Disponible à / Available at permalink :

- - -

- - -

Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Van Elewyck, V. (2003). Neutrinos et micro trous noirs: deux tests phénoménologiques des modèles d'univers-membrane (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/211215/1/2b97cf98-edbf-4d6c-8bbb-9a6715400c2b.txt

(English version below)

Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université ([email protected]).

Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.

DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :

Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités;

L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué;

Le contenu ne soit pas modifié.

L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.

--- English Version ---

This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University ([email protected]).

If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.

DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights.

Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:

The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;

The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated;

The content is not changed in any way.

It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.

Ecole Doctorale Physique Microscopique et Astrophysique

(--- ---- ---^

D 03299

__________________________ ___ _________

Neutrinos et micro trous noirs:

deux tests phénoménoiogiques des modèies d’univers-membrane

“Wcio/pm 2003

Thèse présentée pour l'obention

du titre de Docteur en Sciences

de l'Université Libre de Bruxellles

Service de Physique Théorique - Ecole Doctorale en Physique Microscopique et Astrophysique MICAS

Neutrinos et micro-trous noirs : deux tests phénoménologiques des modèles

d ’Univers-membrane

THÈSE

présentée et soutenue publiquement le 24 octobre 2003

en vue de l’obtention du grade de

Docteur en Sciences de l’Université Libre de Bruxelles

par

Véronique Van Elewyck

Composition du jury

Président : M. Pierre VILAIN Secrétaire et promoteur : M. Jean-Marie FRERE

Membre invité : M. Francis HALZEN

Autres membres : Mme Barbara CLERBAUX

M. Michel TYTGAT

1

A ma grand-mère.

Jv

Table des matières

Introduction 1

I Les modèles d’univers à plus de quatre dimensions 3

1 Introduction historique et motivations modernes 5

1.1 L’approche de Kaluza et Klein... 5

1.2 Les limites de la relativité générale... 8

1.3 La théorie des cordes... 9

1.3.1 Une théorie d’objets étendus... 9

1.3.2 L’unification des théories de cordes et la théorie M... 10

1.4 Le problème de hiérarchie des interactions fondamentales... 11

1.4.1 Pourquoi deux échelles fondamentales ?... 11

1.4.2 Les limites expérimentales sur la mesure des interactions fonda­ mentales ... 13

1.5 L’Univers-membrane... 14

1.6 De grandes dimensions supplémentaires... et la gravitation quantique au TeV ?... 16

1.7 Un modèle alternatif d’espace courbé... 17

2 De grandes dimensions supplémentaires compactifiées 19 2.1 Le modèle ADD... 19

2.2 Modifications de la gravitation à petite distance... 23

2.3 Gravitons dans l’espace de fond et sur la membrane... 25

2.4 Contraintes expérimentales ... 26

2.4.1 Production de gravitons aux accélérateurs de particules .... 26

2.4.2 Contraintes cosmologiques... 27

iii

IV

Table des matières

2.4.3 Contraintes astrophysiques... 29

2.4.4 Conclusion ... 30

3 Un Univers courbe à 5 dimensions 31 3.1 Le modèle RSl... 31

3.2 Gravitons dans l’espace de fond... 36

3.3 Production de gravitons aux accélérateurs de particules... 38

II Mécanismes d’oscillation des neutrinos 41 4 Les neutrinos dans le Modèle Standard...et au-delà 43 4.1 La nature des neutrinos... 43

4.2 Mécanisme d’oscillation des neutrinos... 46

4.2.1 Oscillations dans le vide... 46

4.2.2 Oscillations dans la matière : effet MSW... 48

4.3 Principales évidences expérimentales d’oscillation des neutrinos .... 49

4.3.1 Neutrinos solaires... 49

4.3.2 Neutrinos atmosphériques... 51

4.3.3 LSND... 52

4.3.4 Conséquences... 52

5 Oscillations de neutrinos dans les modèles de type ADD 55 5.1 Neutrinos et dimensions supplémentaires... 55

5.1.1 Introduction... 55

5.1.2 Localisation des fermions sur la membrane et chiralité...56

5.1.3 Un fermion stérile dans le modèle ADD à 4+1 dimensions ... 59

5.1.4 Couplage d’un fermion stérile 4^ à un neutrino de la membrane i^L...61

5.2 Oscillations de neutrinos dans le modèle ADD : cadre général...63

5.2.1 Matrice de masse du système... 64

5.2.2 Probabilité de survie du neutrino confiné... 65

5.2.3 Comportement de la probabilité de survie... 68

5.2.4 Contraintes expérimentales sur la disparition des saveurs .... 72

5.2.5 Oscillations Ug — 76

5.2.6 Oscillations 77

V

5.3 Un modèle minimal d’oscillation à deux saveurs... 78

5.3.1 Probabilités de survie et de mélange des saveurs... 78

5.3.2 Modèle minimal d’oscillations 80

5.3.3 Nouvelles contraintes expérimentales... 84

5.3.4 Extensions possibles du modèle... 86

5.4 Conclusions... 86

III Production et évolution des micro-trous noirs 89 6 Production de micro-trous noirs dans les modèles d’Univers-membrane 91 6.1 Introduction... 91

6.2 Propriétés des trous noirs dans un espace plat... 92

6.2.1 Rayon de Schwarzschild... 92

6.2.2 Propriétés thermodynamiques... 94

6.2.3 Rayonnement de Hawking... 94

6.2.4 Traitement semi-classique... 95

6.3 Production et désintégration d’un micro-trou noir dans un espace plat . 96 6.3.1 L’approximation de disque noir... 96

6.3.2 L’évaporation du trou noir... 98

6.4 Production aux accélérateurs ... 99

6.5 Production par l’interaction du rayonnement cosmique avec la matière 102 6.5.1 Neutrinos cosmiques d’ultra-haute énergie...102

6.5.2 Observation de micro-trous noirs dans les détecteurs de rayon­ nement cosmique... 104

6.5.3 Observation de micro-trous noirs dans les télescopes à neutrinos 105 7 Evolution des micro-trous noirs dans un milieu dense 109 7.1 Un signal astrophysique de l’existence des micro-trous noirs?...109

7.2 Evaporation et accrétion en milieu dense : équations d’évolution .... 111

7.2.1 Matière dense avec T «C m ... 112

7.2.2 Matière dense avec T ^ m ... 113

7.3 Evolution du rayon de Schwarzschild dans le modèle RSl...114

7.4 Evolution d’un micro-trou noir dans une étoile à neutrons : T <C m . . 115

VI

Table des matières

7.5 Evolution d’un micro-trou noir dans une étoile étrange : T ^ m . . . . 117

7.5.1 Etoiles étranges nues...117

7.5.2 Modèle ADD... 118

7.5.3 Modèle RSl... 120

7.5.4 Distance parcourue par le trou noir... 120

7.5.5 Traitement numérique...122

7.6 Conclusion ... 123

Conclusion 127 A Unités et Conventions 129 A.l Les unités naturelles... 129 A.2 Conventions numériques pour les masses fondamentales (modèle ADD) 129

B Diracologie et chiralité à 4+d dimensions 131

Bibliographie 135

Introduction

La différence d’échelle énorme - en d’autres termes la hiérachie - qui existe entre l’in­

teraction gravitationnelle et les autres interactions fondamentales connues (en particulier les forces faible et électromagnétique) au niveau des particules élémentaires, a toujours interpellé les physiciens théoriciens dans la mesure où elle rend extrêmement difficile la réunion de toutes les forces dans un schéma unifié. Par ailleurs, même si un tel modèle unifié existe, il restera inaccessible à une investigation expérimentale directe puisque l’in­

teraction gravitationnelle ne devient comparable aux autres forces qu’à des énergies de l’ordre de l’énergie de Planck, 1.2 x 10^® GeV (pour rappel, les accélérateurs de particules actuels testent un domaine d’énergie autour du TeV ; et même dans les "laboratoires natu­

rels" que sont les phénomènes cosmiques d’ultra-haute énergie, on n’a pas encore détecté de processus dont l’énergie invariante soit supérieure à environ 10® GeV).

