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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Richard, S. (2011). Genèse historique et logique du projet d'ontologie formelle: de l'ontologie traditionnelle à la métaphysique analytique contemporaine (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté de Philosophie et Lettres – Philosophie et Sciences des religions, Bruxelles.

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté de Philosophie et Lettres

Genèse historique et logique du projet d’ontologie formelle.

De l’ontologie traditionnelle à la métaphysique analytique contemporaine

(Volume 4)

Sébastien RICHARD Thèse présentée en vue de l’obten­

tion du grade académique de Docteur en Philosophie, sous la direction de Monsieur Marc PEETERS.

Année académique

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté de Philosophie et Lettres

Genèse historique et logique du projet d’ontologie formelle.

De l’ontologie traditionnelle à la métaphysique analytique contemporaine

(Volume 4)

Sébastien RICHARD Thèse présentée en vue de l’obten­

tion du grade académique de Docteur en Philosophie, sous la direction de Monsieur Marc PEETERS.

V5;

Année académique 2010-2011

Annexe A

d’idée d’une grammaire pure et les catégories sémantiques

Soit la proposition suivante : (1) p^q,

issue du langage propositionnel dans sa notation habituelle. Il est d’usage de la lire ‘si p, alors q\

Les règles sémantiques du langage propositionnel nous disent que (1) est vraie si et seulement si soit ‘p’ est faux, soit ‘q' est vrai. Ainsi, cette proposition est susceptible d’être vraie ou fausse selon les valeurs de vérité que nous attribuons à ses constituants. Elle est même susceptible d’être toujours vraie, c’est-à-dire d’être une tautologie, lorsque nous substituons */)’ à 'q' pour obtenir ;

(2) pop.

Mais qu’est-ce qui différencie cette expression, par exemple, de : (3) D PP,

ou de :

(4) ppol

Ces deux dernières suites de s)anboles ne diffèrent de (2) que syntaxiquement, c’est-à-dire du point de vue de la combinaison des symboles, et cela suffit à faire qu’elles ne soient pas suscep­

tibles d’être vraies ou fiiusse. Il y a donc, en quelque sorte, un seuil syntaxique en deçà duquel la question du vrai et du faux cesse d’être pertinente.

C’est en vertu de règles syntaxiques de formation que (1) et (2) peuvent être dits signifiants au contraire de (3) et (4). Celles-ci permettent de distinguer les expressions bien formées de celles qui ne le sont pas. Dans notre exemple, il s’agira des deux règles suivantes :

- ‘/?’ et ‘g’ sont des expressions bien formées ;

- si yf et 5 sont des expressions bien formées, alors Ao Best une expression bien formée, lesquelles règles preiJnent, de plus, une forme récursive. Elles sont, dans une certaine mesme, arbitraires. En effet, il est tout à fait possible d’imaginer des règles qui définissent (3) comme étant une expression bien formée et qui rejettent (1), (2) et (4) en dehors de cette sphère. C’est le cas de la notation dite « polonaise » qui préfixe les foncteurs, comme, par exemple, le foncteur conditionnel ‘d’dans (3)*.

Ce que nous mettons ainsi en évidence en isolant un niveau de bonne formation syntaxique sous-jacent à celui de la vérité ou de la fausseté, voire plus généralement du sens, c’est ce qu’on

* Cf., par exemple, Lukasœwicz, J., 1963 ( 1958), Eléments of MathematicalLogic, 2® éd., trad. O. Wojtasiewicz,

appelle, plus vulgairement, la « grammaire », laquelle n’est évidemment pas propre à la logique, mais est une caractéristique de tout langage.

A.l Husserl

A.1.1 L’idée de grammaire pure

C’est Husserl qui semble être le premier à avoir attiré l’attention des logiciens et des ma­

thématiciens sur l’importance de ce niveau grammatical. Même un logicien aussi scmpuleux et rigoureux que Frege semble, pour l’essentiel, l’avoir méconnu. Plus précisément, c’est dans ses Recherches logiques de 1901 que le fondateur de la phénoménologie établit sa distinction entre

« contresens » {Widersinn) et « non-sens » (JJnsinn). Selon lui, l’opposition du « sens » {Sinn) et du contresens présuppose celle du sens et du non-sens^. C’est que, pour lui, il y a ime sphère des

« complexions de significations » qui est régie par des « lois de signification » ayant pour fonc­

tion de séparer le sens du non-sens. Ces lois sont des « lois a priori », « faisant abstraction de la validité objective [...] des significations ». Autrement dit, sous-jacentes aux « lois logiques » qui régissent la vérité « formelle » ou « objective », il faut établir les lois des « formes possibles de signification », c’est-à-dire « les formes a priori de significations complexes, ayant une unité de sens ». Tandis que les premières établissent « ce qu’exige a priori et sur la base de la forme pure Tunité possible de l’objet », les secondes énoncent « ce qu’exige la simple unité de sens, c’est-à-dire les formes a priori selon lesquelles des significations appartenant aux diverses caté­

gories de significations se réunissent en une seule signification, au lieu de produire un non-sens chaotique »^.

Dans ce texte dense qui ouvre sa quatrième Recherche logique, consacrée à la différence entre « signification dépendante » et « signification indépendante » ainsi qu’à l’idée de gram­

maire pure, Husserl distingue deux niveaux de ce qu’il appelle l’« apophantique formelle » : d’une part, une « morphologie pure des significations », ou « grammaire pure logique » (reinlo- gische Grammatik), et, d’autre part, une « théorie pure de la validité ». L’objet du second niveau n’est pas des plus simples à saisir. Il faut tout d’abord bien comprendre que la vérité dont il est ici question n’est pas la vérité « effective », mais la vérité « possible ». La matière du juge­

ment n’a ici rien à faire. Prenons un exemple, soit l’expression ‘décaèdre régulier’, c’ést-à-dire un solide composé de dix faces identiques. Un tel solide est impossible : nous ne pouvons le construire. Mais premièrement, il ne s’agit pas de constater l’impossibilité defait d’un tel solide.

La théorie pure de la validité est une discipline a priori et c’est donc de cette manière qu’elle établira l’impossibilité d’un solide comme le décaèdre régulier. Deuxièmement, le concept de ce solide n’est pas « immédiatement absurde », au sens où, par exemple, un ‘rond-carré’ l’est'* : il suffit de considérer « distinctement» ce dernier pour le reconnaître automatiquement comme imp>ossible. Par contre, une expression comme ‘un décaèdre régulier’ ne l’est que médiatement, comme « l’infinité d’expressions dont les mathématiciens établissent par des démonstrations in­

directes et compliquées qu’elles sont a priori sans objet »^. En effet, nous pouvons bien, par un processus de distinction (Verdeutlichung), analyser une telle expression de manière à la rendre analytiquement distincte, par exemple, en montrant qu’elle est équivalente à l’expression ‘un polyèdre régulier à dix faces congmentes’, nous n’en concevrons pas pour autant l’absurdité.

^Cf. LU, rv, Einleitung, p. 294, trad. cit., p. 85.

^Ibid, IV, Einleitung, p. 295, trad. ciL, p. 86.

^Entre le niveau de la grammaire pure et de la théorie pure de la validité, il y a un troisième niveau, appelé

« logique de la conséquence » - niveau qui ne sera clairement établi par Husserl que dans Logique formêllê}èl.

logique transcendantale -, qui traite proprement de la non-contradiction des significations entre elles. Cù^upia 4.1.

^LU, I, § 15, p. 55, trad. cit., p. 62.

Il faut pour cela procéder à une démonstration qui montre en pleine clarté qu’il s’agit d’une impossibilité mathématique^.

