Le syst`eme(S)peut s’´ecrire sous la forme (x0 = f(x, y) y0 = g(x, y

SEMAINE 22

SYST `EMES DIFF ´ERENTIELS CONIQUES, QUADRIQUES

EXERCICE 1 :

Int´egrer le syst`eme diff´erentiel

(S)











x⁰ = −y+x(x²+y²) sin 1 x²+y² y⁰ = x+y(x²+y²) sin 1

x²+y² .

Comportement des courbes int´egrales au voisinage de l’origine ? - - - - Le syst`eme(S)peut s’´ecrire sous la forme

(x⁰ = f(x, y)

y⁰ = g(x, y) , les fonctionsf et g ´etant de classe C¹ dans l’ouvertU = IR²\ {(0,0)}.

Il semble assez naturel ici d’utiliser les coordonn´ees polaires. Si (x, y) est une solution de (S) d´efinie sur un intervalleIde IR, le th´eor`eme de rel`evement permet de poser

(x(t) = r(t) cosθ(t) y(t) = r(t) sinθ(t) , les fonctionsr:I→IR^∗₊ etθ:I→IR ´etant de classeC¹.

Plus g´en´eralement, si u : IR^∗₊ → IR est une fonction de classe C¹, le syst`eme diff´erentiel (x⁰ = −y+x u(r)

y⁰ = x+y u(r) se ram`ene `a

(r⁰ cosθ− r θ⁰sinθ =−r sinθ + r u(r) cosθ

r⁰ sinθ+ r θ⁰cosθ = r cosθ + r u(r) sinθ , c’est-

` a-dire `a

(r⁰(t) = r(t)u r(t)

θ⁰(t) = 1 . Cela s’int`egre alors en θ =t (`a une translation pr`es du

“temps” : les courbes int´egrales sont donc parcourues `a “vitesse angulaire” constante) et il reste `a int´egrer l’´equation diff´erentielle autonome r⁰=r u(r).

.Sir0>0 v´erifieu(r0) = 0, on a une solution d´efinie par

(r(t) = r0

θ(t) = t+C : le cercle de centre O et de rayonr0 est une courbe int´egrale.

. Siu(r)6= 0, on ´ecrit dr

r u(r)= dt= dθ et on int`egre...

Dans le cas qui nous int´eresse,u(r) =r² sin 1

r². Pour toutk∈IN^∗, le cercleC_k de centreOet de rayon 1

√

kπ est une courbe int´egrale. Sinon, on int`egre dr r³ sin 1

r²

= dt. En posantr= 1

√s, puisv= coss, on a

Z dr r³ sin 1

r²

= −1 2

Z ds sins = 1

2

Z sinsds cos²s−1

= −1 2

Z dv

v²−1 =−1 4 ln

1−v 1 +v

=−1 4 ln

1−coss 1 + coss

= −1 2 ln

tans

2 =−1

2 ln

tan 1 2r²

.

Finalement, −1 2 ln

tan 1 2r²

=θ+C ou ln

C⁰ tan 1 2r²

=−2θ, puis tan 1

2r² =λ e^−2θ et finalement l’´equation polaire des courbes int´egrales (autres que les cerclesCk) est

r= 1

p2 arctan(λ e^−2θ) + 2kπ avec k∈IN, λ∈IR^∗. Etudions rapidement ces courbes int´´ egrales :

. pour k ∈ IN^∗ et λ > 0, la fonction t 7→ r(t) (ou θ 7→ r(θ)) est un C^∞-diff´eomorphisme croissant de IR vers

# 1

p(2k+ 1)π, 1

√ 2kπ

"

;

. pour k ∈ IN^∗ et λ < 0, la fonction t 7→ r(t) (ou θ 7→ r(θ)) est un C^∞-diff´eomorphisme d´ecroissant de IR vers

# 1

√2kπ, 1 p(2k−1)π

"

;

. pour k = 0 et λ > 0, la fonction t 7→ r(t) (ou θ 7→ r(θ)) est un C^∞-diff´eomorphisme d´ecroissant de IR vers

1

√π,+∞

.