Ce "problème de hiérarchie" n’a pas à l’heure actuelle de solution, mais des avancées récentes dans la construction de théories unificatrices dites de cordes, combinés à la pers­

pective expérimentale particulièrement excitante d’explorer bientôt le domaine d’énergie qui correspond à l’échelle d’unification des interactions faibles et électromagnétiques, (ou échelle électrofaible), aux alentours du TeV, ont suscité l’émergence de nouveaux modèles qui proposent une réponse radicale au problème de hiérarchie. En l’occurrence, ils pos­

tulent tout simplement que l’échelle de la gravitation est en réalité confondue avec l’échelle électrofaible. Dès lors il n’y a plus de hiérarchie et la gravitation quantique pourrait déjà révéler ses effets dans les collisions de particules qui seront réalisées dans les accélérateurs de la prochaine génération (en particulier au LHC).

Pour réaliser ce postulat, les modèles que nous présentons ici supposent l’existence d’un espace de fond à plus de quatre dimensions, dans lequel l’Univers tel que nous le percevons serait plongé, à la manière d’une membrane sur laquelle seraient confinées toutes les interactions de jauge. Comme nous le verrons dans la première partie de ce travail, ces modèles se basent sur des géométries différentes (dans certains cas, l’échelle de compac­

tification des dimensions supplémentaires peut même être macroscopique!), ce qui a de profondes implications sur les phénoménologies qu’ils génèrent.

Après une introduction historique dont le but essentiel est de mettre en évidence les mo­

tivations théoriques qui ont favorisé le développement de ces concepts, nous décrirons brièvement les deux types de scénarios fondateurs, en l’occurrence ADD (un espace plat où les dimensions supplémentaires sont compactifiées sur de "grands" rayons - nous ver­

rons ce que recouvre exactement ce terme) et RSl (un espace courbe à 5 dimensions limité par deux membranes).

1

2 Introduction

Nous avons ensuite exploré ces modèles par le biais de deux types de phénomènes qui ne concernent pas la physique observée aux accélérateurs, de manière à montrer la variété d’angles d’attaque possibles pour aborder la phénoménologie de ces modèles et tenter de les contraindre.

La deuxième partie de ce travail concerne ainsi la physique des neutrinos et plus particulièrement de leurs oscillations, dans le cadre du modèle ADD. Ce domaine est particulièrement favorable à l’étude de tels modèles (surtout dans le cas ADD), dans la mesure où un neutrino stérile vivant dans l’espace de fond ne ressent pas les interactions de jauge responsables du confinement des particules du Modèle Standard sur la membrane.

Il constitue donc un outil idéal pour explorer les dimensions supplémentaires.

Après avoir introduit un couplage des neutrinos de "notre monde" (confinés sur la membrane) à un fermion vivant dans l’espace de fond et montré comment cette interac­

tion permet de générer masse et oscillations des neutrinos confinés, nous étudions plus en détail les particularités de ces schémas d’oscillation par rapport à la situation normale en 4 dimensions et montrons qu’il est possible d’accomoder partiellement les contraintes expérimentales existantes.

Dans la troisième partie nous explorons un phénomène qui est plus directement lié à l’apparition de la gravitation quantique lorsqu’on atteint (et dépasse) l’échelle d’énergie fondamentale, ici placée au alentours du TeV : la production de micro-trous noirs. En particulier, nous nous intéresserons à l’évolution de micro-trous noirs de type RSl produits dans des collisions de particules cosmiques au sein d’un milieu dense, dans un cadre astrophysique (typiquement des étoiles à neutrons ou des étoiles étranges). La question est ici de savoir si de tels trous noirs peuvent grandir au sein de ces étoiles jusqu’à provoquer leur implosion.

Nous terminerons par des conclusions et perspectives sur les possibilités d’investiga­

tion ultérieure des modèles d’Univers-membrane par le biais des tests phénoménologiques

discutés dans le cadre de ce travail.

Première partie

Les modèles d’univers à plus de quatre

dimensions

Chapitre 1 Introduction historique et motivations modernes

Sommaire

1.1 L’approche de Kaluza et Klein... 5 1.2 Les limites de la relativité générale ... 8 1.3 La théorie des cordes... 9 1.4 Le problème de hiérarchie des interactions fondamentales 11 1.5 L’Univers-membrane... 14 1.6 De grandes dimensions supplémentaires... et la gravita­

tion quantique au TeV ? ... 16 1.7 Un modèle alternatif d’espace courbé... 17

1.1 L’approche de Kaluza et Klein

L’idée de doter l’espace-temps de la physique de dimensions supplémentaires n’est pas neuve. Si elle peut sembler à première vue une complication inutile de la théorie, elle a en réalité joué un grand rôle dans les tentatives successives d’unification des forces fon­

damentales (électromagnétique, faible, forte et gravitationnelle), et ce depuis l’avènement de la théorie de la gravitation d’Einstein en 1916.

La première contribution décisive fut apportée par Kaluza [1] qui, déjà au début des années 1920, proposa un modèle d’espace-temps à cinq dimensions (quatre d’espace plus une de temps) dans le but d’unifier les théories de la gravitation et de l’électromagné­

tisme. Le point de départ est l’action d’Einstein-Hilbert de la relativité générale en 4+1 dimensions^ dont l’action s’écrit

^ I-

^dans ce qui suit, les indices grecs = {0,1,2,3} et les indices latins M,N,... = {0,1,2,3,4} ; les objets de la théorie à 5 dimensions sont "chapeautés". La dimension supplémentaire est indifféremment notée comme a:"* ou j/.

5

6 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

où G5 est la constante de Newton en 5 dimensions, g est le déterminant du tenseur métrique et 1Z le scalaire de courbure de l’espace à 5 dimensions. On adopte la paramétrisation suivante de la métrique en 5 dimensions, en termes de champs gfxv{x^, x^), Afj_{x^,x'^) et 4>{x^,x'^) :

gMN = 4’

dans le but de pouvoir réinterpréter les degrés de liberté apparaissant dans (1.2) comme des champs de la théorie à quatre dimensions, en l’occurrence ici le tenseur métrique g^^, le potentiel vecteur de l’électromagnétisme, et un champ scalaire additionnel, (j).

Pour cela il faut cependant revenir à une description en quatre dimensions et "facto­

riser" en quelque sorte la dépendance des champs en la dimension supplémentaire para- métrisée par y ; celle-ci est en effet cachée aux yeux d’un observateur vivant dans notre univers, qui voit exactement trois dimensions d’espace (infinies). Kaluza et Klein ont pour cela développé une méthode très élégante communément appelée "réduction dimension­

nelle" ; il est intéressant de l’exposer ici dans ses grandes lignes, car nous verrons qu’elle joue encore un rôle essentiel dans le cadre des théories plus modernes discutées dans la suite de ce chapitre.