Cette théorie pure de la validité présuppose, selon Husserl, une grammaire pure, aussi ap­

pelée « morphologie pure des significations »’. Elle est pure en tant qu’elle ne s’appuie pas sm la psychologie et les autres sciences empiriques. Husserl pense ici aux recherches menées au XDC® siècle par Steinthal ou Wundt, pour qui la grammaire s’ancre dans la psychologie. La morphologie pure des significations dégage les lois formelles a priori de la signification qui nous préviennent contre le « non-sens » {das Unsinnigéf proprement syntaxique. Le non-sens husserlien ne doit pas être confondu avec ce qu’il appelle le « contresens » {dos Widersinnigéf.

Ainsi, le signe complexe ‘un carré rond’ n’est pas un non-sens, il possède un sens imitaire. Le contresens qui caractérise un tel contresens formel relève de la logique de la validité. Si nous considérons par contre un signe complexe comme ‘un rond ou’, celui-ci n’a même pas de sens unitaire. Il ne possède pas l’unité de signification qui permettrait de poser la question de son sens ou de son contresens. Il s’agit d’im non-sens formel en ce qu’il est mal formé syntaxiquement, alors que chacime de ses parties est douée de sens.

Avec cette idée de grammaire pure, Husserl réhabilite l’idée ancienne de « grammaire géné­

rale et raisonnée », d’une grammaire « philosophique »'*^. D’après lui, une telle grammaire devra mettre à nu « ime armature idéale que toute langue existant effectivement, obéissant en partie à des motifs hmnains universels, en partie à des motifs empiriques variant accidentellement, remplit et revêt de matériaux empiriques, selon des modes diflérents, d’une matière qui lui est propre »". Il ne s’agit pas de révéler la stmcture propre à chaque langue, mais bien « l’arma­

ture idéale » de toute langue, une telle recherche constituant les « fondements de l’élucidation scientifique ultime de tout langage en général ».

Husserl a lui-même établi le programme d’une telle théorie :

a) premièrement, il faudrait « parvenir à la détermination des formes primitives sans quitter le domaine pur ». « Plus précisément, il faudrait fixer les formes primitives des significa­

tions indépendantes, des propositions complètes, avec leurs articulations immanentes et les structures inhérentes aux articulations»^^ ;

b) deuxièmement, il faudrait établir « les formes primitives de complication et de modification qu’admettent, d’après leur essence, les diverses catégories de membres possibles » ;

c) finalement, il faudrait acquérir « une vue d’ensemble systématique de la multiplicité illimi­

tée d’autres formes que l’on peut dériver des premières, par complication ou modification continue ».

Husserl nous donne un exemple remarquable de réalisation partielle d’un tel programme*^. Il commence par établir des « formes primitives de signification » :

a) si ‘AT et ‘JV’ sont des noms (des « significations nominales »), alors ^Met N' est un nom;

b) si ‘AT et ‘AT sont des propositions (des « significations propositionneUes»), alors 'Met N’’

est ime proposition ;

c) si ‘AT et 'N' sont des propositions, alors 'si M est, N est aussi' est une proposition ;

^11 existe en effet une démonstration selon laquelle il n’existe que neuf polyèdres réguliers dans l’espace eucli­

dien, dont cinq sont convexes. Ces derniers sont les solides de Platon décrits dans le Timée : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’isocaèdre (cf. Gérard, V., 2002, art. cit., pp. 84-85).

^LU, IV, Einleitung, p. 295, trad. cit., p. 86.

^Ibid., rV, Einleitung, p. 295, trad. cit., p. 85.

^Ibid., IV, § 12, pp. 326-328, trad. cit., pp. 120-122.

rV, § 14, p. 338, trad. cit, p. 133.

rV, § 14, p. 338, trad. cit, p. 134.

IV, § 13, pp. 330-331, trad. cit, p. 124.

d) si ‘AT et W’ sont des propositions, alors ‘'Mou N' est xme proposition;

e) si ‘5’ est xm nom et un adjectif (une « signification adjective »), alors '‘Sp' est une pro­

position.

On remarquera au passage l’ambiguïté de certaines formes primitives qui peuvent aussi bien lier des noms que des propositions.

Certes, Husserl énonce dans un même geste des règles de bonne formation que la logique moderne sépare, à savoir ce qui relève de la logique des propositions et ce qui relève de la lo­

gique des prédicats, mais sa formulation a toute la rigueur des exposés contemporains'^. Une fois les différentes formes primitives de signification posées en fonction des différentes catégo­

ries d’expressions (noms, propositions, adjectifs), Husserl établit que celles-ci sont susceptibles de « complications ». Par exemple, la conjonction ‘et’ permet d’obtenir des formes plus com­

plexes de propositions à partir des formes primitives de celle-ci : {Met N) et P.

{M et N) et {P et Q).

[{M et N) et P) et Q.

De telles complications formelles sont, bien sûr, applicables aux autres catégories. Nous pou­

vons également en obtenir de nouvelles au moyen de la disjonction (« connexion disjonctive ») ou du conditionnel (« coimexion hypothétique »). L’exposition est ici moins rigoureuse, mais ce qui est important, et que Husserl met bien en évidence, c’est le caractère récursif, c’est-à-dire itérable à l’infini, de ces formes de complications ;

On comprend immédiatement que ces complications peuvent progresserin infinitum - selon une combinatoire que l ’on peut anticiper dans son ensemble, que chaque nouvelle forme demeure liée à la même catégorie de signification ; comme étant la sphère possible de variation possible de ses termes, et que, tant que cette sphère est maintenue, toutes les combinaisons de significations que l'on peut former de la sorte, doivent nécessairement exister, c’est-à-dire présenter un sens unitaire^^.

Ainsi, d’après Husserl, nous avons réussi à montrer « l’évidence de la constitution apriorique d’un domaine de la signification pour toutes ces formes qui ont leur origine a priori dans les formes fondamentales ».

A. 1.2 Les catégories de signification

Si nous recherchons les motifs pour lesquels, dans notre langue, certains enchaînements sont permis et d’autres interdits, nous serons en effet renvoyés, pour une partie très impor­

tante, à des habitudes contingentes de la langue, et, d’une manière générale, à des faits de l’évolution linguistique qui s’accomplissent différemment selon les communautés lin­

guistiques. Mais pour la partie restante, nous rencontrons la différence essentielle entre significations indépendantes et significations dépendantes, ainsi que les loisa priori, inti­

mement liées avec elle, de l’enchaînement et de la transformation des significations, lois qui, dans toute langue évoluée, doivent se manifester plus ou moins clairement dans la théorie des formes grammaticales et dans une classe correspondante d’incompatibilités grammaticales^^.

La quatrième Recherche logique de Husserl traite essentiellement de la différence entre « ex­

pressions catégorématiques », c’est-à-dire des expressions ayant une signification indépendante, et « expressions syncatégorématiques », c’est-à-dire des expressions ayant une signification dé­

pendante :

‘‘‘On pourra, par exemple, comparer cette formulation à celle de Jan Lukasiewicz, 1963 (1957), op. cit., p. 37.

IV, § 13, p. 332, trad. cit., p. 127.

IV, § 12, pp. 327-328, trad. cit., p. 122.

L ’élucidation de telles distinctions nous conduit à appliquer au domaine des significations , notre distinction générale entre objets indépendants et objets dépendants^^.

