Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie :

Remise à Niveau Mathématiques

Troisième partie : Trigonométrie

Exercices

1 Trigonométrie

1.1 Définitions premières

1.1.1 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles suivants :

; ; ; ;

π π π π − π

2 5 7 29 27

3 8 6 3 4

1.1.2 Donner les mesures principales de : 29π

3 ; − π27 4

1.1.3 Donner la valeur exacte du cosinus et du sinus de : 2nπ ; (2n+1)π ; π

4 + nπ, n ∈ ℤ

1.1.4 Déterminer les cosinus et sinus des arcs ci-dessous en les ramenant à des valeurs plus faibles : π

11

6 ; 19π

3 ; −21π 4 ; 31π

6 (mesure principale ou dans ]–π ; π], puis transformation, si besoin).

1.1.5 On donne tan(x) = 3, calculer :

( ) ( )

( ) ( )

sin cos

sin cos

x x

x x

− +

2 5

3 .

1.1.6 Exprimer la relation suivante en fonction de tan(x) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sin sin cos cos

sin sin cos cos

x x x x

x x x x

+ −

− +

2 2

2 2

2 3

2 .

1.1.7 Montrer que l'expression sin⁶(x) + cos⁶(x) + 3sin²(x)cos²(x) a une valeur indépendante de x en calculant cette valeur.

1.2 Quelques formules de trigonométrie

1.2.1 Vérifier que les points A(0,6 ;–0,8) et B(5/13 ; 12/13) appartiennent au cercle trigonométrique.

1.2.2 Sachant que 0< <t π

2 et sint=1

4 ; calculer cost. 1.2.3 Sachant que π < < πt

2 et cost= −1

5 ; calculer sint. 1.2.4 On donne sin π = 6− 2

12 4 ; calculer cos π 12

1.2.5 Montrer que quel que soit le réel a, cos⁴(a) – sin⁴(a) = cos²(a) – sin²(a).

1.2.6 Donner la valeur exacte de cos π

 

 

3

4 et sin π

 

 

5 6 .

1.2.7 Exprimer en fonction de sin(t) et cos(t) : cos(– π– t) ; sin(–π– t) ; sin(3π+ t) ; cos(4π+ t) ; sin(4π– t) ; cos(5π+ t) ; sin(5π + t) ; cosπ t

 + 

2  ; sin π t

 − 

 

3

2 .

1.2.8 Calculer cosπ π

 + 

4 6 et sinπ π

 + 

4 6. 1.2.9 Calculer tan π 

− 

 12 en utilisant l’égalité π π− = − π

6 4 12.

1.2.10 En remarquant que 2π π− =5π

3 4 12, calculer cos π

 

 

5

12 et sin π

 

 

5 12 1.2.11 Démontrer que cos(3a) = 4 cos³(a) – 3 cos(a).

Montrer que 4 =8 ⁴ −8 ² +1

1.2.14 a. Mettre sous forme de produit y= −1 cos2x+sin3x−sinx b. Simplifier sin sin sin

cos cos cos

x x x

y x x x

+ +

= + +

3 5

3 5 .

1.2.15 Simplifier en utilisant les formules de trigonométrie : ^{sin cos}

( )

cos ; tan

a a

A B

a a

= =

− −

2

2

2

1 1

1.2.16 En utilisant la valeur de cos(π/3), déterminer cos(π/6).

1.2.17 En utilisant la valeur de tan(π/3), déterminer sin(2π/3) et cos(2π/3).

1.2.18 a. Transformer cos π cos π

 +  

 3  4 puis sin π sin π

 +  

 3  4 . b. En déduire une écriture exacte de cos π 

 

24.

1.3 Equations trigonométriques

1.3.1 Résoudre : cos x π + = −

 

 

2 2

4 2

1.3.2 Résoudre : sin x π

− + =

 

 

2 2 3

3 1.3.3 Résoudre : sin(2x)=sinx

1.3.4 Résoudre : sin x π sinx π

− = +

   

5   

6 6

1.3.5 Résoudre : cos x π sinx

− + =

 

3  0

4

1.3.6 Résoudre : 7cos²x+6 3sin cosx x+sin²x+ =2 0 1.3.7 Résoudre : cos2x+11sinx+ =5 0

2 Applications à la géométrie du triangle

2.1 Triangle et cercle

2.1.1 Démontrer la propriété de l’angle au centre.

2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle rectangle

2.2.1 Queue d’aronde symétrique

Une pièce a été fabriquée, dans laquelle on veut vérifier l’ouverture d’angle de 55°. On place pour cela deux piges (billes) et on mesure la longueur « x ». Quelle longueur doit-on trouver si l’angle mesure exactement 55° ?

2.2.2 Deux troncs d’arbres de même rayon, R, sont posés sur une plate- forme. On veut placer un troisième tronc, de plus grand rayon possible, r, entre les deux (voir figure). Montrer que r est forcément égal au quart de R.

2.2.3 Lorsqu’on déverse sur le sol un sable sec, le tas prend la forme

d’un cône de base circulaire, de demi-angle au sommet 41°. Si on déverse 5 m³ de ce sable, quels seront le diamètre et la hauteur du tas formé ?

2.2.4 Une plaque P doit être découpée suivant un cercle C pour permettre à une bille de diamètre 34 mm, une fois posée, de dépasser d’exactement 8 mm.

a. Quel doit être le diamètre du cercle C ?

b. On choisit un point A sur la surface de la bille et on conçoit le plan vertical (orthogonal à P) contenant ce point et le centre du cercle C. Dans ce plan, sous quel angle le point A « voit-il » le diamètre [BC] du cercle C ?