La réduction dimensionnelle s’effectue sous l’hypothèse que la dimension supplémen­

taire d’espace est compactifiée sur un cercle de rayon R, c’est-à-dire que y G [— tt R, tt R] ; on va alors pouvoir développer les champs en 5 dimensions en série de Fourier par rapport à cette variable (ces expressions sont données à un facteur de normalisation près ; pour une discussion plus détaillée des conditions de ce développement, voir le chapitre 5 où le calcul est effectué pour un champ fermionique) :

Tl

(1.3) (1.4)

4>{x^,y) (1.5)

n

Comme l’a montré Klein [2], du point de vue de l’espace-temps à quatre dimensions, ceci revient à décomposer les champs en une infinité de "modes" qui ne sont rien d’autre que les modes de vibration (quantifiés) d’une onde stationnaire se propageant dans la cinquième dimension.

A chacun de ces modes, caractérisé par une longueur d’onde A„ = on peut faire correspondre une particule ayant une composante de quantité de mouvement dans la direction supplémentaire Pn ~ y “ ^ revient en réalité à lui donner une masse à quatre dimensions. En effet, si nous écrivons l’expression relativiste de l’énergie du

"mode n", nous avons (en posant h = c = 1) :

= '^P^P m = '^P^P,. + (1.6)

M n

= ^P% + M

(1.7)

1.1. L’approche de Kaluza et Klein 7 Un observateur vivant à quatre dimensions interprète donc un champ à cinq dimensions comme une "tour" d’états, dits de Kaluza-Klein, équidistants en masse (m„ = ^). Nous reviendrons plus longuement dans le chapitre 5 sur cette interprétation en termes d’une tour d’états massifs ; en effet elle joue un rôle décisif dans la construction de modèles originaux d’oscillations de neutrinos.

Le comportement de ces champs dans l’espace à quatre dimensions est essentiellement dicté par le mode n = 0, qui ne dépend donc plus que des dimensions à x^. On peut voir par ailleurs que ces "modes zéros" ont le bon comportement (respectivement tenseur, vecteur et scalaire) sous les difféomorphismes à quatre dimensions; gjH) peut donc bien être identifié au tenseur métrique en 4 dimensions et au champ de jauge de l’électromagnétisme. L’action résultante, après réduction dimensionnelle, prend la forme suivante :

-.«G

“ S tt G. / ^{2 1 ^ “ 6^ i ptiu (1.8)}

OÙ la constante et k partir d’une simple théorie de la

gravitation à 5 dimensions, il est donc possible de reconstruire à la fois la gravitation et l’électromagnétisme à 4 dimensions - du moins dans le vide^.

Ce type de modèle présente cependant des problèmes lorsqu’on tente de construire une théorie incluant les champs de matière et le couplage de ceux-ci à la gravitation et à l’élecromagnétisme. De plus, les difficultés rencontrées dans les tentatives de quanti­

fication de ces théories, de même que pour dégager des prédictions phénoménologiques satisfaisantes, en détourna les physiciens jusqu’à ce que les nouvelles avancées dans les théories de gravitation fournissent des perspectives intéressantes en matière d’unification des forces et de topologie de l’univers.

Les travaux fondateurs mentionnés ci-dessus ont toutefois eu une importance consi­

dérable dans le développement successif des théories à dimensions supplémentaires, car ils ont développé certains concepts fondamentaux de la réduction dimensionnelle, qui ont servi de base à de nombreux modèles ;

- l’hypothèse de "factorisabilité" des dimensions supplémentaires, qui, en d’autres mots, revient à supposer que l’espace global est le produit direct d’un espace min- kowskien à 4 dimensions, et d’une variété compacte dont la topologie peut être plus compliquée ;

- la compactification de la (ou des) dimension(s) supplémentaire (s), qui (outre sa nécessité phénoménologique) permet de réinterpréter les champs vivant dans l’espace global en termes de tours d’états massifs à quatre dimensions ;

- la présence d’un champ de gravitation dans l’ensemble de l’espace, qui reflète l’exis­

tence d’une théorie unifiée en 4-l-n dimensions.

^Ce modèle de gravitation avec un tenseur et un scalaire n’est rien d’autre qu’une théorie de type

Brans-Dicke [3].

8 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

1.2 Les limites de la relativité générale

La raison la plus profonde de l’échec des modèles de type Kaluza-Klein de la "première génération" réside probablement dans le fait que la théorie fondamentale dans l’espace étendu, en l’occurence la relativité générale, est une théorie de champs non renormali- sable. En effet ceci empêche sa quantification^ et rend difficile son unification avec les autres forces fondamentales (forte, faible et élecromagnétique) qui possèdent toutes trois une formulation en termes d’une théorie quantique de champs, et pourraient vraisembla­

blement être regroupées dans un modèle unifié cohérent basé sur un groupe de jauge qui contiendrait le produit SU{3) x SU{2) x U{1).

Pour donner une idée plus concrète de ce problème nous pouvons faire un parallèle entre la relativité générale et la théorie effective de Fermi des interactions faibles. Nous savons que la désintégration P~ d’un neutron, qui est un processus faible, se traduit au niveau des constituants fondamentaux du nucléon par la réaction d u + e~ + ü (voir fig. l.l(a)).

Aux énergies très inférieures à 100 GeV, ce processus est bien décrit par le modèle de Fermi : une interaction ponctuelle caractérisée par une constante de couplage effective,

aF{E) ~ G f (1.9)

où G F — 1,166 10“^ (fi c)^ GeV“^ est la constante de Fermi (on a posé fi = c = 1 dans la formule ci-dessus). Cette description reste valide tant que üf <C 1, c’est-à-dire à des énergies E <C l/'/Gp. Mais si l’on "sonde" l’interaction d^u-\-e~-{-ük des énergies proches de 100 GeV ou au-delà, on se rend compte qu’elle est en réalité transmise via un boson de jauge virtuel dont la masse vaut Mw — 80 GeV. La présence du boson W reflète en fait l’existence d’une théorie plus fondamentale, en l’occurrence une théorie renormalisable (le Modèle Standard) unifiant les interactions électromagnétiques et les interactions faibles, et basée sur le groupe de jauge SU{2) l

U{1)

- Cette théorie électrofaible est spontanément brisée à basse énergie par un mécanisme faisant intervenir un champ scalaire additionnel qui génère les masses des champs de jauge et de matière (mécanisme BEH, de Brout-Englert-Higgs [4, 5]). Le modèle de Fermi des interactions

^On peut toutefois définir un "vecteur" des interactions gravitationnelles en termes d’une particule

sans masse de spin 2 : le graviton.

1.3. La théorie des cordes 9 faibles n’est donc qu’une théorie effective valable à basse énergie, c’est-à-dire en-deçà de la niasse des bosons de jauge de la théorie électrofaible. La symétrie complète des interactions, mettant sur un pied d’égalité l’électromagnétisme et les interactions faibles, n’est restaurée qu’à des énergies supérieures à

E ew ^ 1 TeV

que nous désignerons désormais comme Véchelle électrofaible (electroweak scale).

Dans le cas de la relativité générale c’est la constante de Newton

( 1 . 10 )

G n ^ 5.9 10“^® {hcf GeV~ (1.11)

qui règle la force de l’interaction gravitationnelle entre deux particules (ou deux corps étendus). Celle-ci est visiblement très faible, mais domine malgré tout sur les autres inter­

actions dans la limite de basse énergie (ou de manière équivalente aux grandes distances) ; et nous savons que la force de Newton, F{r) = G n décrit correctement la dynamique des corps massifs sur des échelles macroscopiques. Au niveau des particules élémentaires, nous pouvons répéter le raisonnement précédent et construire une constante de couplage adimensionnelle effective

ocj\f{E) ~ G

E'^. ( 1 . 12 ) L’échelle d’énergie représentant la limite de validité de la relativité générale est donc V échelle de Planck,

Epi

VG N ~ 1.2 10^'' GeV. (1.13)

Au-delà de Epi, l’importance de la gravitation devient comparable à celle des autres forces ; on peut donc s’attendre à ce que se révèle alors la théorie fondamentale unifiée dont la Relativité Générale et le Modèle Standard ne sont que des limites à basse énergie.