Les cercles C2k sont donc des cycles limites attracteurs, alors queC2k+1 sont des cycles limites r´epulseurs.

EXERCICE 2 :

Soientaet bdeux r´eels avec 0< b < a.

Pourλ < aetλ6=b, caract´eriser la courbeC_λ d’´equation (C_λ) : x²

b−λ+ y² a−λ = 1.

Montrer que, par tout point du plan en dehors des axes, il passe deux courbes Cλ₁ et Cλ₂ se coupant orthogonalement.

- - - - . siλ < b, alorsCλ est une ellipse de centreO, d’axe focalOy.

. sib < λ < a, alorsCλ est une hyperbole de centreO, d’axe focalOy.

La distance focale c=√

a−best constante, les foyersF et F⁰ sont fixes, de coordonn´ees (0, c) et (0,−c). Il s’agit donc d’une famille deconiques homofocales.

La normale `a Cλ au point de coordonn´ees (x, y) est dirig´ee par le vecteur −→ n

x b−λ, y

a−λ

, gradient (au facteur 2 pr`es) de l’application (x, y)7→ x²

b−λ+ y² a−λ−1.

SoitM(x, y) un point du plan avecxy6= 0. Les param`etresλtels que M ∈C_λ sont donn´es par l’´equation

(a−λ)x²+ (b−λ)y²−(a−λ)(b−λ) = 0, soit

(E) λ²−(a+b−x²−y²)λ+ab−ax²−by²= 0. C’est une ´equation du second degr´e de discriminant

∆ = (a+b−x²−y²)²−4ab+ 4ax²+ 4by²

= (a−b+x²−y²)²+ 4x²y²>0.

Cette ´equation admet deux racines r´eelles distinctesλ₁etλ₂ avecλ₁< λ₂. En notantP(λ) le premier membre de (E), on a

P(a) = (a−b)y²>0 et P(b) = (b−a)x²<0,

doncλ₁< b < λ₂< a. Il y a donc exactement deux courbesC_λ passant parM (une ellipse et une hyperbole).

Par ailleurs, si deux courbes Cλ₁ et Cλ₂ (λ16=λ2) se coupent enM(x, y), alors on a x²

b−λ1

+ y² a−λ1

= x² b−λ1

+ y² a−λ1

, soit

x²

(b−λ₁)(b−λ₂)+ y²

(a−λ₁)(a−λ₂) = 0, ce qui exprime l’orthogonalit´e des vecteurs −→

n1 et−→

n2 normaux `aCλ₁ et Cλ₂ respectivement au pointM.

Les deux courbes Cλ se coupant en M sont une ellipse et une hyperbole. La tangente en M `a l’ellipse est la bissectrice ext´erieure deF M Fd <sup>0</sup>, et la tangente `a l’hyperbole est la bissectrice int´erieure de cet angle.

EXERCICE 3 :

Dans l’espace euclidien orient´e E de dimension trois, on donne une droite D et un plan P, suppos´es s´ecants. Soitkun r´eel strictement positif. On noteS l’ensemble des pointsM de E v´erifiant la relation

d(M, D)²+d(M, P)²=k². Montrer queS est une quadrique, et pr´eciser sa nature.

- - - - Choisissons un rep`ere orthonormalR= (O;−→

i ,−→ j ,−→

k) avecO point d’intersection deDetP, les vecteurs−→

i et−→

j dirigeantP, le vecteur−→

i dirigeant la projection orthogonale deD surP (dans le cas particulier o`u la droiteDest perpendiculaire au planP, cette derni`ere condition n’a plus lieu d’ˆetre). Le plan P a alors pour ´equationz = 0 et, en notantα (0< α≤ π

2)

une mesure de l’angle de la droite D avec le planP, un vecteur unitaire dirigeant D est

−

→u(cosα,0,sinα).

SoitM un point deE, de coordonn´ees (x, y, z) dansR. On a alors d(M, P) =|z| et d(M, D) = k−−→

OM∧−→ uk. Or,

−−→OM ∧−→

u = (y sinα)−→

i + (z cosα−x sinα)−→

j −(y cosα)−→ k ,

donc d(M, D)² =x² sin²α+y²+z² cos²α−2xz cosα sinα. L’ensemble S admet donc pour ´equation cart´esienne dans le rep`ereR:

x² sin²α+y²+ (1 + cos²α)z²−2xz cosα sinα−k²= 0.

