D2900. La toile d'araignée (1er épisode)
Problème proposé par Pierre Leteurtre
On donne le triangle ABC et une conique qui coupe chaque droite portant les côtés du triangle en 2 points réels : BC en D1/D2, CA en E1/E2, AB en F1/F2.
Montrer que les droites AD1,AD2, BE1, BE2, CF1 et CF2 sont tangentes à une même conique.
Solution proposée par Maurice Bauval :
Pour qu'un hexagone soit circonscrit à une conique, il suffit que ses trois diagonales soient concourantes.
On cherche à prouver que les trois droites telles que A'A'' sont concourantes.
Nommons les coordonnées trilinéaires des points suivants ( notations évitant de manipuler des indices ! ) : D1(0,1,d), E1(e,0,1), F1(1,f,0) D2(0,1,u), E2(v,0,1), F2(1,w,0).
Ces six points sont sur une même conique, le théorème de Lazare Carnot s'applique, donc le produit d.e.f.u.v.w vaut 1.
Les coordonnées de A' et A'' sont (v, vf, 1) et (e, ew, 1).
La droite A'A'' a pour équation : X.(fv – ew) + Y.(e – v) + Z.ev(w – f) = 0.
Par permutation circulaire d→e→f→d, u→v→w→u, X→Y→Z→X, on a les équations des 3 droites : A'A'' : X.(fv – ew) + Y.(e – v) + Z.ev(w – f) = 0.
B'B'' : X.fw(u – d) + Y.(dw - fu) + Z.(f – w) = 0 C'C'' : X.(d – u) + Y.du(v – e) + Z.(eu – dv) = 0
│fv– ew e–v ev(w–f)│
Le déterminant des coefficients de ces équations est: Δ = │fw(u–d) dw – fu f – w │ │d–u du(v-e) eu – dv │
Développé par la règle de Sarrus, le déterminant Δ est égal à H+I+J– K– L– M avec H = (fv – ew)(dw – fu)(eu – dv)
I = (e – v)(f – w)(d – u)
J = ev(w – f)fw(u – d)du(v – e) K = (fv – ew)(f – w)du(v – e) L = (eu – dv)(e – v)fw(u – d)
M = (dw – fu)ev(w – f)(d – u)
mais I+J = (e – v)(f – w)(d – u)(1–evfwdu) = 0 car d.e.f.u.v.w vaut 1.
H – K= (fv – ew)[(dw–fu)(eu–dv) – du(f–w)(v–e)] = (fv – ew)(efu– dvw)(d – u) (–L– M) = (d –u )[(eu – dv)(e – v)fw –(dw – fu)ev(w – f)] =(d–u)(fv–ew)(dvw–efu).
H+I+J–K–L–M = (fv–ew)(d–u)[efu–dvw+dvw–efu] = 0
Le déterminant Δ est nul, les trois équations sont liées, les diagonales A'A'', B'B'', C'C'' de l'hexagone B'A''C'B''A'C'' sont concourantes, cet hexagone est donc circonscrit à une conique.
Les droites AD1,AD2, BE1, BE2, CF1 et CF2 sont tangentes à une même conique.