Cependant, contrairement à se qui se passait dans le cas de l’électromagnétisme, nous n’avons pas ici de candidat pour une théorie quantique de la gravitation à 4 dimensions...

et nous ne disposons d’aucune donnée phénoménologique capable de nous fournir des indices sur le régime de couplage fort de la gravitation (a^r ~ 1), puisque celui-ci ne se révèle qu’à des énergies qui sont (et resteront encore longtemps !) loin au-delà du domaine observable de la physique des particules.

En fait, au niveau théorique, il semble même qu’il soit impossible de construire une théorie quantique de champs "conventionnelle" (renormalisable), basée sur des objets ponctuels, capable de décrire la gravité avec succès. C’est pourquoi les physiciens se sont orientés vers d’autres types de modèles qui semblent mieux pouvoir répondre à cette ques­

tion, au prix de l’introduction de dimensions supplémentaires d’espace et d’une révision profonde du concept de particule élémentaire.

1.3 La théorie des cordes

1.3.1 Une théorie d’objets étendus

A ce jour, les seules théories consistantes candidates pour l’unification de toutes les

interactions et capables de redonner le Modèle Standard et la Relativité Générale à basse

10 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

énergie sont des théories supersymétriques dans lesquelles les objets fondamentaux ne sont plus des particules mais des objets étendus, appelés cordes, vivant dans un monde à 10 dimensions.

Une telle théorie quantique décrivant des objets à une dimension en interaction fut formulée pour la première fois à la fin des années 1960, dans le contexte de la physique hadronique[7]. Cependant ces modèles se révélèrent rapidement inefficaces pour décrire les interactions entre hadrons, un problème majeur étant la présence dans la théorie d’une particule sans masse de spin 2. En 1974, Scherk et Schwarz [8] remarquent que celle- ci se comporte exactement comme le ferait un graviton, cette fameuse particule qu’on peut interpréter comme le vecteur de l’interaction gravitationnelle. Les modèles existants de théorie des cordes sont dès lors repris pour construire des théories unificatrices des interactions fondamentales. Ils apportent en effet des éléments de réponse au problème de divergence ultraviolette de la relativité générale, dans la mesure où l’énergie des objets fondamentaux de la théorie n’est plus concentrée en un seul point mais distribuée le long d’une corde {string), de manière à ce que seule une fraction de cette énergie entre en jeu lors d’une interaction avec une autre corde.

Les particules telles que nous les définissons habituellement sont vues comme des modes de vibration de ces cordes. Pour être plus précis, et de manière similaire à ce qui apparaissait dans le cadre des modèles de Kaluza-Klein, les particules connues et ob­

servées dans notre monde à 4 dimensions correspondent aux modes fondamentaux sans masse (modes zéros) ; mais, suite à la compactification des 6 dimensions supplémentaires, le spectre des oscillations d’une corde présente également une infinité de modes massifs : les modes de type Kaluza-Klein qui proviennent de la compactification des dimensions supplémentaires, et les modes d’enroulement, ou winding modes, qui correspondent au nombre de "tours d’enroulement" des cordes fermées autour de la dimension supplémen­

taire.

1.3.2 L’unification des théories de cordes et la théorie M

A partir des années 80 ont été développées successivement cinq théories de cordes distinctes, qui présentent toutefois des caractéristiques similaires :

- elles sont développées dans un espace-temps à 10 dimensions (une de temps et neuf d’espace) ;

- elles sont toutes supersymétriques (la supersymétrie étant un ingrédient crucial pour l’élimination des divergences ultraviolettes) ;

- les seuls paramètres fondamentaux de la théorie à 10 dimensions sont l’échelle de masse associée aux cordes, Mg, qui se traduit alternativement en une échelle de longueur de la corde '■ h ^

et un champ scalaire sans masse (f) appelé dilaton, qui peut être relié à la constante de couplage des cordes par gg ~ e^^^

- elles peuvent être décrites à basse énergie par une théorie quantique de champs supersymétrique qui contient les gravitons, les bosons de jauge et les fermions dans un schéma unifié

Un pas important a été franchi récemment grâce à des travaux qui ont mis en évi­

dence les connexions existant entre les cinq théories de cordes, concluant finalement à

1.4. Le problème de hiérarchie des interactions fondamentales 11 leur équivalence sur base de relations de dualité les reliant les unes aux autres (voir les revues sur le sujet [9]). On peut dès lors les voir comme des visages différents d’une seule et même théorie ultra-fondamentale, chacun d’entre eux étant valable dans un domaine restreint de l’espace des paramètres. De plus, on a pu établir un autre type d’équivalence entre les théories de cordes à dix dimensions et la théorie de supergravité en 11 dimen- sions‘^[10]. Cette théorie purement classique pourrait être interprétée comme la limite de basse énergie d’une "nouvelle" théorie quantique à 11 dimensions qui, elle, serait à l’ori­

gine des théories de cordes en 10 dimensions. Cette conjecture ouvre la voie vers une véritable théorie fondamentale unifiée, la "théorie M" (11], dont les objets fondamentaux pourraient être cette fois des "tubes" à deux dimensions qui généraliseraient le concept de cordes.

Cependant, cette théorie est encore loin d’être formalisée, et dans les théories des cordes également, de nombreuses questions restent ouvertes. Elles concernent notamment les mécanismes de stabilisation du dilaton, la procédure de brisure de supersymétrie (né­

cessaire pour faire le lien avec la physique à basse énergie que nous observons) et aussi les conditions de la réduction dimensionnelle de 10 à 4 dimensions, qui introduit de nouveaux paramètres à basse énergie liés aux propriétés géométriques et topologiques de l’espace de fond (la taille et la forme des dimensions supplémentaires) ; ces paramètres sont encodés dans la théorie sous la forme de champs scalaires appelés modules (moduli). Toutes ces raisons rendent difficile la détermination du spectre de particules qu’on s’attend à trouver dans la théorie effective à basse énergie, empêchant les prédictions phénoménologiques concrètes.

1.4 Le problème de hiérarchie des interactions fonda­

mentales

1.4.1 Pourquoi deux échelles fondamentales?

L’introduction d’une théorie de cordes pour décrire la gravitation quantique n’a pas fondamentalement modifié la perspective que nous, observateurs à quatre dimensions, pouvons avoir sur les interactions fondamentales depuis nos basses énergies.

En effet, en termes d’action effective, on peut typiquement décrire une théorie de cordes dans son régime de couplage faible en termes d’un développement perturbatif en puissances de Çs, la constante de couplage des cordes. Au premier ordre en Q s , l’action de gravitation devient :

çgrav

*^10 (1.14)

(1.15)

‘‘C’est d’ailleurs la réduction dimensionnelle à la Kaluza-Klein de 11 à 10 dimensions qui donnerait

naissance au champ scalaire dilaton <j), par un mécanisme tout à fait analogue à celui que nous avons

décrit pour le passage de 5 à 4 dimensions dans la section 1.1.

12 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

La constante devant l’intégrale rend cette action sans dimension et nous définit précisé­

ment l’échelle de Planck (réduite) de la théorie fondamentale à 10 dimensions, que nous noterons Mio, et que l’on peut donc relier directement aux paramètres de la théorie de cordes :

M

9s

(1.16) Pour obtenir l’action à 4 dimensions, on va effectuer une réduction dimensionnelle à la Kaluza-Klein, comme décrit dans la section 1.1, en ne gardant que les modes zéros des champs fondamentaux, de sorte que toute la dépendance en les dimensions supplémen­

taires se "factorise" dans un facteur qui représente le volume de l’espace de fond. On obtient donc :

Qgrav

*^10

Mw Ve j d'^x ^y

J d^x

Mh n

2

(1.17) (1.18) Par définition le préfacteur dans le terme n’est rien d’autre que l’échelle de Planck en 4 dimensions, telle que nous l’avions définie en (1.13) : Mpi ~ Epi = ~ 1.2 x 10^^

GeV.

