IFT-6561, Solution Intra Nov. 2003

IFT-6561, Solution Intra Nov. 2003

1. (a) Soient x

, . . . , x

les observations tri´ ees. On a F ˆ

(x) = 1

n

n

X

i=1

I [x

≤ x].

IFT-6561, Solution Intra Nov. 2003

1. (a) Soient x

, . . . , x

les observations tri´ ees. On a F ˆ

(x) = 1

n

n

X

i=1

I [x

≤ x].

(b) On g´ en` ere U ∼ U (0, 1) et on pose

X = x

si i/n ≤ U < (i + 1)/n, i.e., X = x

.

IFT-6561, Solution Intra Nov. 2003

1. (a) Soient x

, . . . , x

les observations tri´ ees. On a F ˆ

(x) = 1

n

n

X

i=1

I [x

≤ x].

(b) On g´ en` ere U ∼ U (0, 1) et on pose

X = x

si i/n ≤ U < (i + 1)/n, i.e., X = x

. (c) On peut poser, par exemple,

F ˇ

(x) =



 



 

 i

n + x − x

(x

− x

)n si x

≤ x ≤ x

, i < n − k, 1 − k

n exp

−(x − x

)/θ

si x > x

,

o` u x

= 0, k ∈ {1, 2, 3}, et θ est choisi de mani` ere ` a ce que

la moyenne de F ˇ

soit ´ egale ` a celle des observations.

IFT-6561, Solution Intra Nov. 2003

1. (a) Soient x

, . . . , x

les observations tri´ ees. On a F ˆ

(x) = 1

n

n

X

i=1

I [x

≤ x].

(b) On g´ en` ere U ∼ U (0, 1) et on pose

X = x

si i/n ≤ U < (i + 1)/n, i.e., X = x

. (c) On peut poser, par exemple,

F ˇ

(x) =



 



 

 i

n + x − x

(x

− x

)n si x

≤ x ≤ x

, i < n − k, 1 − k

n exp

−(x − x

)/θ

si x > x

, o` u x

= 0, k ∈ {1, 2, 3}, et θ est choisi de mani` ere ` a ce que la moyenne de F ˇ

soit ´ egale ` a celle des observations.

(d) On g´ en` ere U ∼ U (0, 1) et si i/n ≤ U < (i + 1)/n, on retourne

X =

x

+ (nU − i)(x

− x

) si i < n − k,

x

− θ ln[(1 − U )n/k] sinon.

2. (a) Il faut multiplier Y par le rapport de vraisemblance f

(B )

f

(B) = α

B

e

Γ(α

)

Γ(α

)

λ

B

e

.

2. (a) Il faut multiplier Y par le rapport de vraisemblance f

(B )

f

(B) = α

B

e

Γ(α

)

Γ(α

)

λ

B

e

.

(b) Si la performance d´ epend d’´ ev´ enements rares qui se produisent lorsqu’il y a beaucoup d’achalandage, augmenter

l’achalandage peut r´ eduire la variance en rendant ces ´ ev´ enements

moins rares.

3. Le processus { N ˜ (x), x ≥ 0} est un processus de Poisson standard, i.e., stationnaire de taux 1.

Preuve: les axiomes d’un processus de Poisson sont que (a) les arriv´ ees se font une ` a une et (b) le nombre d’arriv´ ees dans un intervalle de temps est ind´ ependant de ce qui se passe en dehors de cet intervalle.

Puisque N ˜ (x) est obtenu du processus original en changeant simplement l’´ echelle de temps, il v´ erifie aussi ces axiomes et est donc un processus de Poisson. De plus

E[ ˜ N (x)] = E[N (Λ

(x))] = Λ(Λ

(x)) = x

et donc il st stationnaire de taux 1.

3. Le processus { N ˜ (x), x ≥ 0} est un processus de Poisson standard, i.e., stationnaire de taux 1.

Preuve: les axiomes d’un processus de Poisson sont que (a) les arriv´ ees se font une ` a une et (b) le nombre d’arriv´ ees dans un intervalle de temps est ind´ ependant de ce qui se passe en dehors de cet intervalle.

Puisque N ˜ (x) est obtenu du processus original en changeant simplement l’´ echelle de temps, il v´ erifie aussi ces axiomes et est donc un processus de Poisson. De plus

E[ ˜ N (x)] = E[N (Λ

(x))] = Λ(Λ

(x)) = x

et donc il st stationnaire de taux 1.

Pour g´ en´ erer les T

, on g´ en` ere les instants de saut X

du processus standard N ˜ en posant

X

= 0 et X

= X

− ln(1 − U

), puis T

= Λ

(X

).

Facile si Λ

est facile ` a calculer.

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour

i = 1, . . . , 32.

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour i = 1, . . . , 32.

2. Pont Brownien: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d. N (0, 1),

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour i = 1, . . . , 32.

2. Pont Brownien: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d. N (0, 1), poser B(32) = √

32Z

,

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour i = 1, . . . , 32.

2. Pont Brownien: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d. N (0, 1), poser B(32) = √

32Z

, B (16) = B (32)/2 + √

8Z

,

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour i = 1, . . . , 32.

2. Pont Brownien: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d. N (0, 1), poser B(32) = √

32Z

, B (16) = B (32)/2 + √

8Z

, B (8) = B (16)/2 + √

4Z

,

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour i = 1, . . . , 32.