Cette Recherche logique est donc une « application » de la théorie pure des touts et des parties de la troisième Recherche dans laquelle Husserl oppose le concept de « moment », c’est-à-dire une « entité existentiellement dépendante », à celui de « morceau », c’est-à-dire une « partie détachable ou séparable ». Autrement dit, un moment est une entité qui nécessairement ne peut pas exister, à moins d’être une partie constitutive d’un tout qui la comprend. Par exemple, une surface et une couleur ne peuvent exister l’une sans l’autre**. Il est en effet impossible d’avoir ime surface qui ne soit pas colorée et une couleur qui ne soit pas étalée sur une surface. Ainsi, le « tout » que constitue une surface rouge contient im « moment » de rouge, c’est-à-dire que le rouge individuel de cette surface est une partie dépendante du tout qu’est la surface rouge.

Ce rouge individuel est seulement « semblable » aux autres rouges que nous pouvons percevoir, il ne leur est pas identique. Il s’agit bien d’un rouge « individuel » qui est un exemplaire de r« espèce rouge » idéale. Cette relation de dépendance entre le rouge et sa surface n’est pas une contrainte psychologique au sens où nous ne pourrions pas penser une surface sans une couleur et inversement. Ils sont plutôt unis en vertu d’une loi a priori, synthétique et non analytique, au sens où l’existence d’une surface colorée n’est pas incluse « analytiquement» dans celle d’une couleur.

Comme nous l’avons indiqué, Husserl applique cette théorie des parties dépendantes et indé­

pendantes à la grammaire. Ainsi, une « signification indépendante», comme l’est, par exemple, une proposition complète, est un tout dont les parties sont reliées entre elles par des lois a priori qui régissent leurs dépendances significationnelles. Ce sont ces règles que doit, notamment, ex­

poser la grammaire pure logique. Husserl part de la différence traditionnelle entre « expressions catégorématiques » et « expressions syncatégorématiques », dont il reprend la définition à Anton Marty, un membre éminent de la tradition brentanienne qui s’est particulièrement attaché aux questions de philosophie du langage*’. Selon ce dernier, les tenues syncatégorématiques sont des « signes »

[...] qui n 'ont une signification complète que conjointement avec d'autres parties du dis­

cours, soit qu’ils aident à évoquer un concept, étant ainsi simple partie d’un nom, soit qu’ils contribuent à l’expression d’un jugement (un énoncé) ou à la manifestation d’un mouvement qjfectif ou volitif (à une formule pétitive, impérative, etc.)^^

Par exemple, la conjonction ou la disjonction sont des expressions qui ont une signification dépendante, elles ont besoin d’être « complétées » par des noms ou des phrases p>our produire un tout ayant une signification unitaire. A cette première catégorie, il faut opposer celle des termes catégorématiques qui ont un sens indépendant, comme, par exemple, les noms (Namen) et les énoncés (Aussage). On remarquera ici le parallélisme fiappant entre les notions de significations dépendantes et indépendantes chez Husserl et eelles d’expressions saturées et insaturées chez Frege^*.

Comme le note Gardies^^, « admettre l’existence de significations dépendantes, c’est en même temps refuser de coneevoir le discours comme une simple association combinatoire ».

^^Ibid., rv, Einleitung, p. 294, trad. cit., p. 85.

'*Sur cet exemple, cf. ibid., IV, § 11, p. 253, pp. 36-34 ; également ibid., I, §§ 31 et 34.

‘^Sur cet auteur, on pourra consulter le recueil édité par Kevin Mulugan : 1990, Mnd, Meaning and Metaphy- sics. The Philosophy and Theory of Language of Anton Marty, Kluwer, coU. Primary Sources in Phenomenology, Dordrecht ; ainsi que le chapitre que lui consacre Barry Smith, 1994, op. cit, pp. 83-124.

^®Cité dans LU, IV, § 4, p. 303, trad. cit., p. 95. Une traduction complète de l’article auquel fait référence Husserl est disponible depuis peu : Marty, A., 2007 (1893), « Sur le rapport entre grammaire et logique », trad. D. Seron in Fisette, D. et Fréchette, G. (éds.), 2007, op. cit, pp. 385-421.

^'Sur ce parallélisme et pour une explication des notions fiégéeimes au moyen des concepts développés par Husserl, cf. Simons, P., 1981, « Unsaturatedness », Grazerphilosophische Studien, 14, pp. 73-95.

Autrement dit, la dépendance de certaines significations n’est pas arbitraire, mais est partie d’une « loi d’essence » a priori inscrite dans la signification de l’expression elle-même. C’est elle qui régit le besoin de la signification « d’être complétée par de nouvelles significations, qui, par conséquent, indique les espèces et les formes de rapports dans lesquelles elle doit être insérée Cette légalité n’est pas de fait ou psychologique, mais est vme contrainte « objec­

tive idéale », « fondée dans la "nature", dans l’essence pme du domaine de la signification Husserl nous donne un exemple. Considérons l’expression ‘cet arbre est vert’. Elle possède clairement une « unité de signification ». Si nous passons maintenant à la « forme proposition­

nelle » de cette proposition au moyen de la formalisation, nous obtenons alors ‘ce S est p\

Celle-ci peut être matérialisée, c’est-à-dire que nous pouvons lui donner un contenu matériel pour obtenir une proposition particulière, d’une « infinité de manières » et totalement librement.

L’expression ‘cet arbre est vert’ n’est qu’une des particularisations qui a la même forme, par exemple, que les expressions « cet homme est grand » ou « cette idée est belle ». Chacune d’entre elles nous révèle une signification indépendante, qui se suffit à elle-même, et a été obtenue par substitution de certaines significations aux variables ‘5’ et 'p\ Ces variations de significations peuvent-elles être arbitraires ? Non, nous devons substituer à ‘5 ’ un nom et à ‘p’ im adjectif, sous peine d’obtenir un signe complexe agrammatical. Il y a certes une certaine liberté dans les substitutions que nous pouvons effectuer sur ‘5’ et mais celles-ci doivent être limitées aux catégories auxquelles appartiennent ces expressions :

[...] dès que nous ne respectons pas les catégories des matières de signification, l’unité de sens disparaît. Là où il y a une matière nominale, on peut mettre la matière nominale que l’on veut, mais non pas une matière adjective, ou relationnelle, ni une matière propo­

sitionnelle tout entière; mais là où il y a une matière de l’une de ces catégories, on peut toujours la remplacer par une nouvelle matière du même genre, c ’est-à-dire toujours par une matière de la même catégorie et non d’une autré^^.

Par exemple, ‘ce verdit est cheval’ n’est pas vme substitution correcte de ‘ce 5 est P\ car elle substitue au nom ‘5 ’ une expression verbale et à l’adjectif ‘/?’ une expression nominale, ce qui n’est pas le cas, par contre, de ‘ce cheval est fougueux’. Par conséquent, dans la forme ‘ce S est /?’, je peux me livrer à toutes les substitutions que je veux, pourvu que je respecte les contraintes catégoriales. Que cette substitution donne un résultat qui semble absiu-de, mais qui respecte la légalité catégoriale, comme, par exemple, ‘ce lit est fougueux’, n’est ici d’aucime importance, seule la « correction syntaxique » importe. Nous remarquons que, par là, Husserl se distingue de certains grammairiens pour qui ime telle phrase ne serait pas grammaticale en ce qu’elle amait substitué im nom inanimé à un nom animé.

Nous pourrions résumer les tâches caractéristiques de la grammaire pure de la manière sui­

vante : il &ut établir des classes d’expressions telles que deux expressions d’une même classe peuvent toujours être substituées l’vme à l’autre dans un même contexte sans en modifier la grammaticalité. De plus, ces classes d’expressions devraient être établies de telle sorte que deux expressions appartenant à des classes différentes ne puissent être substituées l’vme à l’autre tout en préservant la granunaticalité du contexte. Finalement, il &udrait établir les lois a priori qui régissent les combinaisons des expressions appartenant aux difierentes catégories.

