EPREUVE DE MATHEMATIQUES. Pour tout élément u de [~ ;tr], on pose. j" sin t,, F(u) = J~--dt et pour Lout element x de. '2 t

(1)

...

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MINlSTERE DE L'EDUCATION NATIONALE érie:

C'

ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE Durée: 4h

LYCEE JOSEPH AMBOUROUE-AVARO BAC BLANC nO 1 (Février 2002) Icoeff:'s

BP:236 Tél: 55-21-73 EPREUVE DE

MATHEMATIQUES

PORT-GENTIL

,

EXERCICE 1 i.! ^} ~" ⁽ⁱ

Partie A

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct ,A , B , H sont les points d'affixes respectives a , b et - -

a+b

et a:;t b

2

A chaque point M( z ) distinct de A, B, H on associe le point M'(z' ). tel que

z'-a_ z-a

- - - - -

^{[ 1 ]}

z'-b'''' z-b

1°) Montrez que : - - - - l O ' _ _ _ () ₁

':f

/"

s

(M'A,M'B)=(MA,MB)+1t, modulo 21t 2°) a) Montrez que :

') , '; ~~::.

. r' (z'- a;b)(z- a;~) ⁼ (b;a)2

b) Déduisez-en q e la droite ( AB ) est bissectrice de (HM,

iiii') ,

et que: HMxHM'= HA2 ,(''J JI'.. + C'J 'L!

c) Montrez que, sans calculs nouveaux ,que si K est le milieu de[ MM'] , la droite (MM' ) est la

~- ...~ .,.\

bissectrice de (KA, KB ). t'! 1 ;

3°) On suppose que a = 2i , b

=

4 +,3i, z = 1 + 4i Placez alors le point M'( z') . ," ,.

/

Partie B

Applications aux racines carrées d'un nombre complexe

1°)

ex.

est un complexe non nul, Zl et Z2 sont deux racines carrées de

ex.

.Le9 points Ml , M2 , A , B ont pour affixes respectives Zl , Z2 ,

ex.

et 1 Montrez que pour a =

ex.

et b =1, Zl et Z2 vérifient la relation [1] énoncée au début de la partie A (",: \,' 2°) Déduisez-en que (M1M2) est bissectrice

M

(GA, ~ ~ OB) , où

0

est l'origine du repère . ;~;]:~ ( 3°) Placez les points Ml et M2 lorsque

ex.

⁼-3 + 2i

(-~

^{l ".}

EXERCICE 2

Méthode de calcul d'une valeur approchée de l'intégrale J

= i=

^{sin x}^{dx .}

'2 x

1°) Transformation de J . Pour tout élément u de

[~

^;^{tr ] ,}^{on pose}

j" sin t , ,

F(u)

=

J~--dt et pour Lout element x de '2 t

on pose G(x) ⁼

r

^xsin tr.t dt , Jo 1-t

a) Prouvez que pour tout élément x de

[0; _~] :

G(x) = F(1t) - F(1t ( 1 - x)) .

(On pourra comparer les dérivées de! deux membres ).

1 '

b) En déduire que J = Î2 sm tr.t dt Jo 1-t 2°) Approximation de J

Soit (Un) la suite définie par Vo⁼

f:

¹sin tr.t.dt

1

et .~

n:::::

1 , Un = f tⁿsintr.t.dt a) Prouvez que, pour tout n::::: 1 :

..,,'" ! "

1 =

Vo + VI + ... + Vn-l + rn (- j / ...;

1 n •

, _ f2 t sm tr.t d ou rn - Jo 1 _ t t.

[ 1]

b)Etablisse~

que, pour tout élément t de 0;2'

tⁿsin tr.t :s;; 2t _n Ci' ^/\

1

1-t

Déduisez-en une majoration simple de r_{n .} C) _.l'~ ^\,

c) Montrez que: J= lim (Vo+ VI + ... + Vn-l) , Ir:; 1 { ~ n-HOO

3°) Calcul des intégrales

un'

a) Calculez V et U

o I

b) Etablissez que, pour tout entier n::::: 2

_1

[.-!!-_

V = n(n - I)U ] /1

!~., /

n tr² 2n-¹ n-2 ^{/ '}

4°) Conclusion

A partir des résultats obtenus en 2°) et 3°), indiquez une méthode de calcul d'une valeur approchée de J à la précision 10.²^. (On ne demande pas

d'effectuer ce calcul ).

1

(2)

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•

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Pl

D

d:

1

2

PROBLEME La chaînette

La chaînette est la courbe suivant laquelle se tend un fil homogène, pesant, flexible et inextensible, suspendu par ses extrémités à deux points fixes

(Définition Petit Larousse ).

