Constructions. Triangles isométriques. Preuves.

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes !

Question : cette construction est-elle exacte ?

Si oui, écrire ci-contre les connaissances (propriétés et théorèmes) essentielles qui garantissent l’exactitude de la construction.

Si non, présenter ci-contre un dessin fournissant un contre-exemple.

Exercice 2

Un cercle de diamètre [AB] centré en O est donné, et C est un point de ce cercle, distinct des points A et B. La tangente au cercle en C coupe la tangente au cercle en A au point D ; elle coupe la tangente au cercle en B, au point E.

On veut prouver que CD × CE garde toujours la même valeur, quelque soit la position de C sur le cercle – à l’exclusion de A et de B cependant.

Question 1 : Un cercle est donné et C est un point situé sur le cercle. Construire ci-dessous la tangente au cercle passant par C à la règle non graduée et au compas¹.

Question 2 : Quelles sont les connaissances essentielles qui garantissent l’exactitude de la construction de la question 1 ?

Question 3 : En utilisant les seuls points nommés sur le dessin joint à l’énoncé, écrire ci-contre toutes les paires de triangles isométriques.

Question 4 : Pour une des paires ci-dessus, prouver ci-après que les deux triangles de cette paire sont isométriques.

1 Les traits de construction doivent être apparents, accompagnés éventuellement d’un codage indiquant telle ou telle propriété.

Exercice 1 Ci-dessous on présente une construction du milieu d’un segment donné [AB] avec une règle donnée à deux bords parallèles.

1) Placer la règle de façon que A et B soient sur le même bord de la règle et tracer la droite d1

s’appuyant sur l’autre bord.

Placer un point C sur d.

2) Placer la règle de façon que d1 soit l’un de ses bords et que l’autre bord ne soit pas la droite (AB). Tracer la droite d2 s’appuyant sur cet autre bord.

3) La droite (AC) coupe d2 en D, la droite (DB) coupe d1 en E.

Les droites (AE) et (BC) se coupent en F.

La droite (DF) coupe [AB] en K, milieu de [AB].

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes ! Question 5 : En utilisant notamment la réponse à la question 3, prouver ci-après que « le triangle DOE est rectangle ».

Question 6 : Les résultats précédents sont supposés démontrés. Ci-dessous, à gauche, est écrite une démonstration. Dans la colonne à droite, citer les définitions, propriétés et théorèmes garantissant l’exactitude de l’affirmation (1) et l’exactitude de la déduction localisée en (2).

On a (1) DOC CEOn=n

donc (2) ^{CD OC} OC=CE

donc CD × CE = OC × OC

Question 7 : Expliquer comment le résultat précédent permet de répondre à l’exercice.

Exercice 3 (5 réponses exactes : 4 pts ; 4 réponses exactes : 3 pts ; 3 réponses exactes : 1 pt ; 2 réponses exactes ou moins : 0 pt).

Répondre par OUI ou NON dans chaque cas.

Dans chaque situation ci-après les triangles ABC et RST sont soumis à certaines contraintes. Il s’agit de

décider si l’on en déduit que ABC et RST sont nécessairement isométriques. Oui ou non ? Situation 1 : ils sont tels que deux angles de l’un ont mêmes mesures que deux angles de l’autre, et un côté de

l’un a même longueur qu’un côté de l’autre.

Situation 2 : ils sont tels que deux côtés de l’un ont mêmes longueurs que deux côtés de l’autre, et un angle de l’un a même mesure qu’un angle de l’autre.

Situation 3 : ils sont rectangles, et un angle aigu de l’un a même mesure qu’un angle aigu de l’autre, et un côté de l’un a même longueur qu’un côté de l’autre.

Situation 4 : ils sont tels que leurs angles sont deux à deux de mêmes mesures.

Situation 5 : ils sont tels que AB = RS et AC = RT, et la hauteur relative à [AB] a même longueur que la hauteur relative à [RS].

Eléments pour un corrigé

Question : cette construction est-elle exacte ?

Si oui, écrire ci-contre les connaissances (propriétés et théorèmes) essentielles qui garantissent l’exactitude de la construction.

Si non, présenter ci-contre un dessin fournissant un contre-exemple.

Par exemple :

Théorème de la droite des milieux (dans un triangle).

Définition d’une médiane d’un triangle.

Propriété des médianes d’un triangle : les médianes d’un triangle sont concourantes.

Propriété : toute droite passant par un sommet d’un triangle et par le centre de gravité de ce triangle est une médiane du triangle ; elle coupe le côté opposé au sommet en son milieu.

Exercice 2

Un cercle de diamètre [AB] centré en O est donné, et C est un point de ce cercle, distinct des points A et B. La tangente au cercle en C coupe la tangente au cercle en A au point D ; elle coupe la tangente au cercle en B, au point E.

On veut prouver que CD × CE garde toujours la même valeur, quelque soit la position de C sur le cercle – à l’exclusion de A et de B cependant.

