Tenseur d'impulsion-énergie et feuilletages

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Submitted on 27 Nov 2006

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Georges Habib

To cite this version:

Georges Habib. Tenseur d’impulsion-énergie et feuilletages. Mathématiques [math]. Université Henri

Poincaré - Nancy 1, 2006. Français. �NNT : 2006NAN10054�. �tel-01754367v2�

UFR S.T.M.I.A.

Ecole Doctorale IAE + M ´ Universit´ e Henri Poincar´ e - Nancy I D.F.D. Math´ ematiques

Th`ese

pr´ esent´ ee pour l’obtention du titre de

Docteur de l’Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I

en Math´ ematiques par

Georges HABIB

Tenseur d’impulsion-´ energie et

Feuilletages

Soutenue publiquement le 13 Juin 2006

Membres du jury :

Rapporteurs : Aziz El Kacimi

Professeur, Valenciennes

Andrei Moroianu

CNRS, ´Ecole Polytechnique

Examinateurs : Jean Pierre Bourguignon

Directeur de recherche, CNRS

Kris Galicki

Professeur, New Mexico

Oussama Hijazi

Directeur de Th`ese, Professeur, Nancy I

Harold Rosenberg

Professeur, Paris VII

Sebasti´ an Montiel

Professeur, Grenada (invit´e)

Institut ´Elie Cartan Nancy, Laboratoire de Math´ematiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-l`es-Nancy Cedex

Remerciements

Que tous ceux qui m’ont aid´ e ` a mener ce travail ` a terme trouvent ici l’ex- pression de ma profonde reconnaissance.

Je tiens tout d’abord ` a remercier mon directeur de th` ese Oussama Hijazi pour m’avoir fait confiance malgr´ e les connaissances plutˆ ot l´ eg` eres que j’avais en octobre 2003 sur la g´ eom´ etrie spinorielle. L’enthousiasme, l’intuition scienti- fique et la t´ enacit´ e dont il a fait preuve ainsi que la libert´ e qu’il m’a accord´ ee au cours de ce travail ont grandement contribu´ e ` a la richesse de cette th` ese.

Il m’a montr´ e qu’honnˆ etet´ e et sinc´ erit´ e devaient coexister avec efficacit´ e et motivation. De plus, ces conseils tout au long de ces trois ann´ ees ont toujours

´ et´ e clairs et m’ont permis d’aboutir ` a la production de cette th` ese.

Andrei Moroianu et Aziz El Kacimi m’ont fait l’honneur d’ˆ etre les rappor- teurs de cette th` ese. Les discussions que nous avons men´ ees ont enrichi mes connaissances tant en g´ eom´ etrie spinorielle qu’au niveau des feuilletages. Ils ont ´ egalement contribu´ e par leurs remarques et suggestions ` a am´ eliorer la qualit´ e de ce m´ emoire. Je les en remercie de mˆ eme que pour leur participa- tion au jury.

Je pr´ esente mes vifs remerciements ` a Jean Pierre Bourguignon qui m’a fait l’honneur de pr´ esider le jury et pour la lecture attentive de la th` ese.

Je remercie ´ egalement Harold Rosenberg pour l’int´ erˆ et qu’il a eu pour ce travail et pour avoir accept´ e de faire partie du jury.

J’exprime mes sinc` eres remerciements ` a Sebasti´ an Montiel pour son enthou- siasme, son dynamisme, son extrˆ eme disponibilit´ e et sa comp´ etence qui m’ont permis de trouver de l’´ energie pour approfondir l’´ etude des feuilletages en g´ eom´ etrie spinorielle. Je tiens ` a lui exprimer ma profonde reconnaissance pour ses encouragements sans oublier la sympathie que j’ai trouv´ ee aupr` es de lui. Je le remercie vivement pour sa participation au jury.

Je voudrais aussi t´ emoigner ma profonde gratitude ` a Kris Galicki pour s’ˆ etre int´ eress´ e ` a mon travail en acceptant de faire partie du jury. Je le remercie vivement.

Je tiens ` a remercier ´ egalement tous les math´ ematiciens auxquels j’ai pos´ e des

questions et particuli` erement : Jean-Louis Milhorat, Nicolas Ginoux, Bruno

Colbois, Christian B¨ ar, Thomas Friedrich, Ilka Agrikola, Sylvestre Gallot,

Ma gratitude va aussi aux membres de l’institut ´ Elie Cartan pour tous les moyens mis ` a ma disposition. J’adresse un remerciement tout particulier avec toute mon affection et ma reconnaissance ` a Patricio Cumsille Atallah, Pierre-Lin Pommier, Pierre Le Gall et Mohamad Iguernane pour toutes nos discussions math´ ematiques (et personnelles).

Je dois un grand merci ` a tous les membres de l’´ equipe de g´ eom´ etrie diff´ eren- tielle de Nancy, sans lesquels les trois ann´ ees pass´ ees n’auraient pas ´ et´ e aussi agr´ eables. Je les remercie pour les fructueuses discussions que nous avons pu avoir ainsi que pour les moments d’amiti´ e et de complicit´ e. Merci donc ` a Bernd Ammann, Julien Maubon, Emmanuel Humbert, Jean-Fran¸cois Gros- jean (“il ne faut pas rigoler pendant les s´ eminaires”), Simon Raulot, Julien Roth, Marie-Am´ elie Paillusseau (“mˆ eme remarque que Jean-Fran¸ cois”) et Lars Sch¨ afer.

J’adresse mes chaleureux remerciements ` a tous les membres du d´ epartement de math´ ematiques de l’Univerit´ e Libanaise de Beyrouth pour leurs aides pr´ ecieuses et leurs soutiens et je remercie plus particuli` erement Mohamad Mehdi.

Je tiens ` a remercier mes amis, qui directement ou indirectement ont su me soutenir dans les moments difficiles particuli` erement Jamil Damaj, Ja- mil Houhou, Malak Sayed Hassan, Mohamad Hajj Chehad´ e, Jamal Saboun´ e, Raymond Hamia, Simon Wehb´ e, Toufik Khatib, Ahmad Dib, Oussama Abou Chakra, Mohamad Nassar, Walid Tfaili, Rami Saad, Morten et Christine Vierling, Muaffaq El Jundi, Naiem El Wafai, Wael Youssef, Zakwan Halisso, Elmira Arab Tehrany, Antoine et C´ elia Eid.

Enfin, je ne saurais trop exprimer toute ma gratitude envers ma m` ere, mon p` ere, mes fr` eres et toute ma famille au Liban, le m´ erite de ce travail leur revient en grande partie. Comment exprimer cette reconnaissance ` a mes pa- rents qui m’ont toujours soutenu moralement et financi` erement ? Ils sont tout pour moi : amour, r´ econfort, conseils, protection,... Les ´ ecouter me rassure, les voir me ravie, les embrasser m’enchante. C’est plus qu’un merci que je veux leur dire. Puisse ce modeste travail leur t´ emoigner ma profonde recon- naissance.

A tous ceux qui ont particip´ ` e de pr` es ou de loin ` a l’´ elaboration de ce tra-

vail et ` a tous ceux qui me sont chers :

Un grand merci.

A ma m` ` ere Najla et mon p` ere ´ Elias, A mes fr` ` eres Gilbert, Jawad et Jad, A toute ma famille et tous mes amis.... `

Je d´ edie cette th` ese....