On reconnaˆıt l’´equation d’une quadrique de centre O, la matrice de la forme quadratique associ´ee est M =





sin²α 0 −cosαsinα

0 1 0

−cosαsinα 0 1 + cos²α



.

Recherchons ses valeurs propres :

χM(X) = (1−X)(X²−2X+ sin²α) = (1−X)(1 + cosα−X)(1−cosα−X). Les valeurs propres λ1 = 1, λ2 = 1−cosα, λ3 = 1 + cosαsont toutes trois strictement positives, doncS est un ellipso¨ıde de centreO.

Recherchons maintenant ses axes : . siα= π

2, c’est-`a-dire siD⊥P, l’´equation cart´esienne de S est :x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>−k<sup>2</sup> = 0, et il s’agit d’une sph`ere de centreO ;

. sinon, les trois valeurs propres sont distinctes et les sous-espaces propres associ´es sont : - pour la valeur propreλ1= 0 : l’axeOX =Oy ;

- pour la valeur propreλ2= 1−cosα: la droiteOY = ∆ d’´equations





 y = 0 z = xtanα

2

;

- pour la valeur propreλ₃= 1 + cosα, la droiteOZ= ∆⁰ d’´equations





 y = 0 z = xtanπ

2 +α 2

. Dans le plan xOz, c’est-`a-dire dans le plan perpendiculaire `a P contenant D, les axes ∆ et ∆⁰

sont les bissectrices deD et deOx. L’´equation r´eduite deS est X²+ (1−cosα)Y²+ (1 + cosα)Z²=k².

EXERCICE 4 :

1.Soituun endomorphisme auto-adjoint d’un espace euclidienE. D´emontrer l’´equivalence entre les assertions

(1): tru= 0 ;

(2): il existe une base orthonormale deE dans laquelle la matrice deua ses coefficients diagonaux tous nuls.

2.Dans l’espace euclidienEde dimension trois, rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;−→ i ,−→

j ,−→ k), soit l’ellipso¨ıde E d’´equation

x² a² +y²

b² +z² c² = 1.

D´eterminer l’ensemble des points de E par lesquels on peut mener trois plans tangents `a l’ellipso¨ıdeE deux `a deux perpendiculaires.

- - - -

1.L’implication(2)=⇒(1)´etant imm´ediate, int´eressons-nous tout de suite `a sa r´eciproque.

Il s’agit de montrer que, si tru = 0, on peut trouver une base orthonormale de E con- stitu´ee de vecteurs q-isotropes, si q est la forme quadratique d´efinie par q(x) = u(x)|x

. Soit B = (e₁,· · ·, e_n) une base orthonormale de E diagonalisant u, notons λ₁, · · ·, λ_n les valeurs propres associ´ees, on a ainsi

n

X

i=1

λ_i = 0. Soit le vecteur ε = 1

√n

n

X

i=1

e_i, on a u(ε) = 1

√n

n

X

i=1

λiei, doncq(ε) = u(ε)|ε

= 1 n

n

X

i=1

λi= 0, ce vecteur est q-isotrope.

Ceci permet bien sˆur d’amorcer une r´ecurrence surn= dimE. L’initialisation (n= 1) ´etant imm´ediate, supposons l’implication (1) =⇒ (2) vraie en dimension n−1 (n ≥ 2) et reprenons les notations ci-dessus dans un espace euclidien de dimension n. Le vecteur ε

´

etant q-isotrope, consid´erons l’hyperplan H = (IRε)^⊥. Notons ple projecteur orthogonal sur H, soit v l’endomorphisme de H induit par p◦u ; on v´erifie imm´ediatement que v est auto-adjoint (puisquepest lui-mˆeme auto-adjoint), que v(x)|x

= u(x)|x

pour tout xde H. Si (e⁰₂,· · ·, e⁰_n) est une base orthonormale deH, alors (ε, e⁰₂,· · ·, e⁰_n) est une base orthonormale deE et

