G246-Les tas de cailloux du sapeur Camember
Solution proposée par Xavier Chanet
1er problème : la somme des 22010-1 produits est 2010.
En effet :
Notons S cette somme. Alors on a : 𝑆 = 2010𝑘=1 𝜎𝑘(𝑢) où 𝑢 = (1
1;1
2; … ; 1
2010) et 𝜎𝑘 est le k-ième polynôme symétrique élémentaire.
La relation entre coefficients et racines d’un polynôme montre que 𝑋 +1
𝑖 = 𝑋2010 + 𝜎𝑘(𝑢)𝑋2010 −𝑘
2010 𝑘=1 2010
𝑖=1
En prenant X=1, on obtient donc : 𝑆 = 1 +1
𝑖 − 1 =
2010 𝑖=1
𝑖 + 1
𝑖 − 1 = 2011 − 1 = 2010
2010
𝑖=1
2ème problème : quelle que soit la séquence des partages, la somme calculée reste toujours égale à 2 019 045. En effet :
Montrons par récurrence sur n la propriété suivante : pour tout n≥2, pour toute séquence de partages à partir de n cailloux donne au final une somme un égale à 𝑛(𝑛−1)2
Pour n=2, on a un seul partage possible (1 et 1) donc une seule somme possible 𝑢2= 1. Or 1 =2(2−1)
2 ; la propriété est vraie pour n=2.
Soit n≥2 et supposons la propriété vraie aux rang 2, 3, …, n. Montrons alors qu’elle l’est au rang n+1 :
Lorsqu’on a n+1 cailloux, les premiers partages possibles sont (1,n), (2,n-1), (3,n-2), …, (n,1).
Dans le premier cas, 𝑢𝑛 +1= 1 × 𝑛 + 𝑢𝑛 = 𝑛 +𝑛(𝑛−1)
2 = 𝑛+1 𝑛
2
Dans le deuxième cas, 𝑢𝑛+1 = 2 𝑛 − 1 + 𝑢2+ 𝑢𝑛 −1= 2𝑛 − 2 + 1 +(𝑛−1)(𝑛−2)
2 = 𝑛+1 𝑛
2
Dans le troisième cas, 𝑢𝑛 +1= 3 𝑛 − 2 + 𝑢3+ 𝑢𝑛 −2= 3𝑛 − 6 +3(3−1)
2 +(𝑛−2)(𝑛−3)
2 =
𝑛+1 𝑛 2
Etc…
La propriété est donc vraie au rang n+1. CQFD
Quelque soit la séquence des partages la somme reste donc toujours égale à 𝑢2010 =2010 × 2009
2 = 2 019 045