Ce programme n’est, il faut bien le dire, qu’esquissé par Husserl. Mais ce n’est pas tant sa réalisation qui importe à notre autem que de pouvoir montrer sa possibilité. Il avua, en tout cas, mis en évidence l’importance de la notion de « catégories de signification », c’est-à-dire, au final, de classes d’expressions substituables qui préservent la grammaticalité de l’ensemble, même si elle ne sera pleinement exploitée que plus tard, sous le nom de « catégories séman­

tiques » {semantische Kategorien), au sein de l’École de Lvov-Varsovie.

^LU, IV, § 10, p. 317, trad. cit., p. 110.

^*Ibid., rV, § 10, p. 318, trad. cit, pp. 111-112.

^^Ibid., rV, § 10, p. 319, trad. cit, p. 113.

A.2 Les catégories sémantiques dans TÉcole de Lvov-Varsovie

A.2.1 L’approche lesniewskienne des catégories sémantiques

Dans ses Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik, Lesniewski nous dit que :

En 1922, j ’ai développé un concept de catégories sémantiques [semandsche Kategorien], qui est tout à fait intuitif pour moi, afin de remplacer la hiérarchie des types. Franchement, je me sentirais toujours obligé aujourd'hui d’accepter ce concept même s'il n 'y avait plus d’antinomie du tout. D’un point de vue formel, mon concept de catégories sémantiques est étroitement lié ata théories bien connues des types, particulièrement eu égard à leurs conséquences théoriques. Intuitivement, cependant, le concept est plus facilement lié au fil de la tradition qui court à travers les catégories d’Aristote, les parties du discours de la grammaire traditionnelle et les catégories de signification de Husserl [Bedeutungska- tegorien]. Ce concept est utilisé de manière tout à fait générale en mathématiques, parti­

culièrement en logique mathématique, et je n ’ai pas dû faire un quelconque sacrifice à la généralité de mes intuitions concernant les différents sujets théorique^^.

Comme nous le voyons, Lesniewski rattache son propre projet d’une théorie des « catégories sémantiques » aux « catégories de signification » de Husserl. Néanmoins, il s’en écarte sur deux points : d’une part, Lesniewski a pour but de répondre au problème, posé au début du XX®

siècle par Russell, des antinomies qui grevaient la logique, problématique totalement absente des recherches husserliennes, et, d’autre part, il envisage les catégories d’un point de vue forte­

ment intuitif, alors que l’accès même aux catégories de signification n’est pas toujours clair - et mériterait pour cette raison une étude à part entière.

Rappelons que c’est en 1902 que Russell, dans une lettre à Frege, avait soulevé l’antinomie de la classe des classes qui ne se contiennent pas elles-mêmes^’. Celle-ci inaugure la querelle des fondements en mathématiques et en logique, en ce qu’elle remettait en cause l’édifice même de reconstruction logiciste de l’ensemble des mathématiques sur une base logique simple et rigoureuse. C’est pour répondre à cette menace fondamentale que Rxissell développa, par la suite, plusieurs théories des types’*. En particulier, la plus simple, appliquée à la notion de classe, impose à une classe de ne contenir, à titre d’éléments, que des individus, à une classe de classes de ne contenir que des classes d’individus, etc. Autoriser, par exemple, ime classe à être élément d’une autre classe est alors interdit en ce qu’elle peut conduire à d’irrémédiables antinomies. Cette théorie se présente précisément comme un ensemble de règles grammaticales qui régissent la combinaison syntaxique des symboles logiques en vue de leur « signifiance ».

Lesniewski reprochait à cette théorie son caractère purement ad hoc. Si, comme le dit Tarski, l’unique doctorant de Lesniewski, la théorie des catégories sémantiques joue un rôle analogue, du point de vue formel, à celui de la théorie des types, cette dernière est, avant tout, un « moyen préventif, appelé à protéger les sciences déductives contre d’éventuelles antinomies ». Elle ne se veut aucimement intuitive, au contraire de la théorie lesniewskienne ;

[...] la théorie des catégories sémantiques s’enracine si profondément dans les intuitions fondamentales relatives au sens des expressions, qu ’il est impossible d’imaginer un langage scientifique dont les propositions posséderaient m sens intuitif distinct et dont la structure ne pourrait s'accorder avec cette théorie dans l'une de ses acceptations^'^.

^^LeSnœwski, s., 1992 (1929), art. cit., pp. 421-422.

^’Russell, b., 1902, « Letter to Frege », invan Heuenoort, J., 1967, From Frege to Gôdel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge (Mass.), pp. 124-125.

^*Sur les différentes théories des types proposées par Russell, cf. Vernant, D., 1993, op. cil., pp. 271-305.

^’Tarskt, a., 1972 (1933), « Le concept de vérité dans les langages formalisés », trad. G.-G. Granger in Tarskt, A., 1972, op. cit., pp. 215-216.

C’est que Lesniewski était un « intuJtionniste acharné - dans un sens qu’il est difficile de pré­

ciser ici - qui ne pouvait se satisfaire du point de vue « relativement pragmatique » qu’adoptait Russell à l’égard de sa théorie des types.

La grammaire des catégories sémantiques de Lesniewski est envisagée de manière hiérar­

chique : à partir d’un nombre fini de catégories de base - les propositions dans la Protothé- tique et les noms dans l’Ontologie, c’est-à-dire les deux systèmes « logiques » développés par Lesniewski - de nouvelles catégories fonctorielles de degré croissant sont dérivées, lesquelles peuvent être considérées comme des analogues des significations dépendantes de Husserl. Les catégories dérivées sont conçues comme des fonctions recevant des expressions de certaines catégories pour arguments et ayant pour valeur une expression d’une autre catégorie. Chaque catégorie est déterminée contextuellement, c’est-à-dire que la catégorie d’une expression est toujours identifiée par le contexte même dans lequel cette expression est insérée. C’est Ajdu- kiewicz qui donnera à cette théorie une notation, devenue canonique, sous forme de fiaction, laquelle rendra facilement utilisable la théorie lesniewskieime et permettra de l’étendre au-delà des langages uniquement formels.

A.2.2 La connexion syntaxique d’Ajdukiemcz

En 1935, Kazimierz Ajdukiewicz, im autre membre éminent de l’École de Lvov-Varsovie, publia un article intitulé « La coimexion syntaxique », dans lequel il élabora un système for­

malisé, basé sur les ébauches de Lesniewski, permettant de vérifier la correction syntaxique des expressions d’un langage^*, c’est-à-dire, en reprenant une terminologie husserlienne, les conditions sous lesquelles une expression a une signification unitaire, ou, pour le dire encore autrement, les conditions sous lesquelles ime expression est bien formée. Nous suivrons ici la présentation technique d’Ajdukiewicz, car ce dernier a doimé à la théorie des catégories séman­

tiques une présentation rigoureuse devenue aujourd’hui standard. En effet, l’un des apports de ce dernier est d’avoir doimée à la théorie des catégories sémantiques une forme calculatoire qui permet de vérifier la cormexion syntaxique de manière, pour ainsi dire, presque automatique.

Tout comme Lesniewski, Ajdukiewicz ancre sa théorie dans la recherche d’une solution aux antinomies :

Suite à la découverte des antinomies et de leur mode de résolution, les problèmes de syntaxe linguistique sont devenus les plus importants en logique (le terme de logique étant entendu en un sens large, incluant également les recherches métathéoriques). Parmi ces problèmes, celui de la connexion syntaxique est le plus significatif pour la logique. Il s'agit d’établir les conditions sous lesquelles une combinaison de mots simples, chacun possédant un sens, peut constituer une expression elle-même douée d'un sens unitaire, bien que composé des sens des mots qu 'elle contient. Une telle combinaison est dite syntaxiquement connecté^^.