Table des mati` eres

1 Introduction ` a la g´ eom´ etrie spinorielle des feuilletages 21

1.1 Introduction . . . . 21

1.2 Pr´ eliminaires . . . . 22

1.3 L’op´ erateur de Dirac transversal . . . . 27

1.4 Estimations des valeurs propres . . . . 35

2 Tenseur d’impulsion-´ energie sur les feuilletages 39 2.1 Introduction . . . . 39

2.2 Estimation . . . . 42

2.3 Cas des hypersurfaces . . . . 44

2.4 Cas des flots riemanniens . . . . 51

2.5 Variation de la m´ etrique . . . . 62

2.6 Spineurs parall` eles basiques en petites dimensions . . . . 65

3 Feuilletages k¨ ahl´ eriens et K¨ ahler-quaternioniens 75 3.1 Introduction . . . . 75

3.2 Feuilletage k¨ ahl´ erien . . . . 77

3.3 Valeurs propres de l’op´ erateur de Dirac basique . . . . 80

3.4 Feuilletage K¨ ahler-quaternionien . . . . 86

3.5 R´ esultat principal . . . . 88

3.6 Cas limite . . . . 90

Introduction

Le sujet principal de cette th` ese est d’interpr´ eter g´ eom´ etriquement le tenseur d’impulsion-´ energie dans le cadre des feuilletages. Ce tenseur qui est un 2- tenseur sym´ etrique, d´ efini sur une vari´ et´ e spinorielle, se manifeste dans deux cadres g´ eom´ etriques, la g´ eom´ etrie spinorielle intrins` eque et extrins` eque. Dans un premier temps, on s’int´ eresse ` a la question suivante : Quelles informations obtient-on sur le spectre de l’op´ erateur de Dirac d’une vari´ et´ e spinorielle M

`

a courbure scalaire n´ egative ou nulle ? On cite dans ce cadre, par exemple, les groupes d’Heisenberg (` a courbure scalaire n´ egative) et les vari´ et´ es ` a groupe d’holonomie G

₂

(` a courbure scalaire nulle). Il est surprenant de voir que ce tenseur donne une r´ eponse partielle ` a cette question du fait qu’il intervient dans le spectre de l’op´ erateur de Dirac. En plus, la g´ eom´ etrie spinorielle ex- trins` eque donne une interpr´ etation naturelle de ce tenseur comme la seconde forme fondamentale des hypersurfaces et la g´ eom´ etrie transverse va permettre de le r´ ealiser comme le tenseur d’O’Neill dans le cas des feuilletages. Dans cette th` ese on suit deux directions qui semblent avoir plusieurs liens.

La premi` ere direction est la g´ eom´ etrie spinorielle. L’´ etude du spectre de l’op´ erateur de Dirac, qui est d´ efini sur une vari´ et´ e spinorielle M, a fait l’objet d’investigations intenses, du fait qu’il contient des informations subtiles sur la topologie et la g´ eom´ etrie de la vari´ et´ e. En effet Andr´ e Lichnerowicz [Lic63]

a ´ etabli une formule de type Weitzenb¨ ock qui relie le carr´ e de l’op´ erateur de Dirac au laplacien spinoriel, plus pr´ ecisement

D

_M²

= ∆ + 1

4 Scal

_M

,

o` u Scal

_M

est la courbure scalaire de M. Une cons´ equence fondamentale de

cette formule est que le noyau de l’op´ erateur de Dirac est trivial si la vari´ et´ e

M est ` a courbure scalaire positive. Dans ce cas, son indice analytique, ainsi

que topologique est forc´ ement nul par le th´ eor` eme d’Atiyah-Singer. On en

d´ eduit qu’il existe des obstructions topologiques ` a l’existence de m´ etriques ` a

courbure scalaire positive.

valeur propre λ

₁

par l’infimum de la courbure scalaire (` a une constante pr` es), suppos´ ee positive. L’id´ ee de la preuve est de modifier la connexion de Levi- Civita dans la direction de l’identit´ e afin de pouvoir minorer le laplacien spinoriel par une quantit´ e strictement positive (

^λ_n²¹

Id, o` u n est la dimension de M ). Dans le cas o` u l’´ egalit´ e est atteinte dans l’estimation, une section sp´ eciale apparaˆıt sur le fibr´ e des spineurs, appel´ ee spineur de Killing. La d´ eriv´ ee covariante de cette section dans la direction d’un champ de vecteurs est proportionnelle ` a l’action du champ de vecteurs sur cette mˆ eme section par multiplication de Clifford. Comme cons´ equence de l’existence de ces spi- neurs, la vari´ et´ e M est d’Einstein.

Plusieurs directions ´ etaient explor´ ees pour classifier les vari´ et´ es admettant ces spineurs. C. B¨ ar [B¨ ar93] a donn´ e une description g´ eom´ etrique des vari´ et´ es simplement connexes admettant des spineurs de Killing. En effet il a montr´ e qu’il y a une ´ equivalence entre les spineurs de Killing sur une vari´ et´ e spino- rielle M et les spineurs parall` eles sur le cˆ one [Gal79] de M, obtenu par le produit tordu de la vari´ et´ e M par la demi-droite r´ eelle. Ainsi, par la classi- fication des vari´ et´ es simplement connexes admettant des spineurs parall` eles [Wan89], il a classifi´ e toutes les vari´ et´ es spinorielles, simplement connexes, admettant des spineurs de Killing.

Dans [Hij84], O. Hijazi montre que, sur une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, l’ensemble des spineurs de Killing est r´ eduit ` a z´ ero et que l’in´ egalit´ e de Friedrich ne peut pas ˆ etre atteinte. Ces vari´ et´ es sont consid´ er´ ees par K. D. Kirchberg [Kir86]

qui estime les valeurs propres suivant la parit´ e de la dimension complexe. La preuve utilise la d´ ecomposition du fibr´ e des spineurs sous l’action de la forme de K¨ ahler et de la racine quatri` eme de l’unit´ e. Ces estimations am´ eliorent l’in´ egalit´ e de Friedrich et dans le cas limite (en dimension complexe impaire) un spineur particulier apparaˆıt, appel´ e spineur de Killing k¨ ahl´ erien. Comme cons´ equence, la vari´ et´ e est d’Einstein.

Ces spineurs sont ´ etudi´ es dans [Kir88], o` u il montre qu’en dimension com-

plexe 3, l’espace projectif C P

³

et la vari´ et´ e des drapeaux F (2, 2) sont les

seules vari´ et´ es limites. De plus A. Moroianu [Mor95] ´ etablit que l’existence

d’un tel spineur sur M implique l’existence d’un spineur de Killing sur un

certain fibr´ e en cercles U M au-dessus de M, dont le tenseur d’O’Neill de cette

fibration est la structure complexe de M. Ainsi, en utilisant la classification

des spineurs de Killing, il montre que U M admet une structure de 3-Sasaki

r´ eguli` ere et en dimension complexe particuli` ere les vari´ et´ es limites sont les espaces des twisteurs associ´ es aux vari´ et´ es K¨ ahler-quaternioniennes ` a cour- bure scalaire positive. Le cas de la dimension complexe paire se r´ eduit au cas impair. En effet, le revˆ etement universel de la vari´ et´ e limite est un produit riemannien N × R

²

, o` u N est une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne limite de dimension com- plexe impaire [Mor99], [Lic90]. Finalement, un cadre g´ eom´ etrique important est consid´ er´ e, o` u la vari´ et´ e M est ` a groupe d’holonomie Sp

₁

· Sp

_m

, ` a courbure scalaire positive. Dans ce cas, M admet une structure K¨ ahler-quaternionienne et est une vari´ et´ e d’Einstein. Une meilleure estimation est ´ etablie pour la premi` ere valeur propre de l’op´ erateur de Dirac [HM95b], [KSW99]. Le cas limite est caract´ eris´ e par le fait que la vari´ et´ e limite est l’espace projectif des quaternions [KSW98b].

L’inconv´ enient avec les estimations ci-dessus est que l’on perd les informa- tions sur le spectre de l’op´ erateur de Dirac et donc sur la g´ eom´ etrie de M dans le cas o` u la courbure scalaire est n´ egative ou nulle. Il est donc assez naturel d’´ etablir de nouvelles estimations afin de compenser le terme en courbure scalaire dans la formule de Schr¨ odinger-Lichnerowicz. D’o` u l’id´ ee introduite dans [Hij95] de modifier la connexion de Levi-Civita dans la direction d’un tenseur sym´ etrique et de minorer le laplacien spinoriel par la norme de ce tenseur. Ainsi, sur le compl´ ementaire de l’ensemble des z´ eros d’un spineur Ψ, il d´ efinit un 2-tenseur sym´ etrique T

^Ψ

, appel´ e tenseur d’impulsion-´ energie par

T

^Ψ

(X, Y ) = 1

2 <(X · ∇

^M_Y

Ψ + Y · ∇

^M_X

Ψ, Ψ

|Ψ|

²

),

o` u X, Y ∈ T M, et ∇

^M

est la connexion de Levi-Civita associ´ ee ` a M. Il d´ emontre que pour tout spineur propre Ψ associ´ e ` a la premi` ere valeur λ

