– 1 est divisible par 8.

Correction exercices Spécialité maths

Feuille 1

Démontrer que si n est un entier naturel impair, alors _n

_{– 1} est divisible par 8.

Si n est impair alors n ≡ 12 donc il existe p appartenant à ℕ tel que n=2 p1 .

n

– 1=2 p1

– 1=2 p1 – 1 2 p11=2 p 2 p2=4 p  p1 or p est soit pair ou impair : si p est pair, p= 2 k et donc n

– 1=8 k  2 k 1 donc n

– 1 divisible par 8. Si ^p est impair alors p1 est pair et c'est gagné.

Quels sont les restes possibles dans la division du cube d'un nombre entier naturel par 7 ? L'astuce consiste à examiner les seuls nombres compris entre 0 et 6 et en déduire le résultat pour tous les autres. En effet les congruences modulo 7 de n sont :

n ≡ 0 7 ⇒ n

≡ 0 7

n ≡ 1 7 ⇒ n

≡ 1 7

n ≡ 2 7 ⇒ n

≡ 8 ≡1 7  n ≡ 3 7 ⇒ n

≡ 27 ≡ 6 7

n ≡ 4 7 ⇒ n

≡ 64≡ 17

n ≡ 5 7 ⇒ n

≡ 125 ≡ 67

n ≡ 6 7 ⇒ n

≡ 216 ≡6 7 Ainsi les seuls restes possibles sont 0, 1 et 6.

Remarque: il faut se convaincre que n'importe quel entier est soit congru à 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 modulo 7.

Considérons le nombre _77

_7

_7

_7

. Quelle est la nature de ce nombre ? Est-il divisible par 400 ?

On appelle A la quantité testée.

A= 77

7

 7

7

= 77

7

7

17

7

7

 ⇔ A=7 7

 7

7

1 7

 7



 7



=77

7

 7

 7

– 1

7

– 1 (en utilisant le produit remarquable vu sur la feuille 2)

Or 7 7

7

7

=71 77

7

=7 ×400 donc A est divisible par 400 .

Montrer que la somme des cubes de trois entiers consécutifs est divisible par 9 ? Trois entiers consécutifs se notent par exemple : n – 1 ; n et n1 .

On se sert de ab

= a

3 a

b3 ab

b

n – 1

 n

n1

= n

– 3 n

3 n – 1 n

n

3 n

3 n1=3 n

6 n=3 n n

2

Si n ≡ 03 , c'est terminé car n est un multiple de 3 donc 3 n un multiple de 9.

Si n ≡ 13 alors n

≡ 13 et n

 2≡ 03 donc _n

 2 est un multiple de 3, et c'est terminé.

Si n ≡ 23 alors n

≡ 13 et n

 2≡ 03 , idem ligne précédente.

2009©My Maths Space

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