Chapitre 4 : Les suites

Chapitre 4 : Les suites I - Rappels

1. Définitions Définition :

Une suite numérique de nombre réels est une liste ordonnée de nombres réels.

Vocabulaire :

La notation un est appelée notation indicielle.

Le nombre réel un s'appelle le termed'indice n de la suite ou terme général de la suite.

La suite est noté (un).

Définition :

Une suite (un) est définie de façon explicite lorsque le terme général un est exprimé en fonction de n. I existe une fonction f définie sur 0 ;+ telle que u_n = f n( ).

Définition :

Le premier terme d'une suite (un) étant donné, elle est définie par récurrence lorsque le terme un+1 dépend du terme précédent, un .

2. Variations d’une suite Définitions :

- (un) est croissante si et seulement si pour entier naturel n, un+1 ≥ un. - (un) est décroissante si et seulement si pour entier naturel n, un+1 ≤ un. - (un) est constante si et seulement si pour entier naturel n, un+1 = un. - (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Propriété :

Soit (un) une suite définie de façon explicite par u_n = f n( ). - Si f est croissante sur 0 ;+  alors la suite (un) est croissante.

- Si f est décroissante sur 0 ;+  alors la suite (un) est décroissante.

- Si f est constante sur ^_0 ;+ ^_ alors la suite (un) est constante.

Propriété :

- Si pour tout entier naturel n, un+1 – un ≥ 0 alors la suite (un) est croissante.

- Si pour tout entier naturel n, un+1 – un ≤ 0 alors la suite (un) est décroissante.

Propriété :

Soit (un) une suite dont tous les termes sont strictement positifs.

- Si pour tout entier naturel n, ^{n 1} 1

n

u u

+  alors la suite (un) est croissante.

- Si pour tout entier naturel n, ^{n 1} 1

n

u u

+  alors la suite (un) est décroissante.

3. Représentation graphique a. Suite définie de façon explicite

Soit f une fonction définie sur



^{0 ;+ }



^{et (un}) une suite définie par u_n = f n( ).

La représentation graphique de la suite (un) est l'ensemble des points Un de coordonnées

(

^{n f n; ( )}

)

^.

Remarque :

n est un entier naturel, il ne faut pas relier les points.

Exemple :

La suite (un) est définie par u_n =n²−6n+1

b. Suite définie par récurrence

Le plan est muni d'un repère orthonormé

(

^{O ;i ; j}

)

^.

On représente ici les termes de la suite sur l'axe des abscisses.

Etapes :

1. Tracer la courbe Cg représentant la fonction g ainsi que la droite (d) d'équation y=x. 2. Placer u0 sur l'axe des abscisses.

3. Placer sur la courbe Cg le point A0 d'abscisse u0. A0

(

u0 ; ( )g u0

)

c'est à dire A0

(

u0 ;u1

)

. 4. Placer sur la droite (d) le point B0 ayant la même ordonnée que A0. B0

(

u1;u1

)

.

5. On projette orthogonalement B0 sur l'axe des abscisses et on obtient u1.

Exemple :

La suite (un) est définie par

0 1

-1

-2 _n 5

n

u

u ₊ u





=

= − g x: -2x−5

+ r + r + r + r + r + r u0 u1 u2 u3 u4 u5

II - Suites arithmétiques 1. Généralités Définition

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier naturel n : un+1 = un + r. r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Propriété :

S’il existe un réel r tel que pour tout entier n, un+1 – un = r alors (un) est arithmétique de raison r.

Remarque :

Une suite arithmétique est déterminée

par la donnée d’un terme (éventuellement u0) et de sa raison r.

Propriétés :

Le terme général d’une suite arithmétique de 1^er terme u0 et de raison r est : un = u0 + nr.

Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + (n – 1)r.

Quels que soient les entiers naturels p et q, on a : up = uq + (p – q)r 2. Sens de variation

Propriétés :

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.

- Si r > 0 , alors la suite (un) est strictement croissante.

- Si r < 0 , alors la suite (un) est strictement décroissante.

- Si r = 0 , alors la suite (un) est constante.