0 = tru= u(ε)|ε +

n

X

i=2

u(e⁰_i)|e⁰_i

=

n

X

i=2

v(e⁰_i)|e⁰_i

= trv ,

ainsi l’hypoth`ese de r´ecurrence peut s’appliquer `a l’endomorphisme auto-adjointvde l’espace euclidien H et il existe (e⁰⁰₂,· · ·, e⁰⁰_n) base orthonormale deH dans laquellev est repr´esent´e par une matrice de diagonale nulle ; la base orthonormale (ε, e⁰⁰₂,· · ·, e⁰⁰_n) deEr´epond alors

`

a la question.

2.SoitM1(x1, y1, z1) un point de l’ellipso¨ıdeE, le planT1tangent `aEenM1admet pour ´equation x1

a²(x−x₁) +y1

b²(y−y₁) +z1

c²(z−z₁) = 0, soit x1x a² +y1y

b² +z1z

c² −1 = 0. Reprenons le probl`eme “`a l’envers” : si M0(x0, y0, z0) est un point ext´erieur `a l’ellipso¨ıde, un planP passant parM0 a une ´equation de la forme

α(x−x₀) +β(y−y₀) +γ(z−z₀) = 0,

et il est tangent `a E s’il se confond avec un planT<sub>1</sub> ci-dessus, c’est-`a-dire si et seulement s’il existeM₁(x₁, y₁, z₁)∈ E tel que les ´equations deP et deT₁ sont proportionnelles :

x1

a²α = y1

b²β = z1

c²γ = 1 αx0+βy0+γz0

(le d´enominateur de la derni`ere expression ne peut ˆetre nul car aucun plan tangent `aE ne passe par l’origine). On en tire alors les coordonn´ees du pr´esum´e point de contactM1 :

x1= a²α

αx₀+βy₀+γz₀ ; y1= b²β

αx₀+βy₀+γz₀ ; z1= c²γ

αx₀+βy₀+γz₀ .

et il reste `a exprimer que ce pointM1(x1, y1, z1) appartient `aE, ce qui donne la condition a²α²+b²β²+c²γ²= (αx0+βy0+γz0)²

(on a obtenu l’´equation tangentiellede l’ellipso¨ıdeE, c’est-`a-dire une condition n´ecessaire et suffisante sur les coefficientsα,β,γ,δpour que le plan d’´equationαx+βy+γz+δ= 0 soit tangent `aE : cette condition est a²α²+b²β²+c²γ²−δ²= 0). Cette ´equation tangentielle, homog`ene de degr´e deux en les variablesα,β,γ, donne les vecteurs normaux aux plans issus deM0et tangents `aE. On peut la voir comme l’´equation, dans le rep`ere (M0;−→

i ,−→ j ,−→

k) d’un cˆone du second degr´e de sommetM0. On cherche alors une condition n´ecessaire et suffisante pour que ce cˆone admette trois g´en´eratrices deux `a deux orthogonales. Or, les g´en´eratrices du cˆone en question sont dirig´ees par les vecteurs isotropes de la forme quadratiqueqd´efinie sur IR³ par

q(α, β, γ) = (αx0+βy0+γz0)²−a²α²−b²β²−c²γ²

= (x²₀−a²)α²+ (y₀²−b²)β²+ (z²₀−c²)γ²+ 2x₀y₀αβ+ 2y₀z₀βγ+ 2z₀x₀γα .

La matrice de cette forme quadratiqueqest A=





x²₀−a² x0y0 x0z0

x0y0 y₀²−b² y0z0

x0z0 y0z0 z₀²−c²



. La con-

dition n´ecessaire et suffisante pour que cette formeqadmette trois vecteurs isotropes deux

`

a deux orthogonaux est tr(A) = 0, c’est-`a-dire

x²₀+y₀²+z²₀=a²+b²+c².

Cette ´equation donne la condition n´ecessaire et suffisante surM₀pour que l’on puisse mener de ce point trois plans tangents `a E deux `a deux perpendiculaires ; c’est l’´equation d’une sph`ere de centreO (sph`ere orthoptiquede l’ellipso¨ıdeE).