‘un S(n) d'ordre n > 7, on peut construire un S(2n+7) contenant ce S(n) comme sous-système.
31.-Théorème. Soient un système triple d’ordre n et
un système triple d’ordre n’ < n, et Sj étant construits sur deux ensembles disjoints.
Si n' = 6k + 1, il existe un système triple S d’ordre 2n + 6k + 1 contenant S^ et S2 comme sous-systèmes.
Si n’ ~ 6k + 3, il existe un système triple S d’ordre
2n + 6k + 3 contenant S^ et $2 comme sous-systèmes, à
condition que n s 3(mod 8)(si n 3S Krnod 6), il n’existe pas de système triple d'ordre 2n + 6k + 3).
Démonstration.
A) Supposons qu'il existe un système triple S’^ d'ordre n construit sur un ensemble disjoint de S^^ et S2, et satisfai sant aux conditions suivantes :
(i) il existe dans S'^ une famille de droites, que nous appellerons droites exceptionnelles, telle que par tout point de S’^ passent (n'-l)/2 de ces droites. On en déduit que le nombre de droites exceptionnelles est égal â n(n’-l)/6.
(ii) il existe une permutation 0( de S'^ formée d'un seul
cycle d'ordre n et telle que l'image par oC de toute paire de points joints par une droite exceptionnelle soit
encore une paire de points joints par une droite excep tionnelle .
32,-Si un tel système S'^ existe, on peut construire sur l'ensem ble S s U S'j Ü S2 un système triple remplissemt les
conditions du théorème. En effet, désignons par p^,P2 , •.. ,Pj^, (avec n' = 6k + 1 ou 6k + 3) les points de Sg, par q2»q3»*»» , q^, les points de situés sur les droites exceptionnelles issues d'un point q^ de S’^, et par (p une bijection quelconque de S'^ sur ; nous prendrons comme droites de S
(a) toutes les diHîites de (b) toutes les droites de
(c) toutes les droites exceptionnelles de (d) tous les sous-ensembles {x,y, (z)j- ,
^x, i>(y),zj , (x) ,y,z] de S, où (x,y,z^ est une droite non exceptionnelle de S’^.
(e) tous les sous-ensemblés|^po<^(qj) , de S, pour tout i = l,...,n* et j = l,...,n
Il ya n(n-l)/6 droites(a), n'(n'-l)/6 droites (b),
n(n'-l)/6 droites(c), n(n-n')/2 droites (d) et nn’ droites (e), c'est-à-dire en tout(2n+n')(2n+n’-l)/6, qui est le nombre
de droites d'un système triple d'ordre 2n + n'. Par conséquent, pour démontrer que S, muni de cette famille de droites, est un
système triple, il suffit de vérifier que toute paire de
points de S est contenuedeins une au moins des droites (a),(b), (e) .
33.-*
Cette vérification ne présente aucune difficulté. B) Il reste à établir l’existence d’un système triple S’^ d’ordre n remplissant les conditions (i) et (ii) pour tout n > n ’.
(1) Si r.’ s 1, il n’y a pas de droites exceptionnelles et on peut prendre pour S’^ n’importe quel système triple d’ordre
n. En fait, notre construction est alors indépendante du choix de OC .
Si n’ s n, toutes les droites de S’^ sont exceptionnel les et on peut prendre pour S’^ n’importe quel système triple d’ordre n et pour OC n’importe quelle permutation de S*^
formée d'un seul cycle d’ordre n,
(2) Si 9 et n’ s 8k + l,en vertu du théorème 2.2, il existe un système triple S'^ cyclique d'ordre n admettant l’automorphisme OC =(x^,...,x^>. Dans un tel système, il est facile de trouver kn droites exceptionnelles avec 3k de ces droites par chaque point : il suffit de choisir k droites dont deux quelconques ne sont pas images l’une de l’autre par une puissance de o< , puis de prendre les kn droites images de ces k par les puissances de 0<w . Il est clair que S'^ et oC vérifient les conditions (i) et (ii).
Si n # 9(avec n S 3(mod 6)) et n’ = 6k t 3, soit un système triple cyclique d’ordre n admettant l’automorphisme
oC =(x^,,,. ,Xj^). Un tel système contient nécessairement les
34.-nous les prendrons coimcs droites exneptiortnel^es.
D'autre part, choisissons encore, en dehors de ces n/3
droites , k droites dont deux quelconques ne sont pas images l'une de l'autre par une puissance de oC et prenons comme
droites exceptionnelles les kn droites images de ces k par les puissances de o< . Il est clair que S'^ et ©(.vérifient les conditions (i) et (ii) .