3. Somme de termes consécutifs Propriétés :

La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de r, est donnée par :

S = " " " "

" "

2

premier termes dernier termes

nombre de termes  +

u0 + u1 + … + un ^{= + }

(

^{n 1}

)

^u0+₂^{un u1 + u2 + … + un = n u1+}₂^un

Pour tous entiers p < n : up + … + un ^{= − + }

(

^{n p 1}

)

^up₂^+un

Cas particulier : 1 + 2 + 3 + … + n

(

¹

)

2 n n+

=

III - Suites géométriques 1. Généralités Définition :

Une suite (vn) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier naturel n : vn+1 = q × vn. q est appelé la raison de la suite géométrique.

Propriété :

(vn) est une suite numérique telle que pour tout entier naturel n, vn  0.

S’il existe un réel q > 0 tel que pour tout entier n, ^{n 1}

n

v q

v

+ = alors (vn) est géométrique de raison q.

Remarque :

Une suite géométrique est déterminée par la donnée d’un terme (éventuellement v0) et de sa raison q.

Propriétés :

Le terme général d’une suite géométrique de 1^er terme v0 et de raison q est : vn = v0 qn. Si le premier terme de la suite est v1, on a : vn = v1 qⁿ⁻¹.

Quels que soient les entiers naturels p et s, on a : vp = vs q^{p s−}

2. Sens de variation Propriétés :

Soit (vn) une suite géométrique de raison q (q > 0).

Si 0 < q < 1 et v0 > 0 alors la suite (vn) est strictement décroissante.

Si q > 1 et v0 > 0 alors la suite (vn) est strictement croissante.

Si 0 < q < 1 et v0 < 0 alors la suite (vn) est strictement croissante.

Si q > 1 et v0 < 0 alors la suite (vn) est strictement décroissante.

3. Somme de termes consécutifs Propriétés :

La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q, est donnée par : S = "premier terme"  ^{1 " "}

1

nombre de termes

q

q

−

− v0 + v1 + … + vn

1 0

1 1

qn

v q

− +

=  − v1 + v2 + … + vn 1

1 1

qn

v q

=  −

− Pour tous entiers p < n : vp + … + vn

1 1

1

n p p

v q

q

− − +

=  − Cas particulier : 1 + q + q² + … + qⁿ

1 1

1 qn

q

− +

= −

v0 v1 v2 v3 v4

• • • • • • •

 q  q  q  q  q

IV - Limites

Déterminer la limite d’une suite, c’est étudier les termes de la suite lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes (on dit que n tend vers +, on note n→+).

Pour une suite

( )

un , cette limite se note n^lim_→+

( )

un . Propriété :

Si 0 q 1 alors _n^lim_→+

( )

^{qn =0 Si q=1 alors} _n^lim_→+

( )

^{qn =1}

Si q1 alors _n^lim_→+

( )

^{qn = +}

Exemples :

3 > 1 donc _n→+^{lim 3}

( )

^{n = + 0 1}₂ ^{1 donc} _n→+^{lim }_^{  1}₂ ^n_ ⁰

  

=

Propriétés :

u est une suite numérique, a et b sont deux réels avec a0 Si n^lim

( )

un ⁰

→+ = alors n^lim

(

a un

)

⁰

→+  = ; _n^lim_→+

(

^{b u+ n}

)

^{=b et} _n^lim_→+

(

^{b a u+  n}

)

^=b

Si n^lim

( )

un

→+ = + et a0 alors n^lim

(

a un

)

→+  = +

Si n^lim_→+

( )

un = + et a0 alors n^lim_→+

(

a u n

)

= −

Si n^lim_→+

( )

un = + alors n^lim_→+

(

b u+ n

)

= + Si n^lim_→+

( )

un = − alors n^lim_→+

(

b u+ n

)

= −

Exemples :

( )

lim 3 0,5ⁿ 0

n→+  = _n→+^{lim -2 0,7}

(

^{ n}

)

⁼⁰ _n→+^{lim 3 0,2}

(

^{+ n}

)

⁼³

( )

lim 2 5ⁿ

n→+  = + _n→+^{lim -2 3}

(

^{ n}

)

^{= −} _n→+^{lim 2 4}

(

^{+ n}

)

^{= +}

( )

lim 2 3 4ⁿ

n→+ +  = + _n→+^{lim 2 3 7}

(

^{−  n}

)

^{= −} _n→+lim 3 4 0,2

(

−  ⁿ

)

=3