₁

λ

²₁

≥ inf

M

( Scal

M

4 + |T

^Ψ

|

²

). (0.0.1)

Le point important ` a remarquer est que, pour un spineur propre Ψ de l’op´ era- teur de Dirac, l’ensemble des z´ eros de Ψ est de dimension de Hausdorff ´ egale

`

a n − 2 [B¨ ar97] et donc de mesure nulle. Il est facile de voir que dans un rep` ere local orthonorm´ e {e

_i

}

i=1,···,n

de T M, le terme T

^Ψ

(e

_i

, e

_i

) n’est autre que la projection de l’op´ erateur de Dirac sur chaque composante e

_i

. Par cons´ equent, sa trace est ´ egale ` a λ

₁

et l’estimation (0.0.1) am´ eliore celle de Friedrich obtenue par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz du fait que |T

^Ψ

|

²

≥

(tr(T^Ψ))²

n

(tr est la trace). Le cas limite de (0.0.1) est caract´ eris´ e par l’existence d’un spineur Ψ qui satisfait pour tout X ∈ T M, l’´ equation ∇

^M_X

Ψ = −T

^Ψ

(X)·

Ψ. Dans ce cas aucune g´ eom´ etrie particuli` ere n’est obtenue sur la vari´ et´ e du

X ∈ T M,

∇

^M_X

Ψ = −E(X) · Ψ, (0.0.2) o` u E est un endomorphisme sym´ etrique de T M, alors, par les propri´ et´ es de la multiplication de Clifford, le tenseur E est ´ egal ` a T

^Ψ

et on est dans le cas limite de l’in´ egalit´ e (0.0.1). Il se trouve que ces spineurs v´ erifient le cas limite d’une certaine majoration intrins` eque des valeurs propres sur les vari´ et´ es de Sasaki [HG].

L’´ etude de l’´ equation (0.0.2) en g´ eom´ etrie spinorielle extrins` eque est le point cl´ e pour une interpr´ etation naturelle de ce tenseur. En effet, si la dimension de M est ´ egale ` a 2, Th. Friedrich [Fri98] montre que la donn´ ee d’un spineur Ψ, de norme constante, satisfaisant l’´ equation D

_M

Ψ = f Ψ, o` u f est une fonction de M, est ´ equivalente ` a la donn´ ee d’un couple (Ψ, E), o` u E est un tenseur sym´ etrique ` a trace ´ egale ` a f satisfaisant (0.0.2). Ceci implique de plus que le tenseur sym´ etrique E est forc´ ement de Gauss-Codazzi et, dans ce cas, la vari´ et´ e est localement isom´ etriquement immerg´ ee dans R

³

avec un tenseur de Weingarten ´ egal ` a E. D’o` u l’observation suivante [Mor02] : si M

ⁿ

est une hypersurface d’une vari´ et´ e spinorielle N

ⁿ⁺¹

admettant un spineur parall` ele, alors le tenseur d’impulsion-´ energie peut ˆ etre vu comme la seconde forme fondamentale de l’hypersurface. Ainsi la vari´ et´ e M admet intrins` equement un spineur qui satisfait (0.0.2). Si, de plus, la courbure moyenne H est une constante positive, alors on est dans le cas limite de l’estimation extrins` eque

´ etablie dans [HMZ01]

λ

₁

≥ n 2 inf

Σ

H,

o` u Σ

ⁿ

est une vari´ et´ e compacte bordant un domaine compact, ` a courbure sca- laire positive et λ

₁

est la premi` ere valeur propre de l’op´ erateur de Dirac de Σ.

Dans le but de classifier les vari´ et´ es admettant des spineurs qui satisfont l’´ equation (0.0.2), B. Morel [Mor02] a construit le cˆ one g´ en´ eralis´ e Z = I ×M, o` u I est un intervalle de R , comme une g´ en´ eralisation du cˆ one construit par C. B¨ ar. Il a montr´ e, que si on modifie la m´ etrique de M dans la direction de T

^Ψ

suppos´ ee parall` ele, alors la vari´ et´ e Z admet un spineur parall` ele et donc elle est Ricci plate. Ce cas est consid´ er´ e plus tard par A. Moroainu, P.

Gauduchon et C. B¨ ar [BGM05] dans le cas o` u le tenseur T

^Ψ

est un tenseur de Codazzi.

Le probl` eme du tenseur d’impulsion-´ energie est li´ e aux probl` emes de va-

riations du spectre de l’op´ erateur de Dirac [BG92]. En effet, les auteurs mo- difient la m´ etrique de M dans la direction d’un tenseur sym´ etrique k, i.e. ils consid` erent la famille de m´ etriques g

_t

= g

_M

+ tk et ils montrent que, pour tout spineur Ψ ∈ ΣM, on a

d

dt (D

_t

Ψ

_t

, Ψ

_t

)|

_t=0

= − 1 2

Z

M

(k, T

_Ψ

)v

_gM

,

o` u T

^Ψ

= T

_Ψ

/|Ψ|

²

et Ψ

_t

est le transport parall` ele de Ψ le long de la courbe t −→ t. En s’appuyant sur ce r´ esultat, Th. Friedrich et E. C. Kim [FK00]

ont montr´ e que les ´ equations d’Einstein-Dirac, i.e.

D

_M

Ψ = λΨ et Ric

_M

− Scal

_M

2 g

_M

= 1 2 T

_Ψ

,

o` u Ric

_M

et Scal

_M

sont respectivement la courbure de Ricci et la courbure scalaire de M, sont les ´ equations d’Euler-Lagrange d’une fonctionnelle as- soci´ ee ` a Ψ. Une section sp´ eciale du fibr´ e des spineurs, appel´ ee spineur de Killing faible est une solution des ´ equations ci-dessus.

La deuxi` eme direction dans cette th` ese est la th´ eorie des feuilletages. Un premier point de vue des feuilletages est un syst` eme diff´ erentiel dont les so- lutions apparaissent comme les feuilles du feuilletage. Ce point de vue est li´ e au th´ eor` eme de Frobenius, o` u la condition d’int´ egrabilit´ e d’un syst` eme de codimension 1 est w ∧ dw = 0, w ´ etant une 1-forme diff´ erentielle qui d´ efinit le syst` eme. Un autre point de vue de la th´ eorie des feuilletages est la d´ ecomposition d’une vari´ et´ e en sous-vari´ et´ es de mˆ eme dimension. Ces sous- vari´ et´ es s’appellent les feuilles de F. Ainsi deux diff´ erentes structures appa- raissent dans la th´ eorie des feuilletages : la structure longitudinale, i.e. celles des feuilles et la structure transverse, i.e. orthogonale aux feuilles.

La th´ eorie des feuilletages a ´ et´ e introduite par H. Hopf en liaison avec la question de l’existence d’un champ de 2-plans compl` etement int´ egrable sur la 3-sph` ere. Elle a ´ et´ e d´ evelopp´ ee plus tard par Ehresmann, et al. En 1958, B. Reinhart [Rei59] a introduit la notion de feuilletage riemannien d´ efini par la donn´ ee d’une m´ etrique riemannienne g

_Q

sur le fibr´ e normal Q invariante le long des feuilles. De plus, il a introduit la notion d’une m´ etrique quasi-fibr´ ee, i.e. la m´ etrique sur Q est la m´ etrique induite qu’il a d´ ecrite g´ eom´ etriquement : en effet toute g´ eod´ esique orthogonale au feuilletage en un point reste ortho- gonale au feuilletage en tout point.

L’existence d’une telle m´ etrique induit une connexion m´ etrique ∇ sur le

une propri´ et´ e fondamentale dans le sens qu’elle s’annule le long des feuilles.

On peut ainsi lui associer la courbure de Ricci transversale et la courbure scalaire transversale.

Dans le but d’´ etablir un th´ eor` eme de l’indice transversal et d’´ etudier une ver- sion du th´ eor` eme d’Atiyah-Singer pour un feuilletage riemannien, J. F. Gla- zebrook et F. W. Kamber [GK91a, GK91b] ont introduit l’op´ erateur de Dirac transversal sur le fibr´ e normal, suppos´ e spinoriel. Il se trouve qu’un terme en courbure moyenne κ apparaˆıt dans l’expression locale de l’op´ erateur de Dirac transversal et que sa restriction aux spineurs basiques (les spineurs constants le long des feuilles) d´ efinit l’op´ erateur de Dirac basique qui a un spectre dis- cret [ElK90, EG97] si et seulement si le feuilletage est isoparam´ etrique, i.e. la courbure moyenne est constante le long des feuilles. Ils ont ´ etabli de plus une formule de type Schr¨ odinger-Lichnerowicz pour cet op´ erateur et ont d´ eduit que son indice analytique transversal est nul sous certaines conditions sur le feuilletage.