2. Pont Brownien: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d. N (0, 1), poser B(32) = √

32Z

, B (16) = B (32)/2 + √

8Z

, B (8) = B (16)/2 + √

4Z

,

B (24) = [B(16) + B (32)]/2 + √

4Z

, etc.

4. 1. Algorithme s´ equentiel: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d.

N (0, 1), poser B (i) = B(i − 1) + Z

et calculer S (i), pour i = 1, . . . , 32.

2. Pont Brownien: g´ en´ erer Z

, . . . , Z

i.i.d. N (0, 1), poser B(32) = √

32Z

, B (16) = B (32)/2 + √

8Z

, B (8) = B (16)/2 + √

4Z

,

B (24) = [B(16) + B (32)]/2 + √

4Z

, etc.

L’avantage de la seconde m´ ethode est qu’une fraction plus importante de la variance (et de la trajectoire) d´ epend des premi` eres variables al´ eatoires g´ en´ er´ ees. On pourra plus

facilement r´ eduire la variance en am´ eliorant l’uniformit´ e de ces

premi` eres variables (r´ eduit la dimension effective).

5. (a)

Var[ ¯ C

] = 1 n

n

X

i=1 n

X

j=1

Cov[C

, C

]

= σ

n 1 + 2 n

n−1

X

k=1

(n − k)ρ

!

et

σ

= lim

n→∞

nVar[ ¯ C

] = σ

1 + 2

∞

X

k=1

ρ

!

.

5. (a)

Var[ ¯ C

] = 1 n

n

X

i=1 n

X

j=1

Cov[C

, C

]

= σ

n 1 + 2 n

n−1

X

k=1

(n − k)ρ

!

et

σ

= lim

n→∞

nVar[ ¯ C

] = σ

1 + 2

∞

X

k=1

ρ

! .

(b) Sous la condition donn´ ee, le TLCF vu en classe tient et on a le TLC

√ n( ¯ C

− µ) ˆ

σ

⇒

√ n( ¯ C

− µ)

σ

⇒ N (0, 1).

si σ ˆ

est un estimateur consistant pour la constante de variance

σ

d´ efinie en (a).

5. (a)

Var[ ¯ C

] = 1 n

n

X

i=1 n

X

j=1

Cov[C

, C

]

= σ

n 1 + 2 n

n−1

X

k=1

(n − k)ρ

!

et

σ

= lim

n→∞

nVar[ ¯ C

] = σ

1 + 2

∞

X

k=1

ρ

! .

(b) Sous la condition donn´ ee, le TLCF vu en classe tient et on a le TLC

√ n( ¯ C

− µ) ˆ

σ

⇒

√ n( ¯ C

− µ)

σ

⇒ N (0, 1).

si σ ˆ

est un estimateur consistant pour la constante de variance σ

d´ efinie en (a).

(c) “Batch means”: On divise les n observations en k lots de taille ` = n/k. Soit

X

= 1

`

`i

X

j=`(i−1)+1

C

la moyenne pour le lot i. La moyenne globale est X ¯

= 1

k

k

X

i=1

X

= ¯ C

.

Pour calculer un IC, on suppose que les X

sont ind´ ependants et suivant la loi normale. La m´ ethode est asymptotiquement valide si ces hypoth` eses deviennent vraies lorsque n → ∞. La

condition donn´ ee en (b) implique la validit´ e asymptotique

lorsque ` → ∞.

6. (a) {C

, i ≥ 1} est reg´ en´ eratif s’il existe une variable al´ eatoire τ

> 0 telle que {C

, i ≥ 1} est

stochastiquement ´ equivalent ` a {C

, i ≥ 1} et ind´ ependant de

τ

et de {C

, i ≤ τ

}.

6. (a) {C

, i ≥ 1} est reg´ en´ eratif s’il existe une variable al´ eatoire τ

> 0 telle que {C

, i ≥ 1} est

stochastiquement ´ equivalent ` a {C

, i ≥ 1} et ind´ ependant de τ

et de {C

, i ≤ τ

}.

(b) Soit {C

, i ≥ 1} reg´ en´ eratif aux instants τ

, j ≥ 1. Alors v

= E[V

] = E[V

] + E h

e

i v

et donc

v

E[V

]

1 − E [e

] .

6. (a) {C

, i ≥ 1} est reg´ en´ eratif s’il existe une variable al´ eatoire τ

> 0 telle que {C

, i ≥ 1} est

stochastiquement ´ equivalent ` a {C

, i ≥ 1} et ind´ ependant de τ

et de {C

, i ≤ τ

}.

(b) Soit {C

, i ≥ 1} reg´ en´ eratif aux instants τ

, j ≥ 1. Alors v

= E[V

] = E[V

] + E h

e

i v

et donc

v

E[V

] 1 − E [e

] .

(c) On veut un IC pour ν = E [X

]/E[Y

]. Les v.a.

Z

= X

− µY

,

sont i.i.d. de moyenne 0 et variance

σ

= Var[Z

] = Var[X

] + µ

Var[Y

] − 2µCov(X

, Y

).

On estime σ

par son ´ equivalent empirique σ ˆ

(voir notes). En appliquant le TLC aux Z

, on obtient

√ n Y ¯

( ˆ µ

− µ) ˆ

σ

=

√ n Z ¯

ˆ

σ

⇒ N (0, 1) quand n → ∞.