(3) Si n = 9 et n* = 7, les droites de S'^ sont
Les droites des 3 premières colonnes et la permutation s(l,2,3,4,5,6,7,8,9) vérifient les conditions (i) et (ii). Si n 2 9 et n' s 3, les droites de la quatrième colonne et la permutation (1,2,3,4,5,6,7,8,9) vérifient les conditions (i) et (ii).
Remarque, On retrouve la construction de Kirkman en posant n' s 1, en prenant pour S'^ un système triple isomorphe à et pour (p un isomorphisme de S'^ sur S^.
35o-Constructions récurrentes minimales.
On ne connaît pas de construction récurrente permettant de passer d*un S(n) à un S(n+2) quand n “ 6k+l, ou d'un S(n)
â un S(n+4) quand n = 6k+3. Une telle construction serait cependant très utile pour tenter d'établir que le nombre
de systèmes triples non isomorphes d'ordre n est une fonction croissante de n(on verra, dans la suite de ce travail, le parti que nous tirerons de la construction 3.2).
Nous allons apporter une solution partielle à ce problème en montrant que si le système triple S(n) remplit certaines conditions(qu'on rencontre dans la pratique pour de petites valeurs de n) une construction récurrente"minimale" est possible.
Théorème 1. Soit S un système triple d'ordre 6k+l ayant la pro priété suivëunte : l'ensemble S admet une partition en k+1
Bous-ensembles(1'un réduit à un point, les k autres de cardinal 6)
Démonstrë^ion. Soient b,c deux objets n’appartenant pas à S . Posons S = S U ^b,c| et considérons les sous-ensembles suivants de S (où i =
36o“
(a) \a,b,cj
(b) toutes les droites de S sauf les OC^, |3^, (c)
(d)
(e) (o,yi,Zj] » {c»t£,Uj] , {c,V3,x.]
muni de cette famille de sous-ensembles, est um système triple d'ordre 6k -s- 3. La vérification est aisée.
Théorème 2. Soit S un système triple d’ordre 6k+3
ayant la propriété suivante : l'ensemble S admet une parti tion en k+1 sous-ensemblesd’un de cardinal 3, les k autres de cardinal 6)
{3^,32,83}
tels que {33,32,33] , OC^ = {x3,y3,Z3] , ft^
^4 = IU.,v.,x.l , 3 . = I y.,t.,v.| soient des droites de S pour tout i - l,...,k. Dans ces conditions, on peut constuire à partir de S un système triple S d’ordre 6k+7. Démonstration. Soient a^,ag,ag,ay quatre objets n’appartenant pas à S. Posons § = S \J ^a^,ag,ag,aiy^ et considérons
sous-ensembles suivants de S(où i s l,...,k)
37.”
(a) {a^,ai^,ag] , |a^,ag,a^] , [a2,a^,ag|
{a2,ag,a^j , ^a^ja^^ja^]- , ^ag^ag^agl
(b) toutes les droites de S sauf lesOC^^, (=>{a4=yi.Zi] . |a4.ti.''i} . Ja4>=‘i>“i| (d) , Jaj.Zi.ti] , {a5.Ui.Vi}
(e) {ag,Xj.,Vi} , {ag.yi.t^} . {a^.z^.u^^} (f) {a7,Xj,Zj_} , {a7.yi.Vi} . (ay.ti.u.}
38„-CHAPITRE IV. UNE CLASSIFICATION DES SYSTEMES TRIPLES DE STEINER.
4.1. Introduction.
Dans un système triple S d'ordre n > 7, appelons triangle toute partie formée de trois points non alignés. Dès lors, un et un seul des trois cas suivants est possible:
a) Tout triangle engendre S ; un tel système est appelé plan non dégénéré.
b) Il existe au moins un triangle qui engendre S et au moins un triangle qui n’engendre pas S ; un tel système est appelé plan dégénéré.
c) Aucun triangle n'engendre S ; un tel système est appelé espace.
Cette classification a été présentée pour la première fois en 1963 par Szamkoîowicz£29^ (voir aussi [29:^ et[2 92j ) .
