Automne 2013
IFT–6561 Devoir 2
1. Montrez que siX ∼G´eom´etrique(p), alorsP[X =y+x|X≥y] =P[X = x]. Il s’agit de la ”propri´et´e sans m´emoire” de la distribution g´eom´etrique.
2. Montrez que si X1, . . . , Xk sont des variables al´eatoires ind´ependantes exponentiellement distribu´ees, avec des taux respectifs λ1, . . . , λk, alors X = min(X1, . . . , Xk) suit une loi exponentielle de tauxλ=λ1+· · ·+λk. Astuce: ´ecrivez la fonction de survie ¯F(x) = 1−P[X > x].
3. On souhaiterait ´etendre le cadre de l’option europ´eenne ´etudi´ee dans le devoir 1. Alors qu’une option europ´eenne ne peut ˆetre exerc´ee qu’`a la matˆurit´e T, une option am´ericaine peut ˆetre exerc´ee `a n’importe quelle date entre son ´emission au temps 0 et sa matˆurit´e. Les options bermudi- ennes repr´esentent un cadre interm´ediaire, o`u l’option peut ˆetre exerc´ee
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a divers instants entre l’´emission et la matˆurit´e, instants d´efinis lors de l’´emission du contrat. On suppose ici les mˆemes conditions que dans l’exercice sur les options europ´eennes, mais l’option peut ˆetre exerc´ee au d´ebut de chaque mois, soit aux tempsi/12,i= 1, . . . ,12.
En simulant l’option, d´eterminez le revenu moyen envisageable au d´ebut de chaque mois. D´eterminez ´egalement le revenu moyen maximum qui peut ˆ
etre retir´e de l’option si elle est exerc´ee au meilleur moment (c’est-`a-dire quand sa valeur est au maximum parmis les points d’exercice possibles).
Est-ce une valeur r´ealiste pour tarifer le contrat? Pourquoi?
Du point de vue de l’acheteur, une strat´egie qui consisterait `a exercer l’option quand sa valeur est sup´erieure au revenu moyen pour la p´eriode donn´e est-elle pertinente?
Imaginer th´eoriquement une strat´egie d’exercice optimale. Quelles diffi- cult´es envisagez-vous pour son impl´ementation num´erique?
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