EPFL 18 mai 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 26
L’exercice 2 est à rendre le 25 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Pour les opérateurs T ∈ L(C2) suivants, trouver les espaces propres généralisés et déterminer les polynômes caractéristiques.
1. T(w, z) = (z,0), 2. T(w, z) = (−z, w), 3. T(w, z) = (5w+z,5z).
Indication : On a calculé les valeurs propres dans la série 19...
Exercice 2. On définit T ∈L(C4) par
T(w, x, y, z) = (w−2x+y+z, w−x+z, z,0).
Trouver une base B de C4 formée de vecteurs propres généralisés de T, et calculer [T]B et le polynôme caractéristique de T.
Exercice 3. 1. Montrer ou donner un contre-exemple : siT ∈L(V), alorsV = kerT⊕ImT. 2. Montrer que si T ∈L(V), alors V = kerTn⊕ImTn, où n= dimV.
Le but des exercices suivants est de définir la fonction exponentielle pour des matrices et de voir une application utile de la forme normale de Jordan.
Exercice 4. Soit l’espace vectoriel Fn muni du produit scalaire standard h·,·i et de la norme associée k · k. On admet dans cet exercice que kAk := supv∈Fn,
kvk=1
kAvk définit une norme sur l’espace vectoriel Mat(n, n;F) telle quekA·Bk ≤ kAk · kBk pour toutA, B ∈Mat(n, n;F).
1. SoitA ∈Mat(n, n;F), montrer que la suite
Pn i=0
Ai i!
n∈N
est convergente. On peut en déduire que pour toutA ∈Mat(n, n;F), la série
∞
X
i=0
Ai i!
converge de manière absolue vers une matrice nomméeexp(A)(mais cela n’est pas à faire ici !).
2. Soit A ∈ Mat(n, n;R). Montrer que l’équation différentielle v0(t) = Av(t), v(0) = v0, v :R→Rn admet v(t) = exp(tA)(v0)comme unique solution.
3. Montrer que si B ∈Mat(n, n;F) est inversible, alorsexp(B−1AB) =B−1exp(A)B.
Remarque : En particulier, on a Bexp(B−1AB)B−1 = exp(A). Cette formule est utile si exp(B−1AB) est plus facile à calculer queexp(A), par exemple dans le cas où B−1AB est la forme normale de Jordan de la matrice A...
Exercice 5. On considère la matrice A =
1 1 −1
−3 −3 3
−2 −2 2
. La matrice de l’application TA ∈
L(R3) définie par A, exprimée par rapport à la base B =
1
−3
−2
,
1 0 0
,
1 0 1
de R3
est de la forme J := [TA]B =
0 1 0 0 0 0 0 0 0
, c’est-à-dire qu’il existe un changement de base
B ∈ Mat(3,3;R) tel que B−1AB = J. On considère le système v : R → R3, v0(t) = Av(t), v(0) = (a0, b0, c0)t∈R3 (∗).
1. Montrer qu’en posant w(t) = B−1v(t), on peut ramener le problème à w0(t) =J w(t).
2. Résoudre cette équation différentielle.
3. En déduire la solution de (∗). (Faire le rapprochement avec la remarque de l’exercice précédent !)
4. En utilisant la méthode donnée dans l’exercice précédent et le fait qu’il existe une matrice D∈Mat(2,2;R)telle que D
3 2
−1 0
D−1 = 1 0
0 2
, résoudre l’équation
x0(t) =
3 2
−1 0
x(t), x(0) = (a0, b0)t∈R2.
Indication : il s’agit bien sûr de calculerB,B−1,D,D−1...