En vertu du théorème 2 du § 1.5.2, l'ordre n d'un système triple qui contient un sous-système d'ordre v n vérifie l'inégalité n > 2v + 1. Si v > 7, on a n > 15 et par
39.-tous les S(15) non isomo^hes montre que parmi ces 80
systèmes, il y a 57 plans non dégénérés, 22 plans dégénérés et un seul espace(qui est d’ailleurs l'espace projectif à
3 dimensions sur le champ F2).
pour quelles valeurs de n existe-t-il un S(n) qui soit a) un plan non dégénéré ?
b) vin plan dégénéré ? c) un espace ?
Dans ce chapitre, nous allons construire un pian non
dégénéré dbrdre n pour tout n > 7 et un plan dégénéré d'ordre n pour tout n > 15, résolvant ainsi complètement les deux premiers problèmes de Szamkoârowicz. A notre connaissance, le troisième pî^-oblème est toujours ouvert ; nous en donnerons une solution partielle.
Les techniques que nous utiliserons nous permettront
aussi de répondre à une question posée en 1964 par Szamkoiowicz (£29^, p.l28) qui, étudiant certains systèmes triples
d'ordre 6k+3 définis par Bose et ayant démontré qu’aucun d'eux n'est un espace, n'était pas parvenu à les classer en plems dégénérés et non dégénérés.
40.-Construction directe de systèmes triples d*ordre 6k»3. 4.2.1,Soit 6 un groupe abélien(multiplicatif) d'ordre impair
g = 2k + 1, dont on considère trois exemplaires
disjoints deux à deux. A tout élément x de G correspond donc dans chacun des G|^(is0,l,2) un élément que nous noterons(x) ou^ quand il n'y aura pas d'ambiguïté, simplement x^. De même, toute partie A de G a une image canonique Aj^^ dans chacim des
®i-Nous allons construire de manière directe (cf. 2.1.b) un système triple d'ordre 6k+3 sur l'ensemble SsGJOG^UGj»
Les droites de ce système seront :
a) tous les sous-ensembles de S, où x€G ;
nous appellerons ces droites les verticales du système. b) tous les 80U8-ensembles^x^,y^,z l} » {"‘l’yi'''2}>
x,y,z6G, xM;y et xy s z^.
Puisque tout élément d'un groupe abélien multiplicatif d'or dre impair a iine et une seule racine carrée, l'ensemble S, muni de cette feunille de sous-ensembles, est un système triple de Steiner.
On vérifie facilement que les systèmes triples obtenus par le procédé ci-dessus sont isomorphes aux systèmes décrits en 196 3 par Bruck ( [st] , p.95). Un cas pêupticulier de notre
41c-découvert en 1939 par Bose (48^ et repris par Skolem(268| en 1958j puis par Szamkoiowicz [29Îj en 1964 et Hall |l3'/| en 1967.
Nous dirons que le système triple S est dérivé du groupe Gc
4.2.2. La permutation Tl des points de S définie pour tout x6G par 71 (x^) « indices étant calculés modulo 3,
est clairement un automorphisme de S ; 71 permute cycliquement les trois groupes conservant chaque verticale
du système. De même, toute translation t ; x—»ax de G induit de manière naturelle un automorphisme T : x. —ï*- (ax) . de S.
•L Jb
S a donc \in groupe d'automorphismes transitif sur ses points, autrement dit S est homogène en ses points. Enfin tout
automorphisme f de G définit un automorphisme : x^—>(f(x))^. de S.
Le système triple S dérivé de G admet-il d’autres automor- phispes que ceux du groupe
P
engendx>é par 71 , les translations de 6 et les automorphismes de G ? La réponse à cette question ne nous est pas connue quand l'ordre g de 6 est supérieurà 5. Pour g s 1 ainsi que pour g « 3, S a d'autres autcxnorphis- mes que ceux de P . Pour g = 5, nous avons vérifié, en appli quant la méthode dite"des séquences et des indices" de
42.-Si G est le groupe cyclique le système triple S dérivé de G admet un automorphisme oC (induit par une translation de G) régulier d*ordre 2k+l. Si de plus 2k+l n'est pas divisible par 3, l'automorphisme OCTl de S est formé d'un seul cycle d'ordre 6k+3. Nous avons donc construit un système triple cyclique d'ordre 6k+3(cf.2.2) chaque fois que 6k‘f3 n'est pas divisible par 9.
4.2.3 Szamkolowicz [29l3 * étudié le premier la structure du système triple S d'ordre n 9 dérivé d'un groupe G cyclique d'ordre impair g = n/3 et a démontré que
a) S n'est jamais un espace.
b) S est un plan non dégénéré quand g - 3 et g s 5. c) S est un plan dégénéré quand g est divisible par 3.