2.3 Compléments de géométrie

2.3.1 Le carré ci-contre a une aire de 900 cm². Quelle est la longueur du trait rouge (épais) ?

2.3.2 Surface du Pentagone

Le Pentagone est le plus grand bâtiment administratif au monde, si l’on considère la surface occupée. La base du bâtiment a la forme d’un pentagone régulier, dont chaque côté mesure 276 m. Déterminer l’aire de la base du bâtiment.

2.3.3 Calcul de volumes :

A. Calculer le volume de ce solide troué : Diamètre du cylindre : D = 32 mm

B. Calculer le volume de ce bloc de béton troué. La face avant est un carré de côté 12 m.

D. Calculer le volume de ce tunnel, avec : a = 4 m ; b = 5 m ; c = 12 km

E. Calculer le volume de ce solide, avec : a = 6 dm ; b = 5 dm ; c = 5 dm

2.4 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle quelconque

2.4.1 Un bassin de rétention d’eau est circulaire, de rayon 10 mètres. On doit y poser trois poutrelles métalliques de même longueur, en triangle équilatéral, les extrémités des poutrelles se joignant sur le bord du bassin. Quelle doit être la longueur des poutrelles ? (répondre sans utiliser de triangle rectangle).

2.4.2 On veut calculer la largeur CH d'un fleuve en restant sur la rive. On considère les 3 points A, B, C. On donne AB = 120m, α = 55°, β =45°. (croquis ci-contre)

2.4.3 On souhaite établir la relation d’Al-Kashi sur un triangle quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre.

a. Exprimer CC’ en fonction de AC et de Â.

b. Exprimer BC’ en fonction de AB, de AC et de Â.

c. En déduire, à l’aide de la relation de Pythagore sur le triangle BCC’, une expression de BC² en fonction d’éléments du triangle ABC uniquement.

2.4.4 Un géomètre mesure la distance de sa station à deux points A et B situés à la même altitude que

2.4.5 On souhaite établir la relation des sinus dans un triangle quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre, qui montre le cercle circonscrit au triangle ABC (l’unique cercle contenant A, B et C) et D, un quatrième point du cercle, diamétralement opposé à C.

a. Grâce à la propriété de l’angle inscrit et à une relation

trigonométrique dans le triangle BCD, établir que a/sin(α^{) = 2R.}

b. Montrer que cette égalité peut se généraliser aux rapports côté/sinus(angle opposé) pour B et C.

2.4.6 Soit un triangle de côtés 10m, 20m, 24m. Calculer son aire par la formule de Héron, puis par la formule

« classique ».

2.4.7 Pour mesurer la hauteur d’une montagne, le géomètre se place en deux points A et B situés à la même altitude (ici, 464 m) et mesure à chaque fois l’angle entre l’horizontale et la visée

du sommet (ici, 23° et 38°). Quelle est l’altitude du sommet de cette montagne ? 2.4.8 Vous devez mesurer la distance AB, mais un précipice

infranchissable ne vous autorise pas à le faire directement.

Vous décidez alors de prendre un troisième point de station, C, situé à exactement 50 m de A et vous mesurez les angles entre les visées AB et AC puis entre les visées CB et CA. Quelle est la distance AB ?

2.4.9 S est l’un des sommets d’un cube. On a découpé un coin de cube tel que SA = 3 cm, SB = 2 cm et SC = 1 cm. ([SA], [SB] et [SC] sont des parties des trois arêtes du cube issues de S).

a. Quelle est l’aire du triangle ABC ?

b. Quelle est la distance entre S et le plan (ABC) ?

3 Fonctions trigonométriques

3.1 Généralités sur les fonctions sin , cos , tan

3.1.1 L'intensité I (en Ampère) d'un courant domestique s'exprime en fonction du temps t (en secondes) par : ^{I t}

( )

(

)

a. Entre quelles valeurs varie I ?

b. Montrer que la fonction I est périodique et déterminer sa période.

3.1.2 La température T (en °C) à Vancouver varie approximativement selon la formule :

( )

, sin

T π t 

=14 8  −3 +10

6 où t est exprimé en mois. Le 1er janvier correspond à t = 0.

a. Quelle est, environ, la température le 1er février ? Le 1er novembre ?

b. Quelles sont les températures extrêmes ? A quelles dates correspondent-elles ? c. Avec quelle périodicité retrouve-t-on des températures analogues ?

3.1.3 Le Japon connaît des raz de marée provoqués par des tremblements de terre sous-marins (tsunamis). On modélise alors parfois la hauteur h de l'eau en un point donné en fonction du temps t par une équation de la forme h(t) = acos(bt), avec h(t) en mètres, t en secondes.

Calculer les nombres a et b dans le cas d'un tsunami où les vagues mesurent 10 m de haut et présentent une périodicité de 20 minutes.

3.1.4 La courbe ci-contre met en évidence le caractère semi-diurne des marées en un point donné de la côte atlantique, au cours d'une période donnée de l'année. h est la hauteur de l'eau au-dessus du point choisi et t l'heure de la journée. On suppose que h s'exprime en fonction de t par :

h(t) = A sin (B t + C) + D.

Calculer les réels A, B, C et D à l'aide du graphique.

3.1.5 Donner les domaines de définition des expressions suivantes : a. y= tan²x−1 ; b. y= sin³x

3.2 Fonctions réciproques

3.2.1 Montrer que : a. ^{tan arcsin}

(

)

x

= 1− ²

; b. ^{sin arccos}

(

)

3.2.2 Donner le domaine de définition des expressions suivantes : a. y = arccos(x²) ; b. ^1−arctan

( )

h(t), mètres

t, heures