MPSIA 2012/2013
Devoir en temps libre n˚9 pour vendredi 7 d´ecembre 2012
Quelques propri´ et´ es classiques des suites r´ eelles
Exercice 1(Moyenne de Cesaro). Soitu= (un)n∈
N∗ une suite de nombre r´eels.
On d´efinit la suitec= (cn)n∈N∗ (moyenne de Cesaro deu) par :cn= u1+u2+· · ·+un
n = 1
n
n
X
k=1
uk.
1. D´emontrer que siuconverge vers`∈R, alorsc converge vers`.
2. D´emontrer `a l’aide d’un contre-exemple que la r´eciproque est fausse.
Exercice 2 (limsup et liminf d’une suite). Soitx = (xn) une suite r´eelle born´ee. Pour tout entier naturel n, on d´efinit yn= sup ({xp|p>n}) etzn = inf ({xp|p>n}).
1. Justifier l’existence des suites (yn) et (zn).
2. D´emontrer que ces deux suites sont convergentes.
3. D´emontrer quexconverge si et seulement si limyn= limzn. 4. Que peut-on dire si la suitexn’est pas suppos´ee born´ee.
Exercice 3(suite enti`ere). Soitu= (un) une suite convergente `a valeurs enti`eres (∀n∈N, un ∈Z).
1. D´emontrer que la limite deuest enti`ere.
2. D´emontrer que la suiteuest stationnaire.
Exercice 4 (valeurs d’adh´erences d’une suite). Soit x= (xn) une suite r´eelle. On appelle valeur d’adh´erence de x toute limite r´eelle d’une suite extraite dex.
1. Trouver un exemple qui pour montre qu’une suite n’a pas n´ecessairement de valeur d’adh´erence.
2. On suppose la suite xborn´ee.
(a) Justifier qu’elle poss`ede une valeur d’adh´erence.
(b) D´emontrer que xconverge si et seulement si elle poss`ede une unique valeur d’adh´erence.
3. Une application : on suppose quex= (xn) est une suite r´eelle born´ee telle que lime2ixn= 1 et limei
√2xn= 1.
D´emontrer quexconverge vers 0.
Exercice 5(Rn’est pas d´enombrable).
1. D´eveloppement d´ecimal illimit´e.
(a) Soitx∈[0,1]. Pourn∈N, rappeler la d´efinition de la valeur approch´ee d´ecimale dn dex`a 10−n pr`es par d´efaut.
Justifier l’´ecriture pour tout ndn=E(x) + 0, a1a2...an, aveca1,· · · , an ∈[[0,9]].
D´emontrer la convergence de (dn)n∈
N, justifier la d´efinition : 0, a1a2...an...est led´eveloppement d´ecimal illimit´e de x, ainsi que son unicit´e.
(b) Toute ´ecriture (infinie) 0, a1a2...an... est-elle un d´eveloppement d´ecimal illimit´e d’un nombre r´eel ? (c) Soit une suite d’entiers (an)n>1 non tous nuls telle que∀n0∈N∗,∃p>n0, ap6= 9.
Montrer que la suite (dn)n∈
N d´efinie par d0 = 0 etdn = 0, a1a2...an converge vers un r´eel x∈[0,1] et que pour tout entiern,dn est la valeur approch´ee d´ecimale dexpar d´efaut `a 10−n pr`es : et donc que 0, a1a2...an...est bien le d´eveloppement d´ecimal illimit´e dex.
2. Application :Rn’est pas d´enombrable.
(a) Soit f une application deNdans ]0,1[. Notons pour tout i,xi=f(i), alorsf(N) ={xi/i∈N}. Pour tout entier natureli, on a le d´eveloppement d´ecimal illimit´e :xi= 0, ai1ai2...ain.... Construirex∈]0,1[ tel que∀i∈N, x6=xi. (b) En d´eduire qu”il n’existe pas de bijection entreNet ]0,1[. On dira que ]0,1[ n’est pasd´enombrable.
(c) D´emontrer queRn’est pas d´enombrable.
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