Question 1 : Un cercle est donné et C est un point situé sur le cercle. Construire ci-dessous la tangente au cercle passant par C à la règle non graduée et au compas².

Question 2 : Quelles sont les connaissances essentielles qui garantissent l’exactitude de la construction de la question 1 ?

La définition de la tangente en un point d’un cercle.

Les propriétés et définition de la médiatrice d’un segment.

Question 3 : En utilisant les seuls points nommés sur le dessin joint à l’énoncé, écrire ci-contre toutes les paires de triangles isométriques.

Les triangles DAO et DOC Les triangles ECO et EBO.

Question 4 : Pour une des paires ci-dessus, prouver ci-après que les deux triangles de cette paire sont isométriques.

Par exemple :

DAO et DOC triangles rectangles respectivement en A et C (P1).

AO = OC et DO commun à DAO et DOC

AD = DC.

AO = OC et DO commun aux deux triangles DAO et DOC et AD = DC (th.3)

DAO et DOC isométriques

P1 : définition d’une tangente à un cercle en un point

Th.2 de Pythagore.

Th.3 : si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de mêmes longueurs alors ils sont isométriques.

2 Les traits de construction doivent être apparents, accompagnés éventuellement d’un codage indiquant telle ou telle propriété.

Exercice 1 Ci-dessous on présente une construction du milieu d’un segment donné [AB] avec une règle donnée à deux bords parallèles.

4) Placer la règle de façon que A et B soient sur le même bord de la règle et tracer la droite d1

s’appuyant sur l’autre bord.

Placer un point C sur d.

5) Placer la règle de façon que d1 soit l’un de ses bords et que l’autre bord ne soit pas la droite (AB). Tracer la droite d2 s’appuyant sur cet autre bord.

6) La droite (AC) coupe d2 en D, la droite (DB) coupe d1 en E.

Les droites (AE) et (BC) se coupent en F.

La droite (DF) coupe [AB] en K, milieu de [AB].

Th.2 et calculs

Question 5 : En utilisant notamment la réponse à la question 3, prouver ci-après que « le triangle DOE est rectangle ».

DAO et DOC triangles rectangles respectivement en A et C isométriques (q3 et q4) (P4)

nAOD DOC= n.

ECO et EBO triangles rectangles respectivement en C et B isométriques, et n n

COE EOB= (P4).

AOD DOCn=n et COE EOBn=n

(évidence et abus d’écriture) ^{AOB 180n}= ° =AOD DOC COE EOB 2 DOC COE^{n n n n}+ + + =

(

)

DOC COE 90^{n n}+ = °

COE rectangle en C

P4 : définition des triangles isométriques.

P4 : raisonnement par analogie (précédent).

Question 6 : Les résultats précédents sont supposés démontrés. Ci-dessous, à gauche, est écrite une démonstration. Dans la colonne à droite, citer les définitions, propriétés et théorèmes garantissant l’exactitude de l’affirmation (1) et l’exactitude de la déduction localisée en (2).

On a (1) DOC CEOn=n

donc (2) ^{CD OC} OC=CE donc CD × CE = OC × OC

(1) Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Deux angles ayant même complément ont même mesure.

(2) Tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

Question 7 : Expliquer comment le résultat précédent permet de répondre à l’exercice.

OC est le rayon R du cercle, donc CD × CE = R² ; pour un autre point M du cercle (distinct de A et de B), le même raisonnement montre qu’on a aussi MD × ME = R².

Le résultat ne dépend donc pas de la position de C sur le cercle (à l’exclusion de A et de B cependant).

Exercice 3 (5 réponses exactes : 4 pts ; 4 réponses exactes : 3 pts ; 3 réponses exactes : 1 pt ; 2 réponses exactes ou moins : 0 pt).

Répondre par OUI ou NON dans chaque cas.

Dans chaque situation ci-après les triangles ABC et RST sont soumis à certaines contraintes. Il s’agit de

décider si l’on en déduit que ABC et RST sont nécessairement isométriques. Oui ou non ? Situation 1 : ils sont tels que deux angles de l’un ont mêmes mesures que deux angles de l’autre, et un côté de

l’un a même longueur qu’un côté de l’autre. oui

Situation 2 : ils sont tels que deux côtés de l’un ont mêmes longueurs que deux côtés de l’autre, et un angle de l’un a même mesure qu’un angle de l’autre.

non Situation 3 : ils sont rectangles, et un angle aigu de l’un a même mesure qu’un angle aigu de l’autre, et un côté

de l’un a même longueur qu’un côté de l’autre. oui

Situation 4 : ils sont tels que leurs angles sont deux à deux de mêmes mesures. non Situation 5 : ils sont tels que AB = RS et AC = RT, et la hauteur relative à [AB] a même longueur que la

hauteur relative à [RS]. non

Eléments pour un corrigé