Dans [Jun01, JK03], S. D. Jung ´ etudie le spectre de l’op´ erateur de Dirac basique pour diff´ erentes structures transverses. Il a montr´ e une in´ egalit´ e de type Friedrich pour la premi` ere valeur propre ainsi qu’une in´ egalit´ e de type Kirchberg (en dimension complexe impaire) dans le cas o` u le fibr´ e normal porte une structure k¨ ahl´ erienne. L’importance de ces estimations est qu’elles n’exigent pas la positivit´ e de la courbure scalaire transversale car la courbure moyenne κ intervient dans la borne inf´ erieure. Le fait que le feuilletage soit minimal caract´ erise le cas limite de ces estimations.

Finalement, plusieurs questions restent encore importantes dans le cadre d’un feuilletage spinoriel. La classification de Berger-Simon du groupe d’holonomie du fibr´ e normal constitue un premier pas vers la classification des feuilletages admettant des spineurs parall` eles ou Killing basiques. D’o` u la question : Peut-on d´ eduire une g´ eom´ etrie particuli` ere sur la vari´ et´ e M et sur le feuille- tage de l’existence de spineurs transversaux particuliers ?

Pr´ esentation des r´ esultats

Dans le premier chapitre, on commence par introduire les feuilletages sur une

vari´ et´ e en illustrant plusieurs exemples. On s’int´ eresse plus particuli` erement

aux feuilletages riemanniens et on adapte les d´ efinitions consid´ er´ ees par P.

Tondeur [Ton88]. On d´ efinit la notion d’une structure spinorielle transversale comme une g´ en´ eralisation d’une structure spinorielle sur une vari´ et´ e et on introduit l’op´ erateur de Dirac transversal et basique. On continue dans la direction prise par F. W. Kamber et J. F. Glazebrook et on montre une for- mule de type Schr¨ odinger-Lichnerowicz pour l’op´ erateur de Dirac transversal.

Une premi` ere cons´ equence de cette formule est que le noyau de l’op´ erateur de Dirac basique est trivial si le terme Scal

^∇

+ |κ|

²

est positif (Scal

^∇

est la courbure scalaire transversale). Finalement, on montre une in´ egalit´ e de type Friedrich en utilisant l’op´ erateur des twisteurs transversal. Le cas limite est caract´ eris´ e par l’existence d’un spineur de Killing basique et le fait que le feuilletage est minimal. Comme cons´ equence de l’existence de ces spineurs, le fibr´ e normal est d’Einstein.

L’´ etude des submersions riemanniennes va donner une interpr´ etation natu- relle du tenseur d’impulsion-´ energie dans le cadre des feuilletages. Dans le deuxi` eme chapitre, on g´ en´ eralise l’´ egalit´ e (0.0.2). On suppose que, sur une vari´ et´ e spinorielle (M

ⁿ

, g

_M

), il existe un champ de spineurs Ψ qui satisfait pour tout X ∈ T M, l’´ equation ∇

^M_X

Ψ = −E(X) · Ψ, o` u E est un endomor- phisme de T M. En utilisant les propri´ et´ es de la multiplication de Clifford, on trouve que la partie sym´ etrique de E est le tenseur T

^Ψ

et la partie anti- sym´ etrique est le tenseur d´ efini sur le compl´ ementaire des z´ eros de Ψ, par

Q

^Ψ

(X, Y ) = 1

2 <(Y · ∇

^M_X

Ψ − X · ∇

^M_Y

Ψ, Ψ

|Ψ|

²

),

o` u X, Y ∈ T M. D’o` u, si on modifie la connexion de Levi-Civita dans la direction de T

^Ψ

et Q

^Ψ

, on montre que le laplacien scalaire est minor´ e par la norme de ces deux tenseurs. Ainsi on obtient une nouvelle estimation de la premi` ere valeur propre de l’op´ erateur de Dirac de M en faisant intervenir le tenseur Q

^Ψ

et on a

λ

²₁

≥ inf

M

( Scal

_M

4 + |T

^Ψ

|

²

+ |Q

^Ψ

|

²

), (0.0.3) o` u Ψ est un spineur propre de D

_M²

. De plus on montre que, si en particulier la vari´ et´ e M porte une structure k¨ ahl´ erienne, alors l’estimation (0.0.3) am´ eliore celle de Friedrich.

Il se trouve que la g´ eom´ etrie transverse et plus particuli` erement celle des flots riemanniens, qui sont localement donn´ es par des submersions riemanniennes

`

a fibres de dimension 1, va permettre de caract´ eriser g´ eom´ etriquement le ten-

par

A

_X

Y = π

^⊥

(∇

^M_π(X)

π(Y )) + π(∇

^M_π(X)

π

^⊥

(Y )),

o` u π : T M −→ Q est la projection et π

^⊥

= Id − π. La g´ eom´ etrie du fibr´ e normal est compl` etement d´ etermin´ ee par ce tenseur du fait qu’il est reli´ e ` a la projection du crochet de Lie sur le fibr´ e normal. Si le tenseur d’O’Neill s’an- nule, alors le fibr´ e normal est int´ egrable et si de plus la courbure moyenne est nulle, la vari´ et´ e est localement un produit de deux vari´ et´ es riemanniennes. Ce produit est global si M est simplement connexe et compl` ete. Ainsi, si le fibr´ e normal d’un flot riemannien admet un spineur parall` ele, alors le tenseur Q

^Ψ

peut ˆ etre interpr´ et´ e comme le tenseur d’O’Neill du flot. On a la proposition suivante :

Proposition 0.0.1 Soit M une vari´ et´ e riemannienne spinorielle munie d’un flot riemannien F . Si le fibr´ e normal admet un spineur parall` ele Ψ, alors, pour tous Z, W ∈ Γ(Q), on a

Q

^Ψ

(Z, W ) = − 1

2 g

_M

(A

_Z

ξ, W ),

o` u A est le tenseur d’O’Neill et ξ est le champ unitaire qui d´ efinit le flot.

Le groupe d’Heisenberg qui est une fibration riemannienne sur le tore plat est un exemple de la proposition pr´ ec´ edente. Un cas particulier des flots riemanniens est celui des vari´ et´ es de Sasaki. Le flot d´ efini par le champ de Killing ξ est riemannien ` a fibres totalement g´ eod´ esiques et le fibr´ e normal porte une structure de K¨ ahler. D’o` u le fait qu’une structure g´ eom´ etrique particuli` ere apparaˆısse sur le fibr´ e normal dans le cas o` u l’´ egalit´ e dans (0.0.3) est atteinte. On trouve

Th´ eor` eme 0.0.2 Soit (M, g

_M

) une vari´ et´ e de Sasaki simplement connexe spinorielle de dimension 2m + 1 et (ξ, h, η) sa structure de Sasaki. Si le fibr´ e normal Q admet un spineur parall` ele Ψ, alors M est η-Einstein. De plus, si le cas limite de l’in´ egalit´ e (0.0.3) est atteint, alors Q porte une structure hyperk¨ ahl´ erienne de rang n = 2m = 8k. Dans ce cas le spineur Ψ est harmo- nique pour l’op´ erateur de Dirac de M.

On relie le tenseur d’impulsion-´ energie aux probl` emes de la variation du spectre de l’op´ erateur de Dirac. Plus pr´ ecis´ ement, si on varie la m´ etrique de M dans la direction du flot, i.e. on consid` ere la famille de m´ etriques g

_t

= t

²

g

_ξ

+ g

_Q

. Alors on montre que

d

dt (D

_t

Ψ, Ψ)|

_t=1

= −T

_Ψ

(ξ, ξ),

o` u D

_t

est l’op´ erateur de Dirac associ´ e ` a g

_t

. Si, de plus, la vari´ et´ e M est com- pacte, alors le spectre de D

_t

tend vers celui de l’op´ erateur de Dirac basique.