Il déclare ([291^, p.l28) "Je ne sais pas lesquelles 3
d'entre ]es autres algèbres SA^^(n * 21,33,39,...) sont des plans non dégénérés”.
Nous allons montrer dans ce qui suit qu'un tel système triple est un plan non dégénéré quand g est premier et un plan dégénéré dans le cas contraire.
43.-4.2.4. Lemme 1. Si V est un sous-systène propre d’un
système triple S dérivé d'un groupe G, la verticale passant par un point quelconque de V est contenue tout entière
dans V.
Démonstration. V étant non trivial a au moins 7 points et il est alors facile de démontrer que son intersection avec chacun des groupes G^,6^,62 est non vide.
Posons |vn6^| s v^, |vnG^|= v^ , IvnGg) Vj.
Un de ces cardinaux, soit v^., est supérieur ou égal aux deux autres. Considérons un point quelconque de
V n indices éteuit cdculés module 3) et supposons que ne soit situé sur aucune des verticales issues des points de V n Gj|^. Dans ces conditions,chacune des v^ droites de S joignant aux points de V n a en com mun avec V point distinct de x^_j. On en déduit que
jv
n contredit le choix de v^. Par con séquent, tout point de V n s® trouve sur une verticale issue d'un point de Vn 6^. Un raisonnement emalogue montre alors que tout point de V H ^ ®i-3^ trouve sur xme verticale issue d'un point de V n G|^_^(resp. Vn6£_2et on a v^ s V4 = v.,. Le lemme en découle immédiatement. Lemme 2. Etant donné un sous-système propre V d'un système triple S dérivé d'un groupe G, la partie A^sV H 6^ du
44.-classe latérale A d’un sous-groupe pax>pre de 6, la partie V s A^U Aj^ U A2 de S est un sous-système de S.
Démonstration. En vertu du lemme 1, V étant non trivial9
Aj^ possède au moins 3 points.
Soient ^ deux points de A^. Comme V est un sous-système,
la droite passant peu? x^ et y^ est contenue dans V et le point Z = xy) est un point de V, En vertu du l»mme
1, V contient la verticale passant par z^^^ et par conséquent z^ € A^.
Soient x^^ ¥ deux points de A^|^. En vertu du lemme 1, Z£_^j € V et par conséquent le point y^Coù xy = z ) est un point de A^.
Considérons alors, dans un groupe abélien 6 d’ordre im pair, ime partie A ayant les deux propriétés suivemtes :
(i) Pour tout x,y € A avec x ^ y, il existe un z é A 2
tel que xy s z .
(ii) Pour tout x,z £ A avec x ^ z, il existe tin y € A tel que xy = z^o
La premièi?e partie du lemme sera établie si on
démontre que A est une classe latérale d’un sous-groupe de 6 a
45o-Le neutre 1 de G appartient à A'. Dès lors, pour tout 2
Z € A*} il existe un y € A' tel que ly * z (propriété(ii)) et par conséquent z € A'. D’autre part, si x et y sont deux éléments distincts quelconques de A', il existe un z € A*
2 2
tel que xy ~ z (propriété (i)) et comme z € A', on a xy € A*. 11 en résulte que A' est un sous-groupe de 6 et A = aA' est une classe latérale de A',
La réciproque du lemme ne présente aucune difficulté. 4.2.5. Théorème. Un système triple S dérivé d'un groupe 6
abélien d'ordre impair g > 3 est
(i) un plan non dégénéré si et seulement si g est pre&àier.
(ii) un plan dégénéré si et seulement si g n'est pas premier et 6 a une base de cardinal < 2.
(iii) un espace si et seulement si g n'est pas premier et G n'a aucxine base de cardinal < 2.
Démonstration. En vertu du lemme 2 du § 4.2.4, une
condition nécessaire et suffisante pour que S ne contienne pas de sous-système propre est que le groupe G soit .
dépourvu de sous-groupes propres, c'est-à-dire soit cyclique d'ordre premier, ce qui démontre3e (i).
Si g n'est pas premier, S a au moins un sous-système
46.-génëratrice de cardinal 3 coBÇ)renant le neutre 1 de 6. La partie^lçj,x^,y^^ de S est un triangle et, en vertu des lemmes 1 et 2 du § 4.2.4, le sous-systèiae V engendré par ce triangle est S tout entier car V A est un sous-groupe de 6^ contenant une base de G^. S est
donc un plan dégénéré.
Réciproquement, si S ®st un plan dégénéré, € a au
moins un sous-groupe propre et g n*est pas premi.er. S est engendré par un triangle T et, comme le groupe des auto morphismes de S est transitif sur ses points(cf.4.2,2), on peut toujours supposer que le point appartient à T. Soit alors l'ensemble des points de situés sur les verticales passant par les points de T. Le cardinal de
est > 2 car les points de T ne sont pas tous sur
une même verticale. Le plus petit sous-système de S conte- n-iJit T est S lui-même et par conséquent, en vertu des lem mes 1 et 2 du § 4.2.4, le plus petit sous-groupe de 6^
contenant X^ est î5 . Comme le cardinal de X^ est < 3 et que 1q € X^, le groupe 6^ a une base de cardinal < 2.
Il est clair qu'il suffisait, pour démontrer le théorème, d’établir les cas (i) et (ii).
47.-Corollaire 2. Soit n > 9 un entiei» de la forme 6k■s^3. (i) Si n/3 est un nombre premier, il existe un plan
non dégénéré d'ordre n.
(ii) Si n/3 n'est pas un nombre premier, il existe un plan dégénéré d’ordre n.
(iii) si n/3 est divisible par le cube d'un nombre prîî'mier, il existe un espace d'ordre n.
Démonstration. Les cas (i) et (ii) résultent immédiatement du corollaire 1.
Si n/3 = p m, avec p premier et m entier, le groupe abélien G = C x C x C d'ordre n/3 n’a v.as de base de
P P pm “
cardinal < 2 et le système triple S dérivé de 6 est donc un espace. Comme tout groupe abélien d’ordre non divisible par le cube d'iin nombre premier a une base de cardinal < 2, ce dernier résultat est, d’un certain point de vue, le
meilleur possible.
4,2.6. Théorème. Soient S et S® deux systèmes triples
dérivés respectivement des groupes G et G’ abéliens d’ordre impair. S et S’ sont isomorphes si et seulement si G et G’ sont isomorphes.
Démonstration. Il suffit clairement d’établir le non
48o~
étant un point quelconque de S, considérons
l'enseifable V(x^) de tous les sous-systèmes de S d’ordre > 3 contenant x^» Cet ensemble est non vide et ordonné par inclusion. De plus, comme S est homogène en ses points, les ensembles ordonnés V(x.) et V(y.) associés à deux points
i J
distincts et y^ de S sont isomorphes.
En particulier, tous les V(x^) sont isomorphes à V(l^), où est le neutre de G ,
o O
Il résulte des lemroes 1 et 2 du § 4,2,4 que V(l^) est isomorphe à l'ensemble (T (6) de tous les sous-groupes de 6 d'ordre >1, ordonné par inclusion. Or, étant donnés
deux groupes abéliens G et 6' non isomorphes de même ordre g, les treillis des sous-groupes de G et 6' sont non iso- morphesCcfo Mc Haffey jissj ), Il en est évidemiixent de même pour les ensembles ordonnés <T (6) et CT (G') et par conséquent les systèmes triples S et S' sont non isomor phes car, quels que soient les points x. € S et x’. € S',
i J
les ensembles ordonnés V(x^) et V(x’j) sont non isomorphes. Corollaire, N(n) désignant le nombre de systèmes triples non isomorphes d'ordre n et Âb(g) le nombï»e de groupes abéliens non isomorphes d’ordre g, on a
49,-Remarque. Il est possible d'écrire le second membre de cette inégalité de façon un peu plus explicite car ei g s p^ est la décomposition de l'entier g en facteurs premiers, il est bien connuCcf, Carmichael
[72] , pp, 101-102 ) que
Ab(g) 5 p(nj^)p(n2>., O
où p(n) est la fonction de partition de n(cf, Hall [l373 > pp, 29-43 ),
4,3, Construction d'un plan non dégénéré d'ordre 6k-«-3.
4,3,1. La méthode de construction décrite en 4.2,1 donne des plans non dégénérés d'ordre 6k+3 pour autant que 2k+l soit un nombre premier. Une autre construction, qui généralise
la précédente et qui n'est pas connue, va nous permettre d'obtenir des plans non dégénérés d'ordre 6k+3 quelconque.
Considérons trois exemplaires disjoints deux à deux d'un groupe abélien multiplicatif G d'ordre impair g s 2k + Ides notations seront les memes qu'en 4,2.1.). Soient "trois permutations quelconques des