Dans les scénarios standard de théorie des cordes, la masse fondamentale Mp Mpi{

lO^^GeV) et le rayon de compactification caractéristique des dimensions supplémentaires est de l’ordre de la longueur de Planck, R ^ Ipi = (Mp;)“^(~ 10“^^cm; ce qui garantit l’équivalence entre les équations (1.17) et (1.18) (nous verrons bientôt que ce n’est pas la seule option possible).

Dans ce cadre, le manque de prédictivité phénoménologique des théories de cordes s’explique par le fait que celles-ci ne dévoilent leur nature étendue qu’aux environs de l’échelle de Planck, loin au-delà du domaine d’énergie que l’on peut espérer atteindre dans des expériences construites sur Terre ; de ce point de vue, elles n’apportent donc pas vraiment de réponse concrète au problème de testabilité de la théorie fondamentale unifiée.

Les effets de la gravité quantique ne se révèlent en effet que lorsque les objets fondamen­

taux montrent finalement leur nature étendue et quand les dimensions supplémentaires jusque-là cachées s’"ouvrent" à notre perception.

Or Mpi est située à environ 16 ordres de grandeur de l’énergie caractéristique des interactions électrofaibles, Mpw ! Cette énorme différence d’échelle, en d’autres termes la hiérarchie entre Mpw ~T0^ GeV et Mpi ~ 10^® GeV, se traduit phénoménologiquement par la faiblesse des interactions gravitationnelles par rapport aux interactions faibles et électromagnétiques telles que nous les mesurons. Le rapport des constantes de Fermi et de Newton,

G n M bw

Ml, 10 ^-32 (1.19)

illustre précisément le fait que les interactions gravitationnelles entre particules élémen­

taires n’ont aucune influence sur les processus que nous observons aux accélérateurs^.

en va bien entendu autrement pour les phénomènes à grande échelle impliquant des objets macro­

scopiques ; la gravitation étant purement attractive, elle devient alors l’interaction dominante car elle ne

subit pas de phénomène d’"écrantage".

1-4.. Le problème de hiérarchie des interactions fondamentales 13 Aucun mécanisme satisfaisant ne nous permet vraiment d’expliquer l’origine de cette hiérarchie entre deux types d’interactions qui à priori semblent tout aussi fondamentales l’une que l’autre. Même l’introduction de la supersymétrie (en faveur de laquelle existent également un certain nombre d’autres arguments théoriques) ne permettrait au mieux que de stabiliser l’échelle électrofaible. Si elle n’est pas mise en évidence dans la prochaine génération d’expériences menées aux accélérateurs de particules, alors les modèles à di­

mensions supplémentaires se présenteront réellement comme une alternative sérieuse pour la résolution de ce problème, comme nous le verrons dans les prochains chapitres.

1.4.2 Les limites expérimentales sur la mesure des interactions fondamentales

Au-delà de son aspect conceptuel, le problème de hiérarchie se heurte également à une impasse expérimentale. En effet, si les effets dus à la présence de dimensions supplé­

mentaires et au caractère quantique de la gravité ne se révèlent qu’à l’échelle de Planck, cela signifie qu’ils ne deviennent détectables que loin au-delà des énergies que l’on peut espérer atteindre dans des expériences développées sur Terre, de quelque type qu’elles soient...Pour rappel, les accélérateurs actuels permettent de réaliser des collisions attei­

gnant une énergie du centre de masse de quelques TeV, alors que la prochaine génération de collisionneurs, tel le Large Hadron Collider (LHC), relèvera cette limite d’un ordre de grandeur. Cette énergie constitue dès lors la limite de validation expérimentale du Modèle Standard des interactions électrofaibles, dont les prédictions ont été jusqu’ici remarqua­

blement confirmées par l’expérience.

On le voit, la quête de la gravitation quantique - du moins si celle-ci est bel et bien située aux environs de 10^® GeV - est sans espoir aux accélérateurs. Cette inaccessibilité se reflète dans le paradigme de la physique des hautes énergies qui se base essentiellement sur l’existence de ces deux échelles fondamentales - l’échelle électrofaible au TeV, et l’échelle de Planck qui correspondrait à l’avènement d’une véritable théorie du "Tout". Entre ces deux échelles prennent dès lors place des théories effectives censées extrapoler petit à petit, depuis la physique à basse énergie que nous connaissons et testons expérimentalement, vers des théories de plus en plus unifiées et générales qui répondraient aux problèmes non résolus dans le cadre du Modèle Standard. On peut ainsi individuer des échelles in­

termédiaires qui apparaissent dans des modèles théoriques introduisant des ingrédients supplémentaires par rapport à ceux du Modèle Standard ; citons par exemple l’échelle de Grande Unification, M

~ 10^^ GeV (qui correspond au point de convergence dans l’évolution des trois constantes de couplage liées aux interactions fortes, faibles et électro­

magnétiques; cette convergence est d’ailleurs une des prédictions les plus remarquables dues à l’introduction de la supersymétrie dans la théorie).

Ce paradigme repose cependant, entre autres, sur l’hypothèse que l’interaction gra­

vitationnelle reste bien décrite par la théorie de la relativité générale à travers tout ce

domaine d’énergie, jusqu’à l’échelle de Planck. Cette supposition, qui semble à première

vue plutôt naturelle, ne repose en réalité sur aucune vérification expérimentale...Aussi

curieux que cela puisse paraître, et contrairement au Modèle Standard dont la validité

a été vérifiée expérimentalement jusqu’à des énergies approchant le TeV, c’est-à-dire sur

14 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

des distances de l’ordre de 10“^® mm, la loi de Newton n’est testée, elle, que sur des dis­

tances de l’ordre de quelques dixièmes de mm[17] ! On est donc bien loin de la longueur de Planck... De plus, les obstacles techniques et conceptuels sont tels dans la réalisation de ce type d’expériences qu’on ne peut envisager, dans l’état actuel de nos connaissances, augmenter la précision des tests dans une mesure significative pour le problème qui nous occupe.

Ceci est probablement une des motivations principales qui ont guidé l’émergence de nouveaux types de modèles, cherchant à s’affranchir de ce lien à une échelle de Planck inaccessible. Les dimensions supplémentaires y ont encore un rôle fondamental, mais le problème de hiérarchie est ici réinterprété en termes géométriques, alors que toutes les échelles fondamentales d’énergie, y compris celle de la gravitation, sont ramenées à M ew -

1.5 L’Univers-membrane

Un des ingrédients fondamentaux de ces nouveaux modèles réside dans la possibilité de confiner les interactions de jauge à un sous-espace plongé dans l’espace global à 4-|-n dimensions. On peut dès lors imaginer que notre Univers à trois dimensions spatiales, avec son spectre de particules tel que nous l’observons, est en réalité un "mur" ou une "mem­

brane" flottant dans un monde à plus de 4 dimensions d’espace-temps, auquel le secteur jaugé n’aurait pas accès. La gravitation, elle, se propage dans tout l’espace puisqu’elle est

intimement liée à la dynamique de l’espace-temps lui-même.