On termine ce chapitre en traitant le cas des petites dimensions. On com- mence par consid´ erer plusieurs exemples en dimension 3. On montre en parti- culier que le fibr´ e hyperbolique T

³B

= T

²

× R /(x, y) ∼ (B (x), y + 1), o` u B est une matrice de SL

₂

( Z ) vue comme un diff´ eomorphisme du tore plat, n’admet de spineurs parall` eles transversaux que si B est l’identit´ e, i.e. si T

³B

est le tore plat T

³

. De plus, il v´ erifie intrins` equement, ainsi que le groupe d’Heisenberg, le cas d’´ egalit´ e dans (0.0.1). L’existence, sur un flot riemannien, d’un spineur parall` ele basique va donner une g´ eom´ etrie particuli` ere en dimension 3. On montre en effet que le revˆ etement universel de M, suppos´ ee compacte, est R

³

et la vari´ et´ e M est une fibration de Seifert ` a fibres totalement g´ eod´ esiques.

De plus on a

Th´ eor` eme 0.0.3 Soit (M

³

, g

_M

, F ) une vari´ et´ e riemannienne compacte mu- nie d’un flot riemannien harmonique F . Alors les donn´ ees suivantes sont

´ equivalentes :

1. le fibr´ e normal admet un spineur parall` ele Ψ;

2. la courbure scalaire transversale est nulle et Ψ est une solution de D

_M

Ψ = b

2 Ψ, avec |Ψ| = 1.

On obtient ainsi l’analogue de la caract´ erisation des surfaces ´ etablie par Th. Friedrich. Les vari´ et´ es Nil

3

et Sol

3

sont des exemples de vari´ et´ es de di- mension 3 admettant des spineurs parall` eles transversaux.

Les submersions riemanniennes ´ etaient le point cl´ e dans la classification des

vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes admettant des spineurs de Killing k¨ ahl´ eriens. C’est ainsi

que les feuilletages k¨ ahl´ eriens et K¨ ahler-quaternioniens apparaissent dans ce

cadre et le probl` eme de g´ en´ eraliser les estimations connues s’impose naturel-

lement. Pour cela, on consid` ere le cas o` u le fibr´ e normal porte une struc-

ture k¨ ahl´ erienne [Hab05] et K¨ ahler-quaternionienne [Haba]. On introduit

les ingr´ edients basiques sur ces feuilletages pour ´ etablir les estimations. On

montre que les in´ egalit´ es de Kirchberg restent vraies pour n’importe quelle

dimension complexe. La preuve que nous pr´ esentons est bas´ ee sur l’utilisation

de l’op´ erateur des twisteurs k¨ ahl´ erien transversal comme dans le cas d’une

vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne. On a alors

g

_M

. Alors la premi` ere valeur propre λ de l’op´ erateur de Dirac basique satisfait λ

²

≥ m + 1

4m K

₀^∇

si m est impair, (0.0.4) et

λ

²

≥ m

4(m − 1) K

₀^∇

si m est pair, (0.0.5) o` u K

₀^∇

= inf

_M

(Scal

^∇

+ |κ|

²

). Le cas limite de (0.0.4) est caract´ eris´ e par le fait que le feuilletage est minimal et par l’existence d’un spineur de Killing k¨ ahl´ erien basique. Un spineur qui v´ erifie une ´ equation plus compliqu´ ee ca- ract´ erise le cas limite de (0.0.5). Dans ce cas, la courbure scalaire transversale est constante.

De mˆ eme si le fibr´ e normal porte une structure K¨ ahler-quaternion, ` a cour- bure scalaire transversale positive (ces feuilletages sont d’Einstein), alors on montre une estimation qui am´ eliore les in´ egalit´ es de Kirchberg et on a le Th´ eor` eme 0.0.5 Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, et si le feuille- tage F est K¨ ahler-quaternionien spinoriel de codimension q = 4m, alors le feuilletage est minimal et la premi` ere valeur propre λ de l’op´ erateur de Dirac basique satisfait

λ

²

≥ m + 3

4(m + 2) Scal

^∇

. (0.0.6)

La preuve de l’in´ egalit´ e (0.0.6) est une adaptation de celle de [KSW99,

KSW98b, BHMM]. Le point cl´ e est de montrer que le feuilletage est mi-

nimal du fait que le premier groupe de cohomologie basique soit nulle. C’est

une une cons´ equence de la positivit´ e de la courbure de Ricci transversale. Le

cas limite de (0.0.6) est caract´ eris´ e par l’existence d’un spineur de Killing

K¨ ahler-quaternionien basique.

Chapitre 1

Introduction ` a la g´ eom´ etrie spinorielle des feuilletages

“Nul ne peut atteindre l’aube sans passer par le chemin de la nuit”

Khalil Gebran

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, on introduit la notion de feuilletage spinoriel sur une vari´ et´ e M . On commence par d´ efinir un feuilletage comme ´ etant une d´ ecomposition de M en sous-vari´ et´ es de mˆ eme dimension localement donn´ ees par les images inverses de submersions. Plus pr´ ecisement, un feuilletage de codimension q sur M est la donn´ ee d’un recouvrement {U

_i

}

i∈I

, de submersions f

_i

: U

_i

−→ N (o` u N est une vari´ et´ e de dimension q) et de diff´ eomorphismes locaux γ

_ij

: f

_i

(U

_i

∩ U

_j

) −→ f

_j

(U

_i

∩ U

_j

) tels que f

_j

= γ

_ij

◦ f

_i

. Les feuilles sont donn´ ees sur l’ouvert U

_i

par les images inverses par f

_i

des points de N et la structure transverse du feuilletage est d´ etermin´ ee par la vari´ et´ e N et les diff´ eomorphismes γ

_ij

.

Th´ eor` eme 1.1.1 Soit M une vari´ et´ e compacte munie d’un feuilletage spi- noriel F et d’une m´ etrique riemannienne quasi-fibr´ ee g

_M

. On suppose que la 1-forme κ de courbure moyenne est basique et harmonique. Alors la premi` ere valeur propre λ de l’op´ erateur de Dirac basique satisfait

λ

²

≥ q

4(q − 1) K

₀^∇

, (1.1.1)

o` u K

₀^∇

= inf

M

(Scal

^∇

+ |κ|

²

) et Scal

^∇

est la courbure scalaire transversale

associ´ ee ` a ∇.

Le cas limite de (1.1.1) est caract´ eris´ e par le fait que le feuilletage soit minimal et par l’existence d’un spineur de Killing basique.

1.2 Pr´ eliminaires

On se donne une vari´ et´ e diff´ erentielle M de dimension p+q, suppos´ ee connexe et orient´ ee.

D´ efinition 1.2.1 Un feuilletage F de M de codimension q est la donn´ ee d’un recouvrement ouvert {U

_i

}

i∈I

de M et de submersions f

_i

: U

_i

−→ N o` u N est une vari´ et´ e diff´ erentielle de dimension q, et tels que pour i, j ∈ I, U

i

∩U

j

6= ∅, on ait un diff´ eomorphisme γ

ij

: f

i

(U

i

∩U

j

) −→ f

j

(U

i

∩U

j

) qui satisfait

f

_j

= γ

_ij

◦ f

_i

. (1.2.1)

Autrement dit, un feuilletage est une d´ ecomposition de M en une famille de sous-vari´ et´ es connexes de dimension p. Chaque sous-vari´ et´ e s’appelle feuille de F et localement chaque feuille est l’image inverse par f

_i

d’un point de N. La condition (1.2.1) montre que, sur U

_i

∩ U

_j

, les feuilles d´ efinies par les submersions f

_i

et f

_j

co¨ıncident.

D´ efinition 1.2.2 Une structure transverse ` a F est la donn´ ee d’une structure g´ eom´ etrique sur la vari´ et´ e N invariante par les diff´ eomorphismes locaux γ

_ij

. Exemples

1. Un feuilletage F est dit riemannien [Rei59], s’il existe une m´ etrique riemannienne sur N telle que les γ

_ij

pr´ eservent la m´ etrique de N, c’est-

`

a-dire les γ

ij

sont des isom´ etries.

