2) Montrer que si a, b et c sont des ´el´ements non nuls de K, il existe (x, y, z) dans K3 distinct de (0,0,0) tel que ax2 +by2 +cz2 = 1

Universit´e d’Orl´eans-Tours 17 octobre 2017 D´epartement de Math´ematiques

M2MA

Probl`eme n⁰ 2

On suppose que p est un nombre premier distinct de 2. On rappelle la d´efinition du symbole de Legendre ^a_p

o`u a est un entier non divisible par p : il vaut 1 ou

−1 selon que a est ou n’est pas un carr´e modulo p. On rappelle aussi que a^p−12 ≡ a

p

modulo p.

On noteK =Fp le corps `a p´el´ements.

I. Etude d’une forme quadratique

On se donne un entier impair n = 2m+ 1 (o`u m ≥ 1) et on consid`ere la forme quadratiqueQ sur l’espace vectoriel Kⁿ d´efinie par

Q(x₁, . . . , x_n) =x²₁+. . .+x²_n.

L’objet de cette partie est de calculer le nombreN(p, n) de solutions dans Kⁿ de l’´equation Q(x) = 1.

1) Montrer que si a et b sont des ´el´ements non nuls de K, il existe x et y dans K tels que ax²+by² = 1.

2) Montrer que si a, b et c sont des ´el´ements non nuls de K, il existe (x, y, z) dans K³ distinct de (0,0,0) tel que ax² +by² +cz² = 1. En d´eduire que toute forme quadratique non d´eg´en´er´ee sur un espace vectoriel de dimension strictement sup´erieure `a 2 sur K admet un vecteur isotrope non nul.

3) Montrer que l’espace vectorielKⁿ est somme directe Q-orthogonale demplans hyperboliques et d’une droite non isotrope. En consid´erant le discriminant de Q, montrer que cette droite est engendr´ee par un vecteurx tel que Q(x) = (−1)^m. 4) En d´eduire que la forme quadratique Qsur l’espace vectorielKⁿ est isomorphe

´

a la forme quadratiqueQ sur l’espace vectorielK^m⊕K^m⊕K d´efinie par Q(x, y, z) = 2(x₁y₁ +. . .+x_my_m) + (−1)^mz²

o`ux, y∈K^metz ∈Ket queN(p, n) est le nombre de solutions dansK^m⊕K^m⊕K de l’´equation Q(x, y, z) = 1.

5) Pour x∈K^m, soit N(x) le nombre de solutions (y, z)∈K^m⊕K de l’´equation Q(x, y, z) = 1. Montrer que si x 6= 0, alors N(x) =p^m.

Indication :pour touta∈K, l’ensemble desy ∈K^mtels quex1y1+. . .+xmym =a est un hyperplan affine dont on calculera le cardinal.

6) CalculerN(x) lorsque x= 0.

Indication : remarquer que le nombre de z ∈K tels que z² = (−1)^m est ´egal `a 2 ou 0 selon que (−1)^m est ou n’est pas un carr´e modulo p; en d´eduire que

N(0) = ((−1)^mp−12 + 1)p^m. 7) D´eduire de 5) et 6) la formule :

N(p, n) =pⁿ⁻¹+ (−1)^{n−12 p−12} pⁿ⁻¹² .

II. Calcul de N(p, q) modulo q

On suppose d´esormais que n = q est un nombre premier distinct de p et de 2.

On va calculerN(p, q) modulo q de deux fa¸cons diff´erentes et en d´eduire la loi de r´eciprocit´e quadratique.

1) En utilisant le r´esultat de la premi`ere partie, montrer que N(p, q)≡1 + (−1)^{p−12 q−12} p

q

modulo q.

2) On revient `a la forme Q sur K^q. Soit λ:K^q →K^q tel que λ(x1, . . . , xq) = (x2, . . . , xq, x1).

Montrer que l’ensemble X des solutions de l’´equation Q(x) = 1 est stable par λ.

Montrer que la d´ecomposition en cycles de λ, consid´er´ee comme une permutation de l’ensemble X, ne fait intervenir que des cycles de longueur q.

3) En d´eduire que le cardinal N(p, q) de X est congru modulo q au cardinal F de l’ensemble des poins fixes de λ dans X.

Montrer que F = 1 + q p

.

Indication : remarquer que les points fixes de λ dans X sont les vecteurs de la forme (x, . . . , x) o`u x∈K est tel que qx² = 1.

5) D´eduire de ce qui pr´ec`ede la formule de r´eciprocit´e quadratique : q

p

= (−1)^{p−12 q−12} p q

.

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