La possibilité d’"emprisonner" des particules dans un piège topologique de l’espace de fond avait déjà été largement étudiée dans le cadre de modèles de théorie des champs à 4 dimensions (ou moins). Jackiw et Rossi [76], notamment, ont montré qu’il était possible de localiser les fermions par le biais de leur couplage au champ scalaire responsable du défaut topologique. Cette idée fut reprise en 1983 par Rubakov et Shaposhnikov [77] dans le cadre d’un espace à 3-|-n dimensions d’espace infinies ; ils proposèrent pour la première fois le concept d’Univers-membrane dans le cadre d’un modèle décrivant la localisation dynamique des champs de matière dans un puits de potentiel à 3 dimensions généré par un champ scalaire. Nous reviendrons plus loin sur ce sujet, avec un exemple concret d’un mécanisme de localisation des fermions que nous appliquerons ensuite au problème des neutrinos.

Notons dès à présent que, par rapport au scénario standard de Kaluza-Klein, les mo­

dèles d’Univers-membrane permettent une plus grande liberté dans le choix de la taille des rayons de compactification Ri. En effet, le fait que les expériences aux accélérateurs valident le Modèle Standard des interactions de jauge jusqu’à une énergie proche du TeV ne contraint que l’épaisseur de la membrane, mais pas la taille des dimensions supplémen­

taires puisque les champs de jauge n’ont pas accès à l’espace de fond.

Dans le scénario de Kaluza-Klein, au contraire, les champs de jauge se propagent dans l’espace de fond tout entier et sont donc à l’origine de tours d’états massifs en 4 dimensions.

Or aucune expérience n’a encore fait état de l’observation de modes massifs associés

aux particules du Modèle Standard (vues comme des "modes zéros") ; cette contrainte

expérimentale se traduit dès lors par une limite supérieure sur la taille des dimensions

supplémentaires (quel que soit leur nombre) dans les modèles à la Kaluza-Klein (sans

1.5. L’Univers-membrane 15

confinement du Modèle Standard) :

R<{1 TeV)-^ ~ 10-1^ cm (1.20)

Plus récemment, un mécanisme de confinement a aussi pu être dégagé dans le cadre de la théorie des cordes : la localisation des champs de jauge est ici réalisée par le biais d’enti­

tés spatiales particulières appelées Dp-branes ou "membranes Dp", plongées dans l’espace de fond à 10 dimensions, et caractérisées par une certaine densité d’énergie (par unité de volume), leur tension, qui peut être interprétée comme une constante cosmologique (1’"énergie du vide") associée à la membrane. Ces D-branes occupent des positions stabi­

lisées dans l’espace de fond, et constituent le "support" des cordes ouvertes de la théorie;

les deux extrémités de celles-ci sont contraintes d’évoluer sur la brane, ce qui revient à y localiser les degrés de liberté de jauge. Les cordes fermées, quant à elles, sont libres de se propager dans tout l’espace de fond ; ce qui signifie que les interactions gravitationnelles sont présentes dans l’ensemble de l’espace à 10 dimensions (voir figure 1.2).

Remarquons que la phénoménologie des modèles qui introduisent une (ou des) mem­

brane (s) dans l’espace de fond peut être significativement affectée par un éventuel com­

portement dynamique de ces membranes, dont les "vibrations" ou fluctuations autour d’une position d’équilibre génèrent des modes scalaires (bosons de Goldstone). Nous nous limiterons dans ce qui suit à considérer le cas de membranes rigides, qui sont en quelque sorte des "frontières" de l’espace de fond où la métrique satisfait des conditions aux bords particulières (en l’occurence, on va y imposer l’existence d’une métrique minkovskienne).

F

. 1.2 — Représentation schématique d’une D-brane : les cordes ouvertes sont "attachées" à la mem­

brane par leurs extrémités, alors que les cordes fermées se propagent dans tout l’espace.

16 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

1.6 De grandes dimensions supplémentaires... et la gra­

vitation quantique au TeV ?

Ce concept d’Univers-membrane a permis de porter un nouveau regard sur la nature des paramètres de la théorie. En effet, l’échelle de Planck, Mpi ~ 10^® GeV, perd en quelque sorte son statut d’échelle fondamentale dans la mesure où elle n’est liée qu’à la fraction des interactions gravitationnelles qui se propagent sur la membrane à 4 dimen­

sions.

Du côté des théories de cordes également, la dernière décennie a vu le développement d’arguments nouveaux, s’inscrivant dns le cadre des nouvelles relations de dualité, qui suggèrent que l’échelle des cordes pourrait en réalité être beaucoup plus basse que Mp;, et même proche du TeV ; de même que certains rayons de compactification des dimensions supplémentaires pouvaient eux aussi être "grands", et même proches du (TeV)“^, de même que l’échelle des cordes [14, 15, 16].

Il n’y avait dès lors plus qu’un pas à franchir pour supposer que l’échelle de cordes pourrait tout simplement coïncider avec l’échelle électrofaible... C’est dans cet esprit qu’on a vu l’émergence de nouveaux modèles phénoménologiques, dits de "grandes dimensions supplémentaires" {Large Extra Dimensions), ou encore modèles ADD (Arkani-Hamed- Dvali-Dimopoulos), qui reprennent l’idée d’un Univers-membrane à 3 dimensions plongé dans un espace de fond compactifié cette fois sur de grands rayons [78]. En supposant l’existence d’une seule et même échelle fondamentale d’énergie Mp, commune à toutes les interactions et située aux alentours du TeV, ils fournissent une réponse originale au problème de hiérarchie des interactions fondamentales, qu’ils annulent en fait purement et simplement.

De manière assez remarquable, il n’existe pas à cette heure de contrainte expérimentale suffisamment forte pour exclure complètement, et dès le départ, ce type de modèles. C’est sans doute cet aspect, combiné à leur intérêt phénoménologique, qui a suscité l’intérêt de nombreux physiciens. En effet, ils ont l’avantage de mettre la gravitation quantique à por­

tée de main des accélérateurs de particules de la prochaine génération, ce qui permettrait de dégager des contraintes sur les théories de cordes dans un délai relativement court, contrairement à ce qui se passait dans le scénario standard où les cordes ne se dévoilaient qu’à l’échelle de Planck. De plus ces modèles sont aisément falsifiables de par l’éventail de nouveaux effets qu’ils prédisent, suite à la présence de modes de Kaluza-Klein légers (puisque leur masse est inversément proportionnelle aux rayons de compactification) as­

sociés aux gravitons, effets qui pourraient être observés aux accélérateurs mais aussi dans d’autres domaines de la physique des particules expérimentale et de l’astrophysique.

La présence de grands rayons de compactification impliquerait également, comme nous

le verrons, une modification de la loi de Newton sur des petites distances qui pourrait

être mise en évidence par les expériences de microgravité. Notons d’ailleurs que certaines

observations provenant d’expériences passées ou en cours ont déjà permis de contraindre

la taille et le nombre des dimensions supplémentaires, ainsi que la valeur de l’échelle

fondamentale Mp, sans toutefois exclure un domaine de paramètres suffisamment large

pour suggérer l’abandon de ces modèles.

1.7. Un modèle alternatif d’espace courbé 17

1.7 Un modèle alternatif d’espace courbé

Parallèlement au développement des modèles à grandes dimensions supplémentaires compactifiées, on a vu l’émergence d’un type de modèles radicalement différents mais vi­

sant au même but : supprimer la hiérarchie entre interactions électrofaibles et interactions gravitationnelles.

