LICENCEMATH ´EMATIQUES 2 `EME ANNEE´ IS4 – 2005 – 2006
SESSION 6
R
EPRESENTATIONS DE COURBES ET DE SURFACES´
1. DANS LE PLAN:ARCS PARAMETR´ ES´ . 1.1. EN COORDONNEES CART´ ESIENNES´ .
Un graphey= f(x)est repr´esent´e par l’arc param´etr´ex=t,y= f(t). Par exemple,
> f:=t->7*sin(t)+sin(7*t): plot([t,f(t),t=-1..10]);
Remarque : la syntaxeplot([t,f(t),t=-1..10])est diff´erent deplot([t,f(t)],t=-1..10)! La premi`ere commande repr´esente un arc param´etr´e et la seconde, les deux courbesy=xety= f(x). On peut repr´esenter des arcs param´etr´es par :
> plot([2*sin(t),cos(t),t=0..2*Pi],abs=-2..2,ord=-2..2);
On peut aussi repr´esenter plusieurs courbes simultan´ement. Par exemple, voici le trac´e de la cyclo¨ıde (trajectoire d’un point situ´e sur le bord d’une roue dont le centre d´ecrit une trajectoire rectiligne), de la route, et de la roue en quatre positions (t=0,t=π,t=5π
2 ,t=13) :
> plot([[t+cos(t),2-sin(t),t=0..15],[t,1,t=-1..15],[cos(u),2+sin(u), u=-Pi..Pi],[Pi+cos(u),2+sin(u),u=-Pi..Pi],[5*Pi/2+cos(u),2+sin(u),
u=-Pi..Pi],[13+cos(u),2+sin(u),u=-Pi..Pi]],axes=NONE,view=[-1..15,0..3], scaling=constrained,color=[red,black,blue,blue,blue,blue]);
EXERCICE 1.
(1) En utilisant sa forme param´etr´ee, tracer la droite passant par(2,0)de vecteur directeur(1,1).
(2) Tracer la courbe param´etr´ee d´efinie par(sin(t),cos(t))pourt∈[0,2π].
(3) Tracer la courbe param´etr´ee d´efinie par(f(t),g(t))pourt∈[−π,π]o`u f(t) = (sin(t)−cos(t))3−sin(t) +cos(t) etg(t) =cos(t)2−sin(t)2.
(4) Repr´esenter quelques figures de Lissajousx=cos(nt),y=cos(m(t−t0))en faisant varierm,nett0, par exemple (n,m,t0)valant(3,2,1),(4,3,0),(4,3,1/2),(√
2,3,0).
(5) Repr´esenter sur un mˆeme graphique les courbes (´ecriture complexe :x=ℜ(z(t))ety=ℑ(z(t))) : une trocho¨ıde z(t) =eit(1+aei5t), le cerclez(t) =eit et le cerclez(t) =1+aeit, aveca=1
6, 1 3, 1
9,−1 6,−1
3,−1 9. 1.2. EN COORDONNEES POLAIRES´ .
Pour repr´esenter une courbe en coordonn´ees polaires (r= f(θ),r peut ˆetre n´egatif), par exempler=3+2 cos(θ2 ), on peut faire :
> plot(2/(3+2*cos(t)),t=0..2*Pi,coords=polar,scaling=constrained);
EXERCICE 2.
(1) Repr´esenter le cercle centr´e en 0 de rayon 2 en coordonn´ees polaires.
(2) Repr´esenter simultan´ement la famille de courbes r=a
4+sin(θ) poura∈ {0,· · ·,6} avec les couleurs black, navy, blue, green, yellow, coral, red (a=0 donne un cercle,a=4 donne une cardio¨ıde).
1
2
2. GRAPHES DE FONCTIONS IMPLICITES
2.1. DANS LE PLAN.
Une courbe d´efinie par une fonction implicite peut ˆetre repr´esent´e avecMaple. Par exemple 3x2+2y2−3 :
> plots[implicitplot](3*xˆ2+2*yˆ2-3,x=-2..2,y=-2..2,numpoints=5000);
(dans le cas o`u le trac´e semble impr´ecis, utiliser l’optionnumpointset la fixer `a un nombreraisonnable).
EXERCICE 3.Repr´esenter la conique x2 25+y2
9 =1 et la courbex3+xy+y3=0.
2.2. DANS L’ESPACE.
On peut ´egalement repr´esenter une surface d´efinie par une ´equation implicite :
> plots[implicitplot3d](3*x+2*xˆ2*yˆ2-3*yˆ3+zˆ2+1,x=-5..5,y=-2..2,z=-2..2, numpoints=2000,style=patchnogrid,axes=boxed);
EXERCICE 4.
(1) Repr´esenter la surfacez2=x2+y2dans un rep`ere orthonorm´e.
(2) Repr´esenter les surfacesz2=x2+y2+λ2etz2=x2+y2−λ2pourλ=1, puisλ =13. 3. DANS L’ESPACE:QUELQUES EXEMPLES DE SURFACES
3.1. EN COORDONNEES CART´ ESIENNES´ .
Le parabolo¨ıde hyperboliquex2−y2−5z=0 :
> plot3d((xˆ2-yˆ2)/5, x=-5..5, y=-5..5, axes=framed, view=-6..5, scaling=constrained);
L’hyperbolo¨ıde `a deux nappesx2+y2−z2=−1 :
> plot3d({sqrt(xˆ2+yˆ2+1),-sqrt(xˆ2+yˆ2+1)}, x=-2..2, y=-2..2, axes=framed, scaling=constrained);
Repr´esentation d’une nappe param´etr´ee en coordonn´ees cart´esiennes : le tore x= (2+cos(u))cos(v),y= (2+ cos(u))sin(v),z=sin(u):
> plot3d([(2+cos(u))*cos(v), (2+cos(u))*sin(v),sin(u)], u=0..2*Pi, v=0..2*Pi, axes=none,scaling=constrained);
EXERCICE 5.Tracer les graphes dez=2x−2y−1,z=x2+y2,z= 1
x2+y2 etz=x2−3y2dans un rep`ere orthonorm´e.