2. Un feuilletage F est dit transversalement spinoriel [ElK01], si la vari´ et´ e N est spinorielle et si la structure spinorielle est pr´ eserv´ ee par les γ

_ij

. 3. Un feuilletage F est dit transversalement k¨ ahl´ erien (resp. transversa-

lement K¨ ahler-quaternionien) [TN88], si la vari´ et´ e N est k¨ ahl´ erienne (resp. K¨ ahler-quaternionienne) et si les γ

_ij

pr´ eservent la structure k¨ ahl´ erienne (resp. K¨ ahler-quaternionienne).

Soient maintenant (M, g

_M

, F ) une vari´ et´ e riemannienne de dimension p + q et F un feuilletage de codimension q. On note L le sous-fibr´ e vectoriel de T M tangent aux feuilles et on consid` ere la suite exacte :

0 −→ L −→

ⁱ

T M −→

^π

Q −→ 0,

o` u Q d´ esigne le fibr´ e quotient T M/L. L’existence d’une m´ etrique rieman-

nienne sur M d´ ecompose orthogonalement l’espace tangent de M en L et

1.2 Pr´ eliminaires 23

L

^⊥

, et on a un isomorphisme σ : Q −→ L

^⊥

. La m´ etrique g

_M

se d´ ecompose ainsi en

g

_M

= g

_L

⊕ g

_L^⊥

.

Ainsi l’image r´ eciproque de g

_L^⊥

par σ induit une m´ etrique sur le fibr´ e Q faisant de l’isomorphisme σ une isom´ etrie. Dans la suite, on identifiera Q ` a L

^⊥

en tant que fibr´ es vectoriels.

Revenons aux cas des feuilletages riemanniens. L’image r´ eciproque de la m´ etrique sur N par les submersions f

_i

induit une m´ etrique g

_Q

sur le fibr´ e Q invariante le long des feuilles. Elle v´ erifie [Rei59]

L

_X

g

_Q

= 0, ∀X ∈ Γ(L), (1.2.2)

o` u L

_X

d´ esigne la d´ eriv´ ee de Lie dans la direction de X. Cette condition s’appelle la condition d’invariance d’holonomie. L’´ egalit´ e (1.2.2) assure l’exis- tence d’une connexion de Levi-Civita transversale sur le fibr´ e normal [Ton88].

On a la proposition suivante :

Proposition 1.2.3 Soit g

_Q

une m´ etrique d´ efinie sur le fibr´ e normal Q qui v´ erifie (1.2.2). Alors il existe une unique connexion m´ etrique ∇ ` a torsion nulle.

La preuve de cette proposition se fait de la mˆ eme mani` ere que dans le cas riemannien. La connexion ∇ peut ˆ etre vue comme l’image r´ eciproque de la connexion de Levi-Civita de N par les submersions qui d´ efinissent F . La torsion sur Q est d´ efinie pour tous X, Y ∈ T M par

T

^∇

(X, Y ) = ∇

_X

π(Y ) − ∇

_Y

π(X) − π[X, Y ],

o` u π : T M −→ Q est la projection. La courbure R

^∇

agit sur Γ(Q) par R

^∇

(X, Y ) = ∇

_X

∇

_Y

− ∇

_Y

∇

_X

− ∇

_[X,Y]

,

o` u X, Y ∈ T M. Une propri´ et´ e fondamentale de R

^∇

dans le cas des feuilletages riemanniens est la suivante,

Proposition 1.2.4 Pour tout X ∈ Γ(L), on a

X x R

^∇

= 0,

o` u x d´ esigne le produit int´ erieur.

Preuve Le fait que la torsion sur Q soit nulle implique que pour tous X ∈ Γ(L) et Y ∈ T M, on a ∇

_X

π(Y ) = π[X, Y ]. D’o` u pour X, X

⁰

∈ Γ(L) et Y ∈ Γ(Q), on calcule

R

^∇

(X, X

⁰

)Y = ∇

_X

∇

_X⁰

Y − ∇

_X⁰

∇

_X

Y − ∇

_[X,X⁰_]

Y

= ∇

_X

π[X

⁰

, Y ] − ∇

_X⁰

π[X, Y ] − π[[X, X

⁰

], Y ]

= π[X, [X

⁰

, Y ]] − π[X

⁰

, [X, Y ]] − π[[X, X

⁰

], Y ] = 0.

La derni` ere ´ egalit´ e est une cons´ equence de l’identit´ e de Jacobi. Il reste ` a montrer que R

^∇

(X, Y )Z = 0 pour Y, Z ∈ Γ(Q). Pour cela, on commence par montrer le lemme suivant,

Lemme 1.2.5 Pour toute connexion ∇ sur le fibr´ e normal ` a torsion nulle, on a

R

^∇

(X, Y )Z = R

^∇

(X, Z)Y, o` u X ∈ Γ(L) et Y, Z ∈ Γ(Q).

Preuve La torsion de ∇ ´ etant nulle, on a pour tous X ∈ Γ(L) et Y, Z ∈ Γ(Q), R

^∇

(X, Y )Z = ∇

_X

∇

_Y

Z − ∇

_Y

∇

_X

Z − ∇

_[X,Y]

Z

= ∇

_X

∇

_Y

Z − ∇

_Y

π[X, Z] − ∇

_Z

π[X, Y ] − π[[X, Y ], Z]

= ∇

_X

∇

_Y

Z − ∇

_[X,Z]

Y − π[Y, [X, Z]] − ∇

_Z

∇

_X

Y − π[[X, Y ], Z]

= ∇

_X

∇

_Y

Z − R

^∇

(Z, X)Y − ∇

_X

∇

_Z

Y − π[Y, [X, Z ]]

−π[[X, Y ], Z]

= R

^∇

(X, Z)Y + ∇

X

π[Y, Z] − π[Y, [X, Z ]] − π[[X, Y ], Z]

= R

^∇

(X, Z)Y + π[X, [Y, Z]] − π[Y, [X, Z]] − π[[X, Y ], Z]

= R

^∇

(X, Z)Y.

Si la connexion ∇ est m´ etrique, alors la 4-forme g

_Q

(R

^∇

(X, Y )Z, W ) est an- tisym´ etrique en Z et W. En effet,

g

Q

(R

^∇

(X, Y )Z, Z ) = g

Q

(∇

X

∇

Y

Z − ∇

Y

∇

X

Z − ∇

_[X,Y]

Z, Z )

= X(g

_Q

(∇

_Y

Z, Z)) − g

_Q

(∇

_Y

Z, ∇

_X

Z) − Y (g

_Q

(∇

_X

Z, Z)) +g

_Q

(∇

_Y

Z, ∇

_X

Z) − 1

2 [X, Y ](g

_Q

(Z, Z))

= 1

2 X(Y (g

_Q

(Z, Z ))) − 1

2 Y (X(g

_Q

(Z, Z )))

− 1

2 [X, Y ](g

_Q

(Z, Z))

= 0.

1.2 Pr´ eliminaires 25

La connexion de Levi-Civita transversale ´ etant m´ etrique ` a torsion nulle, on obtient alors par ce lemme que pour Y, Z ∈ Γ(Q),

0 = g

_Q

(R

^∇

(X, Z)Y, Y ) = g

_Q

(R

^∇

(X, Y )Z, Y ) = −g

_Q

(R

^∇

(X, Y )Y, Z ).

On en d´ eduit que R

^∇

(X, Y )Y = 0. En utilisant de nouveau le lemme, on trouve

0 = R

^∇

(X, Y + Z)(Y + Z )

= R

^∇

(X, Y )Y + R

^∇

(X, Y )Z + R

^∇

(X, Z)Y + R

^∇

(X, Z)Z

= 2R

^∇

(X, Y )Z.

On a alors le r´ esultat demand´ e.

On peut d´ eduire de la proposition pr´ ec´ edente que, pour tous Y, Z ∈ Γ(Q), l’op´ erateur R

^∇

(Y, Z ) : Γ(Q) −→ Γ(Q) est un endomorphisme bien d´ efini.

De plus, il v´ erifie la premi` ere identit´ e de Bianchi. En effet, pour tous X, Y, Z ∈ Γ(Q), on a

X

cyclique

R

^∇

(X, Y )Z = X

cyclique

(∇

_X

∇

_Y

Z − ∇

_Y

∇

_X

Z − ∇

_[X,Y]

Z)

= X

cyclique

(∇

_Z

∇

_X

Y − ∇

_Z

∇

_Y

X − ∇

_[X,Y]

Z)

= X

cyclique

(∇

_Z

(π[X, Y ]) − ∇

_[X,Y]

Z)

= X

cyclique

π[Z, [X, Y ]] = 0.