On montre et on admet dans ce problème que, rapportée à un repère orthonormé convenable, la chaînette admet une équation de la forme

eÀ:Jc +e-À:Jc

y = - - - avec À>O.

2Â

On laisse prendre un tel fil d'une longueur de 4 lm entre deux points situés à une même hauteur et distants de 2 m. Le but du problème est de calculer une valeur approchée de la flèche prise par le

fil ,

c'est-à-dire la distance d indiquée sur le schéma ci-dessous

~

- ,. ^--.

, ^'d

-

A cet effet, pour tout À >

°,

on considère la eÀ:Jc +e-À:Jc fonction fÂdéfinie sur IR par : fÂ (x) = 2Â On note (CÂ) la courbe représentative de fÂdans un repère orthonormé .

Partie A: Etude de la chaînette

1°) a) Etudiez la parité de fI; préciser sa limite en ,.;

+ 00 et dresser son tableau de variations.

b) Tracez (C1 ) ( unité graphique : 1 cm )

0/

c) Prouvez que pour tout À la courbe ( CÂ) se déduit de ( Cl) par une homothétie dont précisera le centre et le rapport . 0 \ \ ^r

2°) Calcul de la longueur de la chaînette.

On admet que la longueur L(À) de l'arc de courbe d'équation y = fÂ(x) compris entre les points d'abscisse x = - 1 et x = 1 est égale l'intégrale:

L(À)

= tJ1+U\(x)Ydx

( l'unité de longueur étant le mètre ).

a) Vérifiez que:

o ,(

¹

+ [f"(x)]' ~ (e'" :e-"')'.

2 -2

b) En déduire que:

L

(À) = e

~e

^.^Ci

2

Exprimez en fonction de À la flèche:

d(À) = fÂ (1) - fÂ (0) de la chaînette (CÂ) , (l'unité de longueur étant le mètre)

Partie B: Etude de l'équation L

(À) =

4

Soit À un nombre réel strictement positif . 1°) a) Résolvez l'équation d'inconnue X réelle:

X²- 4 ÀX- 1 = O. ') . ,---

b) En déduire que L (À) = 4 équivaut à : eÂ= 2À+ .J4Â²+1 . Or \....

c) Prouvez enfin que L (À) = 4 équivaut ~"... :

1 ² .~~ .

À = In(2À + v4Â + 1 ). ...'

2°) Soit g la fonction définie sur [0; +00 [ par.

'. g(x) = ln( 2x +

.J

^4x²^{+ 1 ) .}

a) Calculez la dérivée de la fonction

U : x ---+ 2x + .J4x²+ 1 . Calculer g' (x) b) En déduire le sens de variation de g. ,'1. ., ,....

3°) Soit h la fonction définie sur [0; +00 [ par:

h(x) = x - g(x) .

a) Calculez h'(x) . Etudier le sign~e de h'(x) . b) Prouvez que, pour tout x > 0 :

g(x)=lnx+ln(2+

~4+ :2 )

En déduire la limite de h(x) quand x tend vers

+

00 . c) Dressez le tableau de variations de h. ;,,-'1.' ,~

Déduisez-en que l'équation g(x) = x admet une~

''\, ,

solution

a

et une seule dans ] 0 ; + 00 [ (" , d) Prouvez que 2

sas

3. ::.! " ,'"

4°)On note 1= [2; + 00 [ .

a) Démontez que, pou tout élément x de l, g(x)EI ( on pourra utiliser

B

2°) ) ,..

b) Prouvez ,que, pour tout élément x de 1 :

0

¹

1 °

^<^g'(x)

^s

^{0,5 .}

Déduisez-en que, pour tout élément x de 1 :D' "

1g(x) -cr 1 s 0,51 x -a 1 l'

5°) a) Soit (Unko la suite d'éléments de 1 définie par: Uo = 2 et pour to t n ~o Un+l

=

g(Un) .

.Démontrez que, pour tout entier naturel n:

1

^{Un -}

ais

(0,5)°

1

Uo -

al.

⁰ ^l"^:'^tl)/

b) Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite _(Un)~o. 0 l ') \~ -/- (l/-I r c) Déterminez un entier no tel que UnO soit une valeur approchée de

a à

la précision 10-³et calculez Uno.

6°) On se place dans la situation décrite au début du problème. En rassemblant les résultats obtenus dans celui-ci, calculez une valeur approchée de la flèche d(a) .

.,,,,

.

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0 , '

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