3.2. AUTRES COORDONNEES´ .
• Coordonn´ees cylindriques : l’hyperbolo¨ıde `a une napper=√ z2+1
> plot3d(sqrt(zˆ2+1), t=0..2*Pi, z=-2..2, coords=cylindrical, scaling=constrained);
• Coordonn´ees sph´eriquesr= (4/3)θsin(ϕ)
> plot3d((4/3)ˆtheta*sin(phi), theta=-1..2*Pi, phi=0..2*Pi, coords=spherical);
EXERCICE 6.
(1) Repr´esenter le ruban de Mœbiusr(θ,v) =2−vsin
π
4+θ 2
,z(θ,v) =vcos
θ
2
en coordonn´ees cylindriques (attention : repr´esentation param´etrique !).
(2) Repr´esenter la sph`ere de rayon 1 centr´ee `a l’origine en coordonn´ees sph´eriques.
4. ANIMATIONS
La commande animatede la biblioth`equeplotspermet d’animer une suite de graphes en 2 ou 3 dimensions.
Par exemple, essayez> plots[animate](sin(x*t),x =-10..10, t=1..2);
(COMMENCER UNE AUTRE FEUILLE DE CALCUL)
3
I
NTEGRATION´
5. INTEGRALES ET PRIMITIVES´
La fonction `a int´egrer (diteint´egrande) peut ˆetre ´ecrite aussi bien sous la forme d’une expression d´ependant d’une variablexque sous la forme d’une fonction d’une variable. Il est n´ecessaire de sp´ecifier quelle est la variable par rapport
`a laquelle on veut int´egrer. La commande `a utiliser estintou bien la forme inerteInt. Le calcul d’une int´egrale tap´ee sous forme inerte s’effectue alors en utilisant la commandevalue. Par exemple :
> p:=(sin(x)+cos(x))*exp(x); Int(p,x)=int(p,x);
> Int(1/x,x); value(%);
Noter queMaplene sp´ecifie pas de constante d’int´egration. On peut la rajouter :
> a:=Int(xˆ2*sin(x),x): a=value(a)+C;
L’op´erateurintretourne une expression. On peut obtenir une fonction via la commandeunapply:
> q:=x->sin(x)*exp(x); int(q(x),x); f:=unapply(%,x); diff(f(x),x);
Naturellement, il existe des fonctions dontMaplene sait retourner aucune primitive explicite. Par exemple :
> int(exp(-xˆ2)*ln(x),x);
On peut calculer effectivement une int´egrale sur un intervalle born´e ou non sur lequel l’int´egrande est d´efinie et continue en rajoutant ses points extr´emaux en option.
> Int(p,x=0..3)=int(p,x=0..3);
> int(1/x,x=1..2); int(1/x,x=1..infinity); int(1/(xˆ2),x=1..infinity);
EXERCICE 7.
(1) Calculer la primitive s’annulant en 0 de la fonction f:x7→ sin(x) 1+cos(x)3. (2) Calculer la valeur de l’int´egrale de Gauss
Z +∞
−∞
e−x2dxet de l’int´egrale semi-convergente Z +∞
0
sin(x) x dx.
La commande intpartsde la biblioth`equestudentpermet l’int´egration par parties. La fonction que l’on sp´ecifie est celle que l’on va d´eriver. L’int´egrale est invoqu´ee sous la forme inerteIntqui sera ´evalu´ee dans un deuxi`eme temps `a l’aide de la fonctionvalue.
> with(student): intparts(Int(x*ln(x),x),ln(x)); value(%);
EXERCICE 8.Calculer une primitive de ln(x)en int´egrant par parties.
6. INTEGRALES MULTIPLES´
Le calcul d’une int´egrale double ou triple avec Maplese fait en utilisant la commandeintdeux ou trois fois successives :
> Int(Int((x+y)*sin(x*y),x),y)=int(int((x+y)*sin(x*y),x),y);
> Int(Int((xˆ2*y)/(x+y),x=0..1),y=0..1)=int(int((xˆ2*y)/(x+y),x=0..1),y=0..1);
EXERCICE 9. (1) Calculer
Z 1
0
Z x x2
dy dxet Z 2
1
Z 3y
y
(x+y)dx dy.
(2) Soient f etgdeux fonctions telles que f(x) =x2 etg(x) =2x+3. Tracer les graphes de f etgsur un mˆeme rep`ere. Obtenir les points d’intersection de ces deux courbes. Calculer l’aire d´elimit´ee par ces deux courbes.
(3) Trouver la valeur de c pour que l’aire de la r´egion d´elimit´ee par les paraboles d’´equations f(x) =1−x2 et g(x) =cx2soit de 8 unit´es2.
(4) SoitRla r´egion d´elimit´ee par l’axe desx, la courbe d’´equationy=xsin(x)entrex=0 etx=π. Repr´esenter graphiquement la r´egionR. Trouver l’´equation de la droite verticalex=cqui divise Ren deux aires ´egales.
Repr´esenter graphiquementRet cette droite verticale.