Tandis que Lesniewski envisageait sa théorie des catégories sémantiques essentiellement dans le cadre de ses propres systèmes formels, à savoir la Protothétique, l’Ontologie et la Méréologie, Ajdukiewicz, quant à lui, cherche à développer une théorie « applicable dans son principe à toutes les langues ». L’ambition est donc ici beaucoup plus importante.

Tout comme Husserl, Ajdukiewicz conçoit les catégories sémantiques comme des classes d’expressions substituables salva signifiatione, c’est-à-dire le sens unitaire étant préservé. Il dorme une définition précise de l’appartenance de deux expressions à une même catégorie :

[...] le mot ou l'expression A, pris au sens x, et le mot ou l’expression B, pris au sens y, appartiennent à la même catégorie sémantique si et seulement s'il y a une proposition

^®Ga*D!ES, J.-L., 1975, Esquisse d'une grammaire pure, op. cit., p. 45.

^'Cf. Ajdukiewicz, K., 2007 (1935), « La connexion syntaxique», trad. K. Gan-Krzywoszynska, Philosophia Scientiœ, 11 (2), pp. 97-120.

^^Ibid., p. 98.

(respectivement fonction propositionnelle) S 4 dans laquelle A a le sens x et qui, par rem­

placement de A par B (avec le sens y) - remplacement conservant rigoureusement le sens des mots restants et la structure de 84- donne lieu à une expression S b qui est également une proposition (ou fonction propositionnelle)^^.

Nous obtenons ainsi une « hiérarchie » de catégories sémantiques, analogue à celle des types, mais plus ramifiée et constituant son pendant « grammatico-sémantique ».

Notre auteur distingue deux types de catégories. Nous avons, d’xme part, les catégories sé­

mantiques « de base », à savoir celles de noms (noms d’individus, noms généraux d’individus et noms généraux abstraits) - cette notion correspond aux catégoièmes de la grammaire pure logique husserlienne - et de propositions, et, d’autre part, les catégories sémantiques que nous pourrions dire dérivées, à savoir celle des foncteurs^. Ces deux types de catégories sont mu­

tuellement exclusifs. Notre auteur note une expression appartenant à la catégorie des noms au moyen du symbole ‘w’ (name) et une expression appartenant à la catégorie des propositions au moyen du symbole ‘ j’ (sentence). Les foncteurs sont eux s)m3bolisés au moyen d’une fiaction 7’ à droite de laquelle sont indiquées les catégories qui sont des arguments de ce foncteur et à gauche la catégorie obtenue par l’application de ce foncteur à ses arguments. Par exemple, si nous considérons le mot ‘homme’, il s’agit d’un prédicat monadique, c’est-à-dire vm foncteur à un seul argument nominal (individuel) qui lorsqu’il est appliqué à un nom d’individu dorme vme proposition, par exemple pour obtenir ‘Socrate est un homme’. Nous symboliserons donc ce type de foncteur de la manière suivante : ‘s/n’. Lorsque le dénominateur d’une catégorie séman­

tique dérivée contient plusieurs argirments, il est à remarquer que leur ordre est important. Par exemple, le conditionnel ‘d’est un foncteur propositiormel à deux arguments propositiormels.

C’est donc im foncteur de la catégorie ‘s/ss’. L’ordre des deux catégories ‘s’ au dénominateur n’estpas innocent, car‘/7 d ç’n’est pas équivalent àD Chaque catégorie sémantique re­

çoit im indice qui lui est propre. Mais nous constatons que la théorie des catégories sémantiques ne se limite pas à une simple énumération de catégories disjointes, à l’image de ce que l’on pouvait trouver dans la traditionnelle grammaire des parties du discours, mais met en évidence la fonctionnalité qu’entretiennent entre elles les différentes expressions d’un même contexte.

C’est précisément le rôle que joue la barre de fiaction dans les catégories sémantiques déri­

vées : mettre en évidence ime relation fonctionnelle, une relation de dépendance comme dirait Husserl, entre les expressions du dénominateur et celle du numérateur.

Nous constatons que la catégorie sémantique des foncteurs a deux caractéristiques : d’une part, le nombre et les catégories sémantiques de ses arguments et, d’autre part, la catégorie sémantique que nous obtenons par application d’un foncteur de cette catégorie. Nous avons, par exemple :

- des foncteurs propositiormels à un argument nominal, notés ‘5/»’ : un prédicat monadique tel que ‘(est un) homme’ dans ‘Socrate est un homme’ ;

- des foncteurs propositiormels à deux arguments nominaux, notés ‘s/n«’ : une relation dya- diques telle que ‘aime’ dans ‘Platon aime Socrate’ ;

- des foncteurs nominaux à deux arguments nominaux, notés ‘n/«n’ ; la conjonction ‘et’ dans

‘Socrate et Platon’ ;

- des foncteirrs propositiormels à un argument propositiormel, notés 'sis' : la négation dans ‘il est faux que Socrate soit mortel’ ;

^^Ibid.,p. 99.

^Sur la notion de foncteur, nous nous permettons de renvoyer à notre ouvrage : Peeters, M. et Richard, S., 2009, op. cit., pp. 36-37.

^^Cette différence ne se fait réellement sentir que lorsque l’un au moins des arguments de ce foncteur est com­

plexe. Par exemple, ^(pV q)o r’ est de la catégorie 's/(s/ss)s’ et non de la catégorie 's/s(s/ssy.

- des foncteurs propositionnels à deux arguments propositioimels ‘5/sj’ : la conjonction ‘et’

dans ‘Socrate est mortel et Socrate est le maître de Platon’ ; - etc.

Comment maintenant utiliser ces catégories pour vérifier la correction syntaxique d’une expression? Pour le savoir, considérons une proposition du calcul des propositions que nous savons bien formée : ‘(p V p) D p'^^. La première étape consiste à réécrire cette expression en inscrivant en dessous de chaque symbole, à l’exception des parenthèses, la catégorie à laquelle il appartient :

( P V P ) D P s s/ss s s/ss s

Nous réarrangeons ensuite les « indices » de catégories selon la notation polonaise préfixée en supprimant les parenthèses devenues inutiles^’ :

D y P P P

s/ss s/ss s s s

Nous parcourons alors l’expression de gauche à droite pour trouver les indices fractionnaires qui sont immédiatement suivis des mêmes indices que ceux qui figurent dans leur dénominateur.

Nous remplaçons cette suite de s)Tnboles par celui du numérateur. Ainsi, dans notre exemple, le deuxième indice fiiactionnaire ‘s/ss' est suivi de deux indices ‘s' qui correspondent à ses mguments. Nous remplaçons donc cette suite de trois indices par le numérateur de l’indice fiiactionnaire, à savoir ‘s’, pour obtenir une première « dérivation » ;

s/ss s s

Nous réappliquons la même procédure, ce qui nous donne la deuxième dérivation ; s

Cette dernière dérivation est appelée « exposant ». Celui-ci étant ime simple lettre (qui aurait pu être dans un autre exemple) nous avons établi la correction syntaxique de l’expression considérée.

Cette méthode de vérification syntaxique ne se limite pas aux seuls langages formalisés. Elle peut, en effet, être également appliquée aux expressions des langues naturelles, en ce qu’elle est capable de traiter de catégories sémantiques qui excèdent, semble-t-il, le cadre restreint des langages formalisés. Suivons ici l’exemple que donne Ajdukiewicz lui-même et montrons avec lui sa correction syntaxique. Soit la proposition finnçaise suivante :

Le lilas sent très fort et la rose fleurit.

