Séance de TD n

Université Denis Diderot (Paris 7) M2 de Mathématiques fondamentales 2012-2013 Topologie algébrique I

Séance de TD n

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12 septembre 2012

Exemples d'espaces topologiques.

1 Espaces projectifs réels

Pour tout entier natureln, on dénit l'espace quotient

RPⁿ =Rⁿ⁺¹\ {0}

∼

où la relation d'équivalence ∼est dénie surRⁿ⁺¹\ {0} par :x∼y⇔ ∃t∈R^∗, y=tx. On noteπ:Rⁿ⁺¹\ {0} −→RPⁿ la projection canonique et on utilisera aussi la notation :

π(x1, . . . , xn+1) = [x1, . . . , xn+1].

1. Montrer queRPⁿ est connexe et que l'applicationπest ouverte.

2. Montrer queRPⁿ est séparé.

Indication : considérer d'abord deux points [x1, . . . , xn+1] de RPⁿ tels que xn+1 6= 0. Montrer que la restriction deπà l'hyperplanH={xn+1= 1} est un plongement. Conclure puis passer au cas général.

3. Montrer que la restriction deπàSⁿ induit un homéomorphisme entre Sⁿ

∼ et RPⁿ. En déduire queRPⁿ est compact.

4. On noteS₊ⁿ ={(x₁, . . . , x_n+1)∈Sⁿ, x_n+1>0} l'hémisphère nord deSⁿ. Montrer que la restriction deπàS₊ⁿ induit un homéomorphisme entre S₊ⁿ

∼ etRPⁿ. 5. On dénit l'application

f : Dⁿ −→ S₊ⁿ

x 7−→

x,p

1− kx|²

Montrer queπ|S₊ⁿ◦f est une application quotient et en déduire queRPⁿ ' Dⁿ

x∼ −xpourx∈∂Dⁿ. 6. Montrer queRPⁿ s'obtient à partir deRPⁿ⁻¹ par attachement d'une cellule de dimensionn.

Indication : considérer le quotient injectif de l'applicationg:RPⁿ⁻¹qDⁿ−→RPⁿdénie parg([x]) = [x,0]

pour[x]∈RPⁿ⁻¹ etg(x) = [f(x)]pour x∈Dⁿ.

2 Recollement de deux variétés suivant leurs bords

SoitM etN deux variétés compactes à bord de même dimension etf :∂N −→∂M un homéomorphisme de leurs bords. Soitg:N −→N un homéomorphisme. Montrer que :

M∪_f◦g|∂N 'M∪fN

En d'autres termes, la variété recolléeM∪fN ne change pas si on composef par un homéomorphisme de∂N qui se prolonge àN.

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3 Exemples de recollements en dimension 3 : les espaces lenticulaires.

Pour toute matrice M =

q s p r

∈GL2(Z)l'application

h_M : S¹×S¹ −→ S¹×S¹ (u, v) 7−→ (u^qv^s, u^pv^r) est un homéomorphisme du toreS¹×S¹⊂C×C. On dénit l'espace

LM =D²×S¹∪h_MD²×S¹= D²×S¹qD²×S¹

(x, y)∈∂(D²×S¹)∼hM(x, y)∈∂(D²×S¹)

C'est une variété topologique de dimension 3, sans bord, compacte et connexe.

1. Montrer que pourM =

0 1 1 0

, on aL_M 'S³.

2. Montrer que pourM =

1 0 0 1

, on aLM 'S¹×S².

3. On appelle twist méridien du tore solideD²×S¹⊂C×Cl'application t: D²×S¹ −→ D²×S¹

(u, v) 7−→ (uv, v) SoitM =

q s p r

∈GL2(Z).

a. Montrer que pour toutn∈Z, LM 'LAn oùAn=

q s+nq p r+np

. b. Montrer queLM 'LM⁰ oùM⁰ =

q −s p −r

∈GL2(Z).

c. En déduire queLM ne dépend (à homéomorphisme près) que du couple d'entiers premiers entre eux(p, q). Cette variété est appelée espace lenticulaire de paramètrespet qet est notéeL(p, q).

4. Avec les mêmes notations qu'à la question précédente, montrer que pour toutn∈Z: L_M 'L_Bn, oùB_n =

q+np s+nr

p r

.

En déduire queL(p, q)ne dépend que deqmodulop. 5. Montrer queL(−p,−q)'L(−p, q)'L(p, q).

6. Montrer que siqq⁰≡ ±1[p]alorsL(p, q)'L(p, q⁰). 7. Montrer que leπ₁(L(p, q))'Z/pZ.