Randall et Sundrum ont ainsi proposé en 1999 un modèle dit RSl à une seule dimension supplémentaire compactifiée cette fois sur un très petit rayon rc > l/Mpi. Les frontières de cet espace sont constituées de deux membranes à 3 dimensions, dont l’une supporte les particules du Modèle Standard. On retrouve un certain nombre d’idées déjà présentes dans les modèles de type ADD - en particulier l’existence d’une seule échelle fondamentale d’énergie, et le fait que notre Univers est vu comme une membrane plongée dans un espace de fond responsable de la dilution des interactions gravitationnelles. Cependant leur implémentation est très différente, de même que leurs conséquences phénoménologiques.

En effet, ayant une seule petite dimension supplémentaire à disposition, le facteur de volume est suppléé ici par la courbure de l’espace-temps, qui apparaît naturellement lorsqu’on prend en compte la tension des membranes à trois dimensions (tension qui était négligée dans les modèles de type ADD). La hiérarchie entre Mpi et Mpw est réalisée grâce à un facteur exponentiel qui apparaît dans la métrique à 5 dimensions et qui reflète la géométrie de l’espace sous-jacent. Cependant aucun réglage fin n’est nécessaire pour obtenir le bon facteur (~ 10^®) entre les deux échelles à partir des paramètres du modèle ; il suffit, comme nous le verrons dans le chapitre 3, de leur assigner à tous une valeur proche de Mpi (ou \/Mpi). Dans cette mesure, le modèle RSl n’est pas confronté au problème d’une "reformulation" de la hiérarchie en termes des paramètres géométriques, tel qu’il apparaît dans les modèles ADD.

Ses implications phénoménologiques sont également très différentes de celles des mo­

dèles de type ADD. En particulier la masse du premier mode de Kaluza-Klein associé au graviton est ici de l’ordre du TeV, ce qui diminue fortement son influence sur les processus que nous pouvons observer à basse énergie mais le rend malgré tout détectable dans la prochaine génération d’accélérateurs de particules. De même, il échappe pour cette raison aux contraintes cosmologiques et astrophysiques qui s’avéraient particulièrement fortes pour les modèles ADD. On ne s’attend pas non plus à détecter des modifications de la loi de Newton à petite distance puisque le rayon de compactification de la dimension sup­

plémentaire est très petit. Par contre, suite à la présence du facteur exponentiel entre la physique dans l’espace de fond et celle qui est perçue au niveau de la membrane, on s’at­

tend également à entrer dans le domaine de la gravitation quantique au-delà de Mpw ~ 1 TeV®.

Ici encore, la prochaine génération d’expériences testant la physique des hautes énergies dans le domaine du TeV et au-delà sera cruciale pour valider ou invalider ce type de modèle. Cependant, dans la situation actuelle nous pouvons remarquer que le modèle RSl est beaucoup plus difficile à contraindre que son homologue à grandes dimensions supplémentaires, constituant de ce fait une alternative attrayante.

®En fait, dans ce modèle, on pourrait tou aussi bien considérer que Mpw est l’échelle fondamentale

et Mpi, l’échelle dérivée.

18 Chapitre 1. Introduction historique et motivations modernes

Chapitre 2 De grandes dimensions snpplémentaires compactifiées

Sommaire

2.1 Le modèle ADD... 19 2.2 Modifications de la gravitation à petite distance... 23 2.3 Gravitons dans l’espace de fond et sur la membrane ... 25 2.4 Contraintes expérimentales... 26

2.1 Le modèle ADD

L’identification des échelles électrofaible et de la gravitation, en d’autres termes la suppression de la hiérarchie entre interactions fondamentales, constitue l’hypothèse cen­

trale choisie par Arkani-Hamed, Dvali et Dimopoulos en 1998 pour développer un modèle phénoménologique d’Univers-membrane plongé dans un espace à 4 + d dimensions, dont les d dimensions supplémentaires sont compactifiées sur des cercles [78]. Les interactions de jauge sont confinées sur la membrane à 4 dimensions (dont on néglige la tension), dont l’épaisseur maximale est contrainte par une relation du type de (1.20), qui garantit que les interactions des champs confinés ne sont pas modifiées sur des échelles accessibles aux expériences actuelles ; dans l’esprit du modèle il est donc naturel de supposer que la membrane a une épaisseur ~ M ew ^- Les champs du Modèle Standard interagissent sur la membrane, mais ils peuvent produire des gravitons qui se propagent dans les dimen­

sions supplémentaires, comme illustré dans la figure 2.1 ; et de fait la gravitation est, elle, présente dans l’ensemble de l’espace de fond.

Notons encore que la présence d’une membrane brise l’invariance translationnelle dans l’espace de fond, ce qui implique que la quantité de mouvement p^(x^) définie dans l’es­

pace global (pour un observateur vivant à 4 + d dimensions) peut ne pas être conservée,

^11 est à noter que les particules du Modèle Standard pourraient dès lors s’échapper dans le bulk pour autant qu’elles acquièrent une quantité de mouvement suffisante (de l’ordre de

dans les directions transverses à la membrane.

19

20 Chapitre 2. De grandes dimensions supplémentaires compactifiées

comme c’est en effet le cas lorqu’un graviton est créé à partir d’une collision de particules confinées sur la membrane (voir figure 2.1). Pour un observateur vivant sur la membrane, au contraire, p^{x^) doit être conservé. Les processus émettant un graviton dans l’espace de fond seront dès lors interprétés en termes des états de la tour de Kaluza-Klein corres­

pondante qui, bien qu’"invisibles" (en fait, difficilement détectables) sur la membrane (car leur couplage à la matière est extrêmement faible), contribueront au bilan de quantité de mouvement du processus en question.

F

. 2.1 — Représentation schématique de la réaction e+ e (voir section 2.4), où un graviton est émis dans l’espace de fond à partir d’une collision de particules sur la membrane-Univers.

Gommé nous allons le voir, l’identification des échelles fondamentales requiert en fait des rayons de compactification relativement "grands", car c’est le volume de l’espace de fond qui est ici responsable de la dilution des interactions gravitationnelles et donc de leur faiblesse au niveau de la membrane où sont confinées les interactions de jauge. Soit en effet l’action effective d’une théorie des interactions gravitationnelles, en. D = A + d dimensions (qui généralise celle que nous avions écrite en (1.15) pour D = 10) :

Sr’ = (2.1)

OÙ l’on a défini l’échelle de Planck réduite en D dimensions, Mn = comme le préfacteur de l’intégrale (voir l’appendice A pour une discussion des conventions utili­

sées dans la suite de ce travail). Si nous effectuons la réduction dimensionnelle de D à 4 dimensions (sans passer par une formulation en termes des paramètres de cordes comme nous l’avions fait dans la section 1.4), et en supposant que toutes les dimensions supplé­

mentaires sont compactifiées sur des cercles dont les rayons de compactification sont tous

2.1. Le modèle ADD 21 du même ordre, ~ R, on trouve :

gg^av ^ ggrav ^ {2 ti R)^-^ j d'^X ^{U (2.2)}

= {Mpif j ^{d^x^n (2.3)}

où la masse de Planck réduite Mpi = ~ 2.4 x 10^* GeV. Ceci permet d’écrire la relation suivante entre l’échelle de Planck réduite à quatre dimensions Mpi et son équivalent à D dimensions Mp :

{Mpif ~ (27Tiî)'' (M d )'+‘' (2.4) qui dépend du nombre de dimensions supplémentaires d = D — A.

Dans ce modèle, l’échelle fondamentale de la gravitation n’est plus la masse de Planck à 4 dimensions mais bien celle à D dimensions qui caractérise les interactions gravitation­

nelles se propageant dans l’ensemble de l’espace-temps; notre hypothèse de travail revient dès lors à imposer qu’elle soit proche de l’échelle électrofaible^.

Mp — Mp ~ TTlpwr.