Comme précédemment, notons en dessous de chaque constituant de cette proposition l’indice de sa catégorie sémantique^* :

^®Nous reprenons cet exemple et son explication à François Rivenc et Gabriel Sandu : 2009, Entre logique et langage, Vrin, coU. Mathesis, Paris, pp. 34-35.

^^L’idée est ici, d’abord, de repérer le foncteur principal, ‘3’, et de le faire suivre de ses arguments dans l’ordre :

^ pyP P

Ensuite, nous considérons chacun de ces arguments, et s’ils sont composés d’un foncteur principal, nous le pré­

fixons à ses arguments. Nous répétons cette opération jusqu’à ce que l’analyse ne puisse être poussée plus loin.

Dans notre exemple, il faut encore préfixer le foncteur du premier argument du foncteur principal :

^ y P P P

^^Nous suivons ici Gardies en ne considérant pas, contrairement à Ajdukiewicz, que les articles ‘le’ et ‘la’ sont des foncteurs nominaux à un argument nominal, ‘n/n’. En effet, ceci impliquerait que le nom ‘lilas’, à lui seul, c’est-à-dire sans article, peut constituer un véritable nom indépendant au sens de la catégorie ‘n’. Cette possibilité est par contre permise en anglais (cf. Gaiuues, J.-L., 1975, Esquisse d’une grammaire pure, op. cit., note 21, pp.

75-76.).

Le lilas sent très fort et la rose fleurit n sjn ((sln)/(sln))liisln)/(sln)) {sln)l{sln) siss n s/n

Quelques mots d’explication ne sont peut-être pas inutiles. Les expressions ‘le lilas’ et ‘la rose’

appartieiment tous deux à la catégorie sémantique des noms, comme l’on pouvait s’y attendre.

Les verbes ‘sent’ et ‘fleurit’ sont tous deux considérés comme des foncteurs propositionnels à un argument nommai, puisque lorsqu’ils sont appliqués à des expressions de la catégorie des noms, ici, respectivement, ‘le lilas’ et ‘la rose’, ils dorment des phrases, ici, respectivement, ‘le lilas sent’ et ‘la rose fleurit’. La conjonction ‘et’ est évidemment un foncteur propositiormel à deux arguments propositiormels, puisqu’appliquée aux deux propositions ‘le lilas sent très fort’ et ‘la rose fleurit’, elle nous donne la proposition complète considérée. Il s’agit donc du foncteur principal. L’adverbe ‘fort’ est un peu particulier : il s’agit d’un foncteur à argument fonctoriel. Qu’est-ce à dire ? Lorsque le foncteur ‘fort’ est appliqué à un argument qui est lui- même un foncteur, il nous dorme un autre foncteur. Par exemple, si nous ^pliquons ‘fort’ au verbe ‘sent’, c’est-à-dire à une expression de la catégorie ‘’s/n’, nous obtenons vme nouvelle expression de la même catégorie 's/n\ à savoir ‘sent fort’ qui doit recevoir pour argument un nom afin d’obtenir une proposition. Ce type de foncteur a donc pour argument une expression de la catégorie ‘s/n’, que nous noterons comme dénominateur de la fraction principale, et dorme, lorsque qu’il est appliqué à im argument de cette catégorie, vme expression de la catégorie ‘s/n’, que nous noterons au numérateur de la fraction principale. Il s’agit donc d’vme expression de la catégorie sémemtique ‘(s/n)/(s/n)’, où les parenthèses permettent de clairement distinguer le numérateur du dénominateur de la fraction principale. Finalement, l’adverbe ‘très’ donne un adverbe lorsqu’il est appliqué à un autre adverbe, ici ‘fort’ pour obtenir ‘très fort’. Il s’agit d’un foncteur de la catégorie X(s/n)/(s/n))j({s/n)/(s/n)y, puisque lorsqu’il est appliqué à un fonctem de la catégorie ‘(s/n)/(s/n)\ il nous donne un foncteur de la même catégorie.

Vérifions maintenant la correction syntaxique de la proposition :

et très fort sent le lilas fleurit la rose

s/ss ((s/n)/(s/n))l((s/n)/{s/n)) (s/«)/(s/«) s/n n s/n n s/SS (s/n)/(s/n) s/n n s/n n

s/ss s/n n s/n n

s/ss s s/n n

s/ss s s

s

Nous obtenons une catégorie de base (‘^’) à la fin du processus de vérification. La proposition est donc bien syntaxiquement correcte.

Ce dernier exemple met en évidence l’une des caractéristiques importantes de l’approche d’AJdukiewicz : le fait que l’établissement des liens de dépendance entre expressions repose, au final, sur la compétence du grammairien qui procède à l’analyse. La détermination des caté­

gories s’appuie sur l’intuition. Dès lors, rien n’empêche que plusieurs locuteurs, en fonction de leurs compétences linguistiques, en arrivent à catégoriser différemment les expressions d’une même phrase. Ainsi, l’unique exemple de proposition fiançaise analysé par Ajdukiewicz montre que « l’affectation catégorielle du mot très ne peut s’effectuer que si l’on perçoit, grâce à « l’évi-

dence apodictique » husserlienne [...], que très porte sur fort et non pas sur sent L’approche d’Ajdukiewicz reste encore tributaire d’une certaine intuition grammaticale, ce que reflète le mot même de catégories sémantiques, là où on attendrait plutôt des catégories uniquement syn­

taxiques.

A.2.3 L’opérateur d’abstraction */l’ et la question de la quantification

Il est d’usage d’écrire une fonction propositionnelle, c’est-à-dire un foncteur propositionnel à arguments nominaux, en incluant les variables, comme, par exemple, dans ‘x est un homme’.

Ceci a l’insigne avantage de permettre de distinguer une fonction propositionnelle monadique comme ‘x regarde x’ et vme fonction propositionnelle dyadique conune ‘x regarde y’. Utili­

sées de cette manière, les variables ne sont pas considérées comme étant des symboles de notre langage-objet. Néanmoins, en toute rigueur, et conune y ont insisté Frege et Russell, les va­

riables sont bien des symboles de notre langage-objet et ‘x est un honune’ n’est pas identique à ‘(est im) homme’. Nous considérons, alors, que les variables, ‘x’, ‘y’, ‘z’, etc., sont des ex­

pressions de la catégorie sémantique des noms, qui désignent des individus de manière ambiguë. La différence entre ‘x est un homme’ et ‘(est un) homme’ est, en fait, celle qui sé­

pare un fonction propositionnelle de la catégorie ‘5/n’ et une proposition de la catégorie ‘5’.

Conune le dit Frege, la variable « n’appartient pas à la désignation de la fonction [proposition­

nelle] » : une fonction propositioimelle est non saturée"*®, ‘x est un homme’ est, par conséquent, une proposition dont la valeur de vérité n’est simplement pas déterminée : ‘x est im homme’

est ime valem indéterminée de la fonction propositionnelle ‘(est un) homme’. Elle a une valeur de vérité relativement à une « assignation » d’une valeur à la variable ‘x’. Autrement dit, selon la terminologie frégéenne, elle aura pour référence le Vrai pour une assignation qui donne une valeur à ‘x’ qui est un homme et aura pour référence le Faux pour une assignation qui donne une valeur à ‘x’ qui n’est pas un homme.

Nous savons qu’il est possible de « lier » une variable au moyen d’un quantificateur de manière à obtenir une proposition. Par exemple, si nous appliquons le quantificateur universel

‘V’ à la fonction propositionnelle ‘(est un) homme’, nous obtenons la proposition : ( 1 ) (Vx)'”x est un homme"’,

qui signifie que ‘toute chose est un homme’. Nous pouvons légitimement nous demander de quelle catégorie sémantique est une expression telle que ‘V’ qui appartient au langage du calcul des prédicats. Or, de l’aveu même d’Ajdukiewicz, la réponse à cette question n’est pas simple :

L'analyse d’une expression contenant un opérateur, et ainsi par exemple d’une proposition générale comme "(Ilx)./x" [‘(Vx)'"F’(x)'”], en foncteurs et leurs arguments dont les caté­

gories sémantiques devraient correspondre les unes aux autres, semble se heurter à des difficultés insurmontables'^^.