La derni` ere ´ egalit´ e est une cons´ equence de l’identit´ e de Jacobi. L’´ equation (1.2.2) am` ene ` a la d´ efinition suivante :

D´ efinition 1.2.6 Une m´ etrique g

_M

sur M est dite quasi-fibr´ ee si la m´ etrique induite g

_Q

sur Q v´ erifie la condition d’invariance d’holonomie.

Dans ce cas, la connexion de Levi-Civita transversale est donn´ ee pour tout Y ∈ Γ(Q) par [Ton88]

∇

_X

Y =







π[X, Y ], ∀X ∈ Γ(L) , π(∇

^M_X

Y ), ∀X ∈ Γ(Q) ,

(1.2.3)

o` u ∇

^M

d´ esigne la connexion de Levi-Civita associ´ ee ` a M. On v´ erifie facile-

ment que la connexion ∇ d´ efinie par (1.2.3) est m´ etrique ` a torsion nulle. Un

exemple de feuilletage riemannien est donn´ e par un champ de Killing ξ non singulier sur M. Le feuilletage d´ efini par les orbites de ξ est riemannien et la m´ etrique induite sur Q est quasi-fibr´ ee.

Dans la suite, on consid´ erera un feuilletage riemannien avec une m´ etrique quasi-fibr´ ee.

D´ efinition 1.2.7 On d´ efinit la courbure de Ricci transversale par Ric

^∇

: Γ(Q) −→ Γ(Q)

Y 7−→ Ric

^∇

Y = P

q

i=1

R

^∇

(Y, e

_i

)e

_i

,

o` u {e

_i

}

i=1,···,q

est un rep` ere local orthonorm´ e de Γ(Q). De mˆ eme, on d´ efinit la courbure scalaire transversale Scal

^∇

comme ´ etant la trace de la courbure de Ricci transversale. Un feuilletage F est dit transversalement d’Einstein si la courbure de Ricci transversale est proportionelle ` a g

_Q

.

La seconde forme fondamentale II du fibr´ e L est d´ efinie comme ´ etant la seconde forme fondamentale de chaque feuille de F . Ainsi, on a

II : Γ(L) × Γ(L) −→ Γ(Q)

(X, Y ) 7−→ II(X, Y ) = π(∇

^M_X

Y ).

D’o` u II est sym´ etrique par l’int´ egrabilit´ e de L. La courbure moyenne κ de F est donn´ ee pour tout Y ∈ Γ(Q) par κ(Y ) = g

_Q

(τ, Y ), o` u τ est la trace de la seconde forme fondamentale. Un feuilletage est dit minimal si chaque feuille est minimale, c’est-` a-dire si la courbure moyenne est nulle. Ainsi, un feuille- tage est dit totalement g´ eod´ esique si chaque feuille est totalement g´ eod´ esique ce qui revient ` a dire que la seconde forme fondamentale est nulle.

On d´ efinit l’espace des r-formes basiques par :

Ω

^r_B

(F ) = {α ∈ Λ

^r

T

^∗

M | X x α = 0 et L

_X

α = 0, ∀X ∈ Γ(L)}, o` u X x est le produit int´ erieur. Dans une carte locale {x

₁

, · · · , x

_p

, y

₁

, · · · , y

_q

} de M, les r-formes basiques s’´ ecrivent

X

1≤j1<···<jr≤q

β

_j1,···,jr

dy

_j1

∧ · · · ∧ dy

_jr

,

o` u

_∂x^∂

l

β

_j1,···,jr

= 0, ∀l = 1, · · · , p. On note Ω

_B

(F ) = ⊕

^p+q_r=0

Ω

^r_B

(F ) l’alg` ebre

tensorielle des formes basiques. La restriction d

_B

= d|

_ΩB(F)

est bien d´ efinie

1.3 L’op´ erateur de Dirac transversal 27

du fait que la d´ eriv´ ee ext´ erieure pr´ eserve les formes basiques. En effet, pour tous X ∈ Γ(L) et α une forme basique, on a

X x dα = L

_X

α − d(X x α).

Un feuilletage est dit isoparam´ etrique si la 1-forme κ de courbure moyenne est basique. Si la vari´ et´ e est en plus compacte, κ est ferm´ ee [TK83]. La cohomologie basique de F est l’homologie du complexe (Ω

^∗_B

(F), d

_B

), elle est not´ ee H

_B^∗

(F ). Elle joue le rˆ ole de la cohomologie de De Rham de l’espace des feuilles de F. Soit δ

_B

l’adjoint de d

_B

pour le produit scalaire induit de celui de Λ

^r

T

^∗

M. Si le feuilletage est isoparam´ etrique, alors on a [AL92]

d

_B

=

q

X

i=1

e

^?_i

∧ ∇

_ei

et δ

_B

= −

q

X

i=1

e

_i

x ∇

_ei

+ κ x , (1.2.4) o` u {e

_i

}

i=1,···,q

est un rep` ere local orthonorm´ e de Γ(Q). La d´ emonstration de (1.2.4) se fait de la mˆ eme mani` ere que le cas ordinaire. Le terme en κ dans l’expression de δ

_B

est une cons´ equence de la formule de Green sur un feuilletage riemannien qu’on va rappeler dans le th´ eor` eme suivant [YT90] : Th´ eor` eme 1.2.8 Soit M une vari´ et´ e compacte munie d’un feuilletage rie- mannien F de codimension q et d’une m´ etrique riemannienne quasi-fibr´ ee g

_M

. Pour tout Y ∈ Γ(Q), on a

Z

M

div

_Q

Y = Z

M

g

_M

(κ, Y ),

o` u la divergence d’une section Y ∈ Γ(Q) est d´ efinie pour tout rep` ere local orthonorm´ e {e

i

}

i=1,···,q

de Γ(Q) par div

Q

Y = P

q

i=1

g

Q

(∇

ei

Y, e

i

).

La preuve de ce th´ eor` eme est bas´ ee sur le fait que, pour tout Y ∈ Γ(Q), on a div

_M

Y = −g

_M

(Y, κ) + div

_Q

Y.

Ainsi l’int´ egrale sur M donne le r´ esultat demand´ e. Finalement, on termine cette section en d´ efinissant le laplacien basique comme ´ etant

∆

_B

= d

_B

◦ δ

_B

+ δ

_B

◦ d

_B

.

1.3 L’op´ erateur de Dirac transversal

Dans cette section, on va introduire l’op´ erateur de Dirac transversal sur un

feuilletage riemannien et on va ´ etablir une formule de type Schr¨ odinger-

Lichnerowicz pour cet op´ erateur. Pour cela, on consid` ere une vari´ et´ e M munie

d’un feuilletage F et une connexion m´ etrique ∇ d´ efinie sur le fibr´ e normal Q. On suppose que F est transversalement orient´ e et on note par SOQ le fibr´ e au dessus de M des rep` eres orthonorm´ es de Γ(Q). On a [LM89]

D´ efinition 1.3.1 Une structure spinorielle transversale est la donn´ ee d’un couple (SpinQ, η) o` u SpinQ est un Spin

_q

-fibr´ e principal sur M et η est un revˆ etement ` a deux feuillets tel que le diagramme suivant commute

SpinQ × Spin

_q

SpinQ M

SOQ × SO

_q

SOQ

-

?

η⊗Ad

?

η

-

-

3

Les applications

SpinQ × Spin

_q

−→ SpinQ et

SOQ × SO

_q

−→ SOQ

sont respectivement les actions de Spin

_q

et SO

_q

sur les fibr´ es principaux SpinQ et SOQ. L’application Ad : Spin

_q

−→ SO

_q

est d´ efinie pour tous u ∈ Spin

_q

et x ∈ R

^q

par Ad

u

(x) = u · x · u

⁻¹

. Dans ce cas, le feuilletage F est dit spinoriel.

Cette d´ efinition est ´ equivalente au fait que les fonctions de transition ϕ

_ij

de SOQ se rel` event ` a des fonctions de transition ϕ e

_ij

de SpinQ, i.e. le diagramme

Spin

_q

U

i

∩ U

j

⊂ M SO

q

?