(2.6)

La relation (2.4) nous donne une relation de hiérarchie entre Mpi, l’échelle des interactions gravitationnelles telles qu’elles nous apparaissent sur la membrane, et l’échelle fondamen­

tale Mp, identifée à l’échelle des interactions de jauge confinées (et qui est aussi l’échelle fondamentale de la gravitation en D dimensions). La différence énorme entre Mp et Mpi provient clairement de la présence du volume des dimensions supplémentaires. En d’autres termes, l’échelle de Planck est maintenant une grandeur dérivée de Mp.

On peut tirer de cette équation une contrainte sur la taille des rayons de compactifi­

cation, qui dépendra de la valeur de l’échelle fondamentale d’énergie Mp : Rr^lO^ /I TeVV^^

\ Mp J TeV-\ (2.6)

Dans le cas où l’on suppose que l’échelle fondamentale est proche du TeV, comme suggéré par le Modèle Standard des interactions électrofaibles, Mp ~ mpw, on obtient la condition

R ~ 10^ TéV~^ ~ cm (2.7)

résumée dans le tableau 2.1. Y figure également une estimation de la masse du premir mode de la tour de Kaluza-Klein, qui n’est rien d’autre que l’inverse du rayon de compactification de la (ou des) dimension(s) supplémentaire (s) :

mi = i (2.8)

^Certains auteurs choisissent d’inclure le facteur numérique présent dans (2.4) dans la définition de la

masse fondamentale, de sorte que Mp = (27r)‘^ Mp = Mp. Nous renvoyons le lecteur à l’appendice

A pour une discussion de ces conventions.

22 Chapitre 2. De grandes dimensions supplémentaires compactifiées

d R mi^i

1 10^^ cm 10-^« eV

2 0.1 mm 0

3 10“^ mm 10" eV

4 mm 10 keV

5 10-^" mm 1 MeV 6 10“^^ mm 10 MeV

TAB. 2.1 - Taille des rayons de compactification R (en supposant qu’ils soient tous égaux) et masse du premier mode massif de la tour de Kaluza-Klein associée, mi, en fonction du nombre de dimensions supplémentaires d.

Un simple coup d’oeil suffit pour se rendre compte que, même lorsque le nombre de dimensions supplémentaires est grand (d = 6 correspondrait à D — 10 comme dans les théories de cordes), les contraintes sur la taille des rayons de compactification sont plutôt faibles comparées à la vision standard où ~ (10^^ GeV)“^ ~ 10“^^ cm, ou même aux limites existant dans le cadre des modèles de Kaluza-Klein clcissiques (sans membrane), Rd < (ITeV)-i ~ 10-1^ cm.

Le cas d = 1 est immédiatement exclu pour des raisons évidentes ; en effet il correspond à une dimension supplémentaire compactifiée sur un rayon de l’ordre de la taille du système solaire, ce qui aurait amené des modifications de la gravité à des échelles macroscopiques, lesquelles ne sont clairement pas observées. Le cas d = 2 est particulièrement intrigant car la taille des rayons est ici proche de la limite actuelle provenant des expériences directes de microgravité qui testent la loi de Newton, ~ 0.2 mm. A partir de d = 3 cependant, les rayons de compactification sont tellement petits que l’on ne peut plus vraiment espérer les détecter par le biais de mesures directes de la gravitation. Notons malgré tout que cette limitation saute si l’on s’autorise à considérer des rayons de tailles différentes. Dans ce cas, rien ne nous empêcherait d’observer malgré tout une déviation à la loi de Newton à des échelles proches du dixième de mm puisque l’expression donnant le facteur de volume, K r\j Ua Rd, est multiplicative en les rayons ; on peut donc imaginer, par exemple pour d=3, d’avoir Ri ~ 10“® mm, — 0.1 mm et R3 ~ 10'^^ mm. Nous reviendrons dans la section 2.4 à la discussion détaillée des contraintes expérimentales.

Avant de passer à la description formelle du modèle ADD, remarquons que celui-ci a une finalité essentiellement phénoménologique, motivée par la nullification de la hiérarchie.

Plutôt qu’une véritable théorie, il constitue un cadre simplifié permettant d’étudier un type de réalisations possibles du concept d’Univers-membrane et de dégager ses manifes­

tations expérimentales en fonction d’un nombre restreint de paramètres (en l’occurrence la taille des dimensions supplémentaires et la valeur de l’échelle fondamentale supposée commune à toutes les interactions). La question de la stabilisation des rayons de com­

pactification, notamment, n’est pas abordée et il n’y a dès lors pas d’explication directe à la nouvelle "hiérarchie" générée entre les rayons Rd et la largeur caractérisant la mem­

brane, ~ 10“^^ cm - et à fortiori pas non plus dans le cas où les rayons n’ont pas tous la

même taille. De plus, l’absence d’un mécanisme satisfaisant de stabilisation des rayons de

compactification rend également difficile la formulation d’un modèle cosmologique cohé­

2.2. Modifications de la gravitation à petite distance 23 rent ; si le processus de nucléosynthèse primordiale semble être préservable dans ce type de modèles, il n’en va sans doute pas de même pour d’autres phénomènes remontant à des temps antérieurs dans l’évolution de l’Univers, tels l’inflation ou la leptogenèse.

On peut toutefois arguer que la hiérarchie des rayons de compactification est moins problématique que celle des échelles de masse, dans la mesure où la physique telle que nous la voyons n’est que peu sensible à de petites variations des paramètres géométriques du modèle - en d’autres termes il n’y a pas de "réglage fin" (fine-tuning) des rayons nécessaire pour être en accord avec les observations. De plus, la ou les échelles de compactification ne risquent pas d’être déstabilisées par des corrections radiatives de la théorie, comme c’est le cas dans le Modèle Standard lorsqu’on s’approche de M ew (ce qui motivait l’introduction de la brisure de supersymétrie à basse énergie, en vue de stabiliser la hiérarchie entre échelles électrofaible et de Plank).

Il est également intéressant de voir que ce modèle trouve malgré tout une interpré­

tation en termes d’une théorie de cordes perturbative , dans laquelle les cordes ouvertes (représentant les champs du Modèle Standard) sont attachées à une D3-brane (dont on néglige la tension) alors que les cordes fermées (les gravitons) peuvent se propager dans tout l’espace de fond [19]. Il suffit d’ailleurs d’observer la similitude des figures 1.2 et 2.1 pour comprendre intuitivement comment ce parallèle peut se faire.

2.2 Modifications de la gravitation à petite distance

La présence de dimensions supplémentaires d’espace dans lesquelles se propage la gravitation se traduirait par une modification de la loi de Newton dès que l’on atteint des distances inférieures au(x) rayon(s) de compactification de ces dimensions, dénotés par R; le théorème de Gauss nous donne l’expression du potentiel gravitationnel créé par une masse ponctuelle m dans un espace à 4+d dimensions, qui variera en fonction de la position r = Vm' — î'm d’une "masse test" m' :

- pour r R :

m' est suffisamment proche de m pour voir les lignes de champ gravitationnel issues de m rayonner uniformément dans l’ensemble de l’espace à 4-l-d dimensions, comme si celui-ci était plat ; l’expression du potentiel est donc (en omettant les facteurs tt )

n+d(r) = 1 m

(2.9) et la force de Newton entre les deux masses, ~ ;

- pour r R :

à grande distance de m, la masse-test ne perçoit plus les lignes de champ transverses à la membrane, qui se "referment" en fait autour des dimensions supplémentaires;

la dépendance en les rayons de compactification peut être factorisée et on retrouve le potentiel gravitationnel à 4 dimensions.

1 m Mp-‘^ Rd r

1 m Ml, r

(2.10)

( 2 . 11 )