Chapitre 11 : Sections coniques Leçon 25 : Définition

Chapitre 11 : Sections coniques Leçon 25 : Définition

l.

Généralités

Étymologiquement, les sections coniques sont les courbes obtenues en coupant un cône

circulaire,

droit ou

oblique,

par un plan.

-

Lorsque le plan ne passe pas par le sommet du cône, on

obtient

une conique propre: cercle, ellipse, hyperbole, pafabole, selon

l'inclinaison

du plan.

-

Lorsque le plan passe

par

le sommet du cône, la conique est

dite

impropre, ou décomposé.

1)

Lorsque le plan est

parallèle

à la base

du

cône

droit, la

section obtenue est un cercle.

2)

Lorsque le plan et

la

base du cône

droit forment

un

angle,

la section obtenue est

une

ellipse.

3)

Lorsque le plan est

parallèle

à la

génératrice

du cône

droit,

la section obtenue est

une

parabole.

I 1. Sections coniques _| 269

4)

Lorsque Ie

plan

est

perpendiculaire

à la base

du

cône

droit (plan

parallèle à I'axe), la section obtenue est une hyperbole.

,f,

2. Définition

Un

point F, une

droite

D'ne passe pas par F et un réel e >

0

étant donnés, on appelle section conique de foyer F, de directrice associée

D

et d'excentricité

e,

I'ensemble des points

M

du plan

vérifiant

,..MF

l'égalité

_-

J

⁼

^e,

^où

^H

^{est le projeté} orthogonal de

M

^{sur D.}

MH

--lM

D

tl

I

"f-

t

It_r

Kl

_A

M'

I l. Sections coniques ₁₂₇₀

3. ^Axe

^de

symétrie

Théorème

I

Soit c

la section conique ^de foyer F, de directrice associée D et d'excentricité

e. La

droite

A

passantpar F et orthogonal à D en

K

est un axe de symétrie de

c,

appelé axe focal.

Ona:

s(u)=

tut'

, S(n)= a' , (nult t.

Donc (u'u')ttl,,

.F1' est donc le symétrique de

M' Onobtient, M'F

=MF

c'est-à-dire

M'ec

donc

M'H

MH

symétrie ou axe

focal

de la conique.

sur D.

A

est axe de

4.

Sommet dtune

conique

.

Soit c

la section

coniqïe

^de foyer F, de directrice associée D, d'excentricité

e

et d'axe focal

A

orthogonal à D en

K.

I

estun point d'intersection de

A et C

tel que

K,A,F

sont alignés

et

AF

--e.

^AK

AF AK

. K,A,F

sont alignés donc les

vecteurs E

^et

Z

sont colinéaires,

c'est-à-dire E :"-R oufr --".R

.

Cas

e=l

E

=

".R eÆ :R,

on ne peut pas construire le

point I

,

E

=

-t ^R çE ^: _{-AIÎ ,} ^A

^{est le}

^point

^{milieu de}

_[rr],

^{le sommet}

d'une conique.

I

l.

Sections coniques l27l

o

Cas

e+l

AF =e.AK, ^on

peut

construire un

point l,

AF

=-e.AK,

^{on peut} construire le

point

A'+

A. A et I'

^{sont les}

sommets d'une conique.

Théorème

Soit c

la section conique de foyèr

F,

de directrice associée D, d'excentricité

e

et d'axe focal

Â

orthogonal à D en

K.

1) Si e--t,il

existe un seul point

de C,

le milieu

A de [ffJ,

^s.rt

I'axe A et l'ensemble des points

M',

^projetés orthogonaux des points de

C sur Â,

est la demi-droite d'origine

A

contenant F. On dit alors que

la

conique Cest une parabole.

2) Si 0<ecl, il existedeuxpoints de C,AetA', surl'axe

A et I'ensemble des points

M'est le

segment _L,l,q').

On dit

^alorsque

la conique C est une

ellipse.

^I

3)

Si

e>l,ll

existe deux points

de C, A

et

A',

sur

l'axe

 et I'ensemble des points

M'est

la réunion des demi-ilroites d'origines respectives

A

et

A'

ne contenant pas

K.

On dit alors que la conique C est une hyperbole.

ll.

Sections coniques ₁₂₇₂

Exercices

Un point F, une droite D ne passe pas par F et un réel e strictement

positif

étant donnés.

M

est un

point

du plan n'appartenant pas à D,

vérifiant

l'égalité y:=

_{e, où}

_H

est le projeté orthogonal de

M

sur

MH

,D.

_{Désignons par}

K

le point d'intersection des droites

D

et

Â, M'

^le

projeté orthogonal de

M

sur

D

et

A

le milieu Ae

[ff

^J.

l.

Monfrer que

:

MF2

-

^{e2 MH2 = 0.}

2.

Montrer que :

M' Mz ⁺ M' F2

-

^{e' M' K = M'M2 +}

^1*tG

⁺

rffilOlG _-

"ffi1.=0'.

3. Si e-l

a.

^Monher

que MY *ffi=2MÛ

^et

^u;F _-MQ=fr

^.

b.

^Vérifier

^{que (M'F} *ffilWG -ffi) ^=2fr4.É

^çt_I

M'M2

=2fr.KF.

4. ^Si e+l

a.

Montrer que

*tG+rffi=(l+e) M2.

b.

Vérifier que M'A42 =p2

-t1M'À.m'.

ll.

Sections coniques ₁₂₇₃