Ad

3

e ϕij

-

ϕij

commute et les ϕ e

ij

satisfont la condition de cocycle ϕ e

_ij

ϕ e

_jk

= ϕ e

_ik

.

On d´ efinit le fibr´ e spinoriel complexe par

S(F) := SpinQ ×

_ρ

Σ

_q

, o` u

ρ : Spin

_q

−→ Aut(Σ

_q

)

1.3 L’op´ erateur de Dirac transversal 29

est la repr´ esentation spinorielle complexe et Σ

_q

est un C -espace vectoriel de dimension 2[

^q2

] , o` u [ ] d´ esignant la partie enti` ere. Une section Ψ de S(F ) est d´ efinie localement par :

Ψ|

_U

= [˜ s, α] ,

o` u ˜ s ∈ Γ

_U

(SpinQ), U ⊂ M et α : U −→ Σ

_q

est une fonction.

La multiplication de Clifford M agit sur Γ(S(F )) par : M : Γ(Q) × Γ(S(F )) −→ Γ(S(F))

(Y, Ψ) 7−→ Y · Ψ := [˜ s, ρ(σ)α], o` u Y = [˜ s, σ] et Ψ = [˜ s, α]. Le fibr´ e Q est vu via l’isomorphisme

Γ(Q) ' SpinQ ×

_Ad

R

^q

. Connexion sur le fibr´ e spinoriel

Consid´ erons un ouvert simplement connexe U de M et une section locale s ∈ Γ

_U

SOQ, c’est-` a-dire en tout point x ∈ U, on a s(x) = (e

₁

(x), · · · , e

_q

(x)) o` u {e

_i

}

i=1,···,q

est une base orthonorm´ ee directe de Γ(Q). Soit ω : T SOQ −→

so

_q

la 1-forme de connexion d´ efinie localement sur le fibr´ e principal SOQ par :

s

^?

ω = X

i<j

ω

_ij

e

_i

∧ e

_j

, o` u les ω

_ij

sont donn´ es par

∇

_X

e

_i

=

q

X

j=1

ω

_ij

(X)e

_j

,

pour tout X ∈ Γ(T M). Comme U est simplement connexe et comme η est un revˆ etement, alors la section s se rel` eve en une section ˜ s de SpinQ. On d´ efinit alors la 1-forme de connexion ˜ ω sur le fibr´ e principal SpinQ comme ´ etant l’unique 1-forme de connexion rendant le diagramme suivant commutatif :

T SpinQ spin

_q

T U ⊂ T M T SOQ so

_q

-

˜ ω

?

η∗

?

Ad∗

3

˜ s∗

-

s∗

-

ω

La d´ eriv´ ee covariante sur Γ(S(F)) est alors d´ efinie par

∇

_X

Ψ := [˜ s, X(α) + ρ

_?

(˜ ω ◦ ˜ s

_?

(X))α] ,

o` u Ψ = [˜ s, α] , X ∈ T U et X(α) d´ esigne la d´ eriv´ ee de Lie de α dans la direction du vecteur X.

Proposition 1.3.2 1. La 1-forme de connexion ω ˜ v´ erifie pour tout X ∈ Γ(T U )

˜

ω(˜ s

_?

(X)) = 1 2

X

i<j

ω

_ij

(X)e

_i

· e

_j

. 2. Pour tout spineur Ψ ∈ Γ(S(F )), on a localement

∇

_X

Ψ = X(Ψ) + 1 2

X

i<j

g(∇

_X

e

_i

, e

_j

)e

_i

· e

_j

· Ψ, o` u X ∈ Γ(T M ).

Ainsi on d´ efinit la courbure spinorielle transversale pour tous X, Y ∈ Γ(T M ) et Ψ ∈ Γ(S(F )) par

R

^S

(X, Y )Ψ = ∇

_X

∇

_Y

Ψ − ∇

_Y

∇

_X

Ψ − ∇

_[X,Y]

Ψ.

Par l’´ ecriture locale de la d´ eriv´ ee covariante, on a, pour tout rep` ere local orthonorm´ e {e

_i

}

i=1,···,q

de Γ(Q),

R

^S

(X, Y )Ψ = 1 4

q

X

i,j=1

g

_Q

(R

^∇

(X, Y )e

_i

, e

_j

)e

_i

· e

_j

· Ψ,

o` u X, Y ∈ Γ(T M ). Comme dans le cas d’une vari´ et´ e spinorielle, on v´ erifie qu’il existe un produit hermitien naturel sur Γ(S(F )) d´ efini par

< ·, · > : Γ(S(F)) × Γ(S(F )) −→ C

^∞

(M, C ) (Ψ, Φ) 7−→ < Ψ, Φ >,

o` u < Ψ, Φ > (x) =< Ψ(x), Φ(x) > est le produit hermitien dans Σ

q

[LM89].

Ce produit hermitien ainsi d´ efini est l’unique produit hermitien tel que les propri´ et´ es suivantes soient v´ erifi´ ees pour Y ∈ Γ(Q) et X ∈ Γ(T M ),

< Y · Ψ, Φ > = − < Ψ, Y · Φ >,

X(< Ψ, Φ >) = < ∇

_X

Ψ, Φ > + < Ψ, ∇

_X

Φ >, o` u Ψ, Φ ∈ Γ(S(F)).

Dans la suite, on va supposer que M est une vari´ et´ e munie d’un feuille- tage spinoriel F et d’une m´ etrique quasi-fibr´ ee g

M

. Le fibr´ e normal Q de F muni de la connexion (1.2.3) est un F -fibr´ e au sens de [ElK90] (i.e.

X x R

^∇

= 0, ∀X ∈ Γ(L)). En particulier, le fibr´ e spinoriel complexe S(F ) est

un F -fibr´ e. ´ Egalement pour les vari´ et´ es spinorielles, on peut ´ etablir l’identit´ e

de Ricci transversale. D’o` u, la proposition

1.3 L’op´ erateur de Dirac transversal 31

Proposition 1.3.3 Pour tous Y ∈ Γ(Q) et Ψ ∈ Γ(S(F )), on a

q

X

j=1

e

_j

· R

^S

(Y, e

_j

)Ψ = − 1

2 Ric

^∇

Y · Ψ, o` u {e

_j

}

j=1,···,q

est un rep` ere local orthonorm´ e de Γ(Q).

L’expression locale de R

^∇

et la premi` ere identit´ e de Bianchi permettent de d´ emontrer la proposition 1.3.3. En posant Y = e

_i

et en tra¸cant sur i, on obtient

q

X

i,j=1

e

i

· e

j

· R

^S

(e

i

, e

j

)Ψ = 1

2 Scal

^∇

Ψ. (1.3.1) Sur une vari´ et´ e spinorielle, il existe un op´ erateur diff´ erentiel elliptique d’ordre un agissant sur le fibr´ e des spineurs appel´ e l’op´ erateur de Dirac. Il est d´ efini comme ´ etant la compos´ ee de la d´ eriv´ ee covariante avec la multiplication de Clifford. Si la vari´ et´ e est compacte, cet op´ erateur est essentiellement auto- adjoint ayant un spectre discret.

On va transporter cette d´ efinition au cas des feuilletages riemanniens. Pour cela, on d´ efinit l’op´ erateur de Dirac transversal D [BK] comme la compos´ ee de

Γ(S(F ))

^∇

tr

−−−→ Γ(Q

^?

⊗ S(F)) −−→

^M

Γ(S(F ))

Ψ 7−→ P

q

i=1

e

^?_i

⊗ ∇

_ei

Ψ 7−→ P

q

i=1

e

_i

· ∇

_ei

Ψ,

o` u {e

_i

}

i=1,···,q

est un rep` ere local orthonorm´ e de Γ(Q) et ∇

^tr

est la projection de la connexion ∇. L’op´ erateur D ainsi d´ efini est transversalement elliptique.

De plus, pour tous Ψ, Φ ∈ Γ(S(F )), on a

(DΨ, Φ) = (Ψ, DΦ) − div

Q

Y,

o` u Y ∈ Γ(Q) est d´ efini par g

Q

(Y, e

i

) = (Ψ, e

i

· Φ). Alors, en tenant compte de la formule de Green, on remarque que cet op´ erateur n’est pas formellement auto-adjoint pour le produit scalaire L

²

. Pour cela, on consid` ere pour tