A365 ‒ Les nombres prodigieux [* à **** à la main]
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit des ses chiffres non nuls égal à 12.
Q1 Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q2 Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux > 10.(**)
Q3 Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution de Paul Voyer
Q1
2112 est divisible par 4 et ne contient aucun zéro.
Q2
1110 est divisible par 1 1111 est divisible par 1 1112 est divisible par 2 1113 est divisible par 3.
Q3
La longueur maximale est 13 car n et n+13 ne peuvent pas être simultanément multiples de 2, ni de 3, ni de 4, ni de 5, ni de 6, ni de 7, ni de 8, ni de 9, ni ne contenir simultanément que des "1" et des
"0".
Exemple
1 111 111 111 111 111 111 000 est divisible par 1 2 111 111 111 111 111 111 001 est divisible par 1 3 111 111 111 111 111 111 002 est divisible par 2 4 111 111 111 111 111 111 003 est divisible par 3 5 111 111 111 111 111 111 004 est divisible par 4 6 111 111 111 111 111 111 005 est divisible par 5 7 111 111 111 111 111 111 006 est divisible par 6
8 111 111 111 111 111 111 007 est divisible par 7 car 111 111 l'est 9 111 111 111 111 111 111 008 est divisible par 8
10 111 111 111 111 111 111 009 est divisible par 9 (18 "1") 11 111 111 111 111 111 111 010 est divisible par 1
12 111 111 111 111 111 111 011 est divisible par 1 13 111 111 111 111 111 111 012 est divisible par 2 Cette solution est la plus petite car :
-Aucun chiffre ≥ 2 ne peut être utilisé dans la partie fixe (à gauche) car il diviserait n et n+1.
- Il faut 18 "1" pour la division par 9 (9) et par 11 (pair)
- Aucun zéro supplémentaire ne vient "allonger" la séquence dans les 18 premiers chiffres.
- Il faut bien 3 zéros finaux dans l'un des 13 termes pour la division par 8.
