T.D. 04 — Espaces vectoriels normés

PSI* 2019/2020

T.D. 04 — Espaces vectoriels normés

1. Soient a, bréels tels que 0< a < b.

Montrer que l’on définit deux suites adjacentes (an) et(bn) en posanta₀=a,b₀ =b et :

∀n∈N a_n+1 = 1

2(a_n+b_n) et b_n+1= a_n+1b_n. Exprimera_n, b_nen fonction de n, deb et deθ= arccosa

b.

En déduire la valeur de la limite commune des suites(an)et (bn).

2. c Étudier la suite(un) définie par : u₀∈R^+∗ et ∀n∈N u_n+1= ln (1 +u_n).

Donner un équivalent deu_n.

(On pourra chercher la limite de 1 u_n+1 − 1

u_n et utiliser le théorème de C .)

3. Étudier la suite définie par : u₀ ∈[0,1] et ∀n∈N u_n+1=√

1−u_n.

4. c Pourz complexe donné, étudier la convergence de la suite complexe définie par :

∀n∈N^∗ Z_n= 1 + z n

n.

5. SurE =R[X],on définit trois applications N₁,N_∞ etN en posant, pourP = ⁿ

k=0

a_kX^k, N₁(P) = ⁿ

k=0|a_k| ; N_∞(P) = max

0≤k≤n|a_k| ; N(P) = max

t∈[0,1]|P(t)|. Montrer que N₁,N∞ etN sont trois normes surE. Sont-elles équivalentes ?

6. Pourf ∈ C¹([0,1],R), on poseN(f) = f²(0) +

1 0

f^′2(t) dt

1/2

.

Montrer que N est une norme sur E=C¹([0,1],R) et que : ∀f ∈E N∞(f)≤√

2N(f).

N etN∞ sont-elles équivalentes ? 7. Soit E un espace vectoriel normé.

a)Montrer que toute boule ouverte est un ouvert et que toute boule fermée est un fermé.

b)Soit B une boule ouverte deE etB_f la boule fermée de même centre et de même rayon ; montrer que B= ˚B_f etB_f =B.

8. Soit A une partie d’un espace vectoriel norméE. Montrer que :

Aouvert⇔A∩FrA=∅ ; A fermé⇔FrA⊂A.

9. Soient An etSn les sous-espaces vectoriels deMn(K) formés des matrices respectivement symétriques et antisymétriques. Montrer que An et Sn sont fermés et que, si A∈ An, la seule limite possible pour la suite A^k est la matrice nulle.

10. c SoitE un espace vectoriel normé, x un élément deE etA une partie non vide deE.

Montrer que : x∈A⇔d(x, A) = 0.

Soient F etG deux fermés disjoints de E. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints deE contenant respectivement F etG (on pourra utiliser une fonction continue bien choisie).

Montrer que ∅ etE sont les seules parties de E à la fois ouvertes et fermées.

11. SoitEun espace vectoriel normé,E ={0}. Montrer quef :x→ 1

1 + x ·xdéfinit un homéomorphisme deE dans la boule ouverteB(0,1)(c’est-à-dire quef est continue, bijective et que f⁻¹ est continue).

12. c Le théorème du point fixe pour une application contractante

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, A une partie fermée non vide de E et f une application de A dans A, lipschitzienne de rapportr, avec r ∈[0,1[. Montrer que f admet un unique point fixe ℓdansA et que, pour tout élément adeA, la suite définie par

u₀=a et ∀n∈N u_n+1=f(un)

converge vers ℓ (on montrera que la série (u_n+1−u_n) est absolument convergente et on établira :

∀n∈N u_n−ℓ ≤ _1−r^rn u₁−u₀ ).

13. c SoitE un espace vectoriel normé de dimension finie,K une partie fermée bornée non vide de E et f :K→K vérifiant :

∀(x, y)∈K² x=y⇒ f(x)−f(y) < x−y .

Montrer que f admet un unique point fixe dansK (considérer α= inf f(x)−x , x∈K ).

14. c SoientAetBdeux matrices deMp(K)et(A_n)_n∈Nune suite de matrices inversibles telle que(A_n)_n∈N

converge versA et A⁻¹_{n n∈N}converge vers B. Montrer queA est inversible et queB=A⁻¹. 15. c Montrer que l’ensembleDdes matrices diagonalisables de E=M2(C) est dense dansE.

Qu’en est-il dansM2(R) ?