La solution la plus immédiate à cette difficulté semble de dire que puisque ‘(Vx)’"F(x)"’’ est de la catégorie ‘5’ et ‘F(x)’ également de la catégorie ‘5’, alors c’est que ‘(Vx)’ est de la catégorie

‘5/5’, c’est-à-dire un foncteur propositionnel à un argument propositioimel. Cependant, une rapide analyse nous montre qu’un foncteur de cette catégorie n’est susceptible que de quatre interprétations, lesquelles peuvent être illustrées au moyen des tables de vérité :

a) ‘(Vx)'"F(x)''’ a la même valeur de vérité que ‘F(x)’.

b) ‘(Vx)'"F(x)‘’’ a la même valeur de vérité que ‘~ F{x)\

c) ‘(Vx)'"F(x)'’’ est toujours vrai, peu importe la valeur de vérité de ‘F(x)’.

^’Godart-Wendling, b., 2002, « Les trois premières grammaires catégorielles », Langages, 36 (148), p. 57.

^Frege, g., 1971 (1904), « Qu’est-ce qu’une fonction? », trad. CL Imbert in Frege, G., 1971, op. cit., p. 167.

Ajdukœwicz, K., 2007 (1935), art. cit., p. 110.

d) F(x)‘'’ est toujours faux, peu importe la valeur de vérité de 'F(x)\

n est clair qu’aucune de ces interprétations ne rend compte du fonctionnement sémantique de l’expression

Ce que veut ainsi montrer Ajdukiewicz, c’est que la simple caractérisation des quantifica­

teurs en termes de foncteurs ne peut qu’échouer : elle néglige la spécificité de ce type d’ex­

pressions qui est leur capacité à lier des variables'*^. De plus, contrairement aux foncteiuï, un quantificateur ne peut jamais être argument d’une expression fonctorielle**^. C’est pour ces deux raisons que notre auteur les qualifie d’« opérateurs ».

Néanmoins, si les quantificateurs se différencient des foncteurs par au moins deux aspects, ils ont aussi une propriété en commun avec eux, à savoir celle de former des touts complexes ayant un sens unitaire. La catégorisation de ce type d’expressions devra pouvoir rendre compte de ces deux caractéristiques. L’idée d’Ajduldewicz est de les traiter séparément. Considérons tout d’abord leur capacité de liaison et remarquons que ce n’est pas là une caractéristique des seuls quantificateurs : les signes de sommation ‘Z’ ou d’intégration

‘J’

thématiques ont également cette propriété. Ainsi, l’expression mathématique ‘Z^, jc^’ comporte des variables qui sont bien liées en ce que cette expression a une valeur constante. Pour rendre compte de cette fonction de liaison, Ajdukiewicz fait appel à l’opérateur d’« abstraction » ‘ " ’ qu’utilisaient Whitehead et Russell dans les Principia Mathematica^^. Celui-ci permettait, no­

tamment, à nos deux logiciens emglais de distinguer la valeur ambiguë ‘/x’ (ce que nous notons

‘F(x)’) de la fonction propositioimelle dont elle est une valeur, à savoir ‘/x’. Tandis que ‘/x’

est de la catégorie ‘5’, ‘/x’ est de la catégorie ‘s/«’. Ainsi, l’opérateur ‘ " ’ permet de faire abstraction de la variable ‘x’ présente dans l’expression ‘/x’ pour n’en retenir que la fonc­

tion propositionnelle ‘/x’ elle-même. De ce point de vue, ‘/x’ et ‘/j>’ représentent la même fonction propositionnelle, alors que ‘/x’ et ‘/y’ n’ont pas le même sens. Plutôt que d’utiliser l’opérateur d’abstraction de Russell et Whitehead, qu’on ne trouve plus guère dans la littérature contemporaine, utilisons l’opérateur ‘À’ d’abstraction introduit par Church à partir de 1932^.

En transformant quelque peu la définition d’Ajdukiewicz, nous pouvons définir cet opérateur de la manière suivante'*’ :

Un opérateur ‘(/îx)’ faisant référence à la variable ‘x’ dans l’expression ‘A’ est un opé­

rateur d’abstraction si, joint à cette expression, il forme un foncteur, et si ce foncteur, avec la variable ‘x’ comme argument, forme une expression équivalente à ^A\

Prenons un exemple. Soit l’expression ‘F(x)’ (correspondant à M’ dans notre définition), qui signifie, par exemple, ‘x est xm homme’. Il s’agit d’une expression de la catégorie ‘s\ Nous lui appliquons l’opérateur ‘(/Ix)’, qui fait référence à la variable ‘x’ dans ‘E'(x)’, pour obtenir l’ex­

pression ‘(/lx)F(x)’ qui pourra être lue de la manière suivante : ‘être un x tel que F(x)’. Celle-ci est un foncteur de la catégorie ‘s/n’, puisque lorsque nous lui donnons comme argument la variable ‘x’, qui est de catégorie nous obtenons une expression équivalente à ‘F(x)’, qui est de catégorie ‘s’. Autrement dit, nous avons :

((Ax)F(x))(x) = F(x),

où ‘((/lx)F(x))(x)’ est le résultat de l’application du foncteur ‘(/Ix)F(x)’ à la variable ‘x’. En résumé, l’opérateur \Àx) nous permet d’obtenir le foncteur ‘(/lx)F(x)’ à partir de l’expression

^^Cf. Ajdukiewicz, K., 2007 (1935), art. cit, pp. 111-112.

JoRAY, P. et Godart-Wendung, B-, 2002, « De la théorie des catégories sémantiques de Lesniewski à l’analyse de la quantification dans la syntaxe d’Ajdukiewicz», Langages, 148, pp. 40-41.

^Cf. Ajdukiewicz, K., 2007 (1935), art. cit., p. 112.

'*^Cf. Whitehead, A. N. et Russell, B., 1910, op. cit, pp. 14-15, trad. cit., pp. 239-240.

^Cf. Church, A., 1932, « A Set of Postulâtes for the Foundation of Logic », Annals of Mathematics. Second Sériés, 33 (2), pp. 346-366.

^^Cf. Ajdukiewicz, K., 2007 (1935), art. cit., p. 118.

‘F{xY par liaison de sa variable. Ce foncteur peut être interprété comme signifiant ‘être un x tel que x est im homme’ et comme désignant la propriété F, à savoir, dans notre exemple, la propriété d’être un homme.

Pour comprendre l’intérêt de toute cette procédure, il nous faut d’abord saisir le rôle fonc- toriel qu’attribue Ajdukiewicz aux quantificateurs. D’une certaine manière, il revient à l’inter­

prétation originale qu’avait donnée Frege de ces derniers. En effet, pour le logicien d’Iena, un quantificateur est une fonction de deuxième ordre, c’est-à-dire une fonction de fonction, xme propriété de concept. Par exemple, dans l’expression ‘(Vx)''F(jc)‘'’, la quantification est une fonction qui a pour argument non pas ce que désigne l’expression ‘F(x)’, qui est de le catégorie

‘j’, mais la fonction ‘F’ elle-même, qui est de la catégorie ‘s/n’. Le quantificateur universel nous dit quelque chose de la fonction ‘F’ elle-même, à savoir qu’elle est satisfaite par toutes les valems que nous pouvons assigner à la variable ‘x’.

li en est de même du quantificateur existentiel : l’existence n’est pas une propriété des choses, mais une propriété de concepts - position souvent rapprochée de l’affirmation de Kant, dans sa réfutation de la preuve ontologique de l’existence de Dieu, selon laquelle « être n’est manifestement pas un prédicat réel, c’est-à-dire im concept de quelque chose qui puisse s’ajou­

ter au concept d’une chose »■**. Ce rapprochement est légitime pour peu qu’on comprenne bien les termes dans lesquels Frege formule sa conception de l’existence. Le logicien d’Iena dis­

tingue ce qu’il appelle les « propriétés » (Eigenschaften) d’un concept de ses « caractères », ou « marques » distinctives {Merkmaléf^. Les caractères d’un concept sont ce qui le compose et sont des propriétés des choses qui satisfont ce concept (« qui tombent sous ce concept »).

Par exemple, ‘rectangle’ est un caractère du concèpt ‘triangle rectangle’ : c’est ime propriété de tous les triangles rectangles, mais ce n’est pas une propriété du concept ‘triangle rectan­

gle’. Cela ne veut néanmoins pas dire que les concepts ne peuvent avoir de propriétés. Par exemple, ‘ne pas être vide’ est une propriété du concept ‘triangle rectangle’, puisqu’il y a ef­

fectivement des triangles rectangles. Or, pour Frege, cette propriété de concept est précisément l’existence : dire ‘il existe des hommes’, ce n’est pas dire des hommes individuels qu’ils ont la propriété d’exister, que l’existence est un caractère du concept ‘homme’, mais c’est dire de ce concept qu’il n’est pas vide. L’existence est donc, comme la quantification universelle, un concept de deuxième ordre. Une conséquence directe de cette conception de l’existence est que la preuve ontologique manque son but, puisque l’existence n’est pas un caractère du concept

‘Dieu’, Frege retrouvant ici, dans sa terminologie, les intuitions de Kant. Poiu: pouvoir soute­

nir que ‘Dieu existe’, nous devons montrer que le concept ‘Dieu’ n’est pas vide, qu’il y a un individu qui satisfait ce concept.

Corrélative de la distinction entre caractères et propriétés d’un concept, nous avons celle entre « subordination» (JJnterordnung) de concepts du même ordre, la « soumission » de con­

cepts d’ordres différents et la « subsomption » (unterfalleri) d’un objet sous un concept. Tout d’abord, un objet qui satisfait un concept, qui « tombe sous » {fallt unter) lui, est subsumé par ce concept : les hommes individuels sont subsumés par le concept ‘homme’ en ce sens. Ensuite, un concept peut être subordoimé à im autre concept plus général du même ordre ; le concept

‘triangle rectangle’ est subordonné au concept ‘triangle’, au sens où tout triangle rectangle est un triangle, ‘être un triangle’ est un caractère du concept subordoimé ‘être vm triangle rectangle’.

Finalement, im concept peut être soumis à un concept d’ordre supérieur : le concept ‘homme’

est soumis au concept ‘existence’, en ce que l’existence est une propriété du concept ‘homme’, que le concept ‘homme’ « tombe dans » (Jallt in) le concept ‘existence’. S’il convient, selon Frege, de clairement distinguer la subsomption de la subordination qui ne sont pas des notions du même ordre, la subsomption et la soumission, elles, sont « semblables ».

Nous pouvons maintenant comprendre plus précisément le double rôle d’un quantificateur

"^KRY, A 598/B 626, trad ciL, p. 1214.

“’Cf. Frege, G., 1961 (1884), op. cit., § 53, p. 64, trad. cit., § 53, p. 181.

selon Ajdukiewicz. D’une part, il « abstrait » à partir d’une expression propositionnelle 'F(xY la fonction propositionnelle ‘F’ elle-même, et, d’autre part, il s’« applique » à cette fonction^.

L’opérateur ‘(^)’ permet de séparer ces deux rôles. Ainsi, plutôt que d’appliquer un quantifica­

teur à la valeur indéterminée ‘F(x)’ de la fonction ‘F’ pour obtenir, par exemple, la proposition

‘(Vx)'”F(x)‘'’, l’opérateur d’abstraction lie la variable ‘x’ en abstrayant « la partie proprement fonctionnelle» de ‘F(x)’, c’est-à-dire ‘(/lx)F(x)’. Ayant ainsi, en quelque sorte, délégué la fonc­

tion de liaison au foncteur \Àx)F(x)\ le quantificateur peut maintenant être appréhendé dans son aspect purement fonctoriel, en l’occurrence comme un fonctem de la catégorie ‘s/(s/ny.

L’application d’un foncteur de généralité ‘II’, qui exprime l’aspect purement fonctoriel de ‘V’, au foncteur ‘(Ax)F(xy permet, alors, d’obtenir une expression équivalente à l’expression quan­

tifiée habituelle^’ :

(2) n((^)F(x)) = (Vx)'-F(x)-',

où ‘II’ est le foncteur de généralité, de la catégorie s/(slny, qui exprime la propriété de propriété d’être satisfait par tous les objets. Par conséquent, (2) nous dit que ‘la propriété d’être un homme a la propriété (du second ordre) d’être satisfaite par tout objet’ est équivalent à ‘tout objet est un homme’. Nous retrouvons bien, par l’intermédiaire de l’opérateur d’abstraction, l’interprétation frégéenne de la quantification.

^®JoRAY, P. et Godakt-Wendung, b., 2002, art. cit., p. 46.

Annexe B

nterprétation combinatoire de la conjonction protothétique

La sémantique formelle que nous avons développée pour l’Ontologie dans le chapitre 5 per­

met d’interpréter les quantificateurs des systèmes formels lesniewskiens, comme nous l’avons rapidement montré sur le cas de la quantification nominale. Nous voulons faire voir ici que cette interprétation fonctionne aussi pour la quantification d’une variable de la catégorie S/S. Pour ce faire, considérons la définition de la conjonction propositionnelle dans la Protothétique :

(DProto3) (Upgr(pAq) = (nf)^p^(fip) = fiq)r-'.

Cette définition, proposée par Tarski, n’est pas forcément évidente à saisir, notamment parce qu’elle fait intervenir une quantification sur la variable ‘Z’ qui est de la catégorie S/S. Montrons simplement que la table sémantique de A est bien équivalente à celle de ‘(Ilfyp = (f(p) h

Rappelons tout d’abord celle de la conjonction : P <1 pAq

V V V

V F F

F V F

F F F

qui nous donne la signification de ‘A’ lorsque nous faisons varier les différentes significations possibles des variables ‘p’ et

La variable fonctorielle ‘Z’ est de la catégorie S !S. Elle possède donc 2^ significations possibles que nous pouvons représenter au moyen d’un formalisme ensembliste inadéquat, mais qui a l’avantage d’être clair :

Ur-> V,F^ V),{V^ V,F F\,{V ^ F,F V],[V ^ F,F F]).

Par exemple, la première signification ‘{F V,F F}’ est celle qui a pour valeur le Vrai lorsqu’elle a le Vrai pour argument et le Vrai lorsqu’elle a le Faux pour argument. Évaluons maintenant la proposition quantifiée ‘(Uf)''p = (f(p) = f(q))~"- Sa signification varie pour chaque combinaison des significations de ‘/»’ et de ‘q\ Nous allons donc représenter ces varia­

tions. Considérons premièrement la combinaison ‘(p K, q -» FJ’ :

P q f m f(q) f(p)^f(q) p^(fip)^fiq))

V V V-> V,F->V V V V V

V V V-^ V,F->F V V V V

V V F->FF->V F F V V

V V V->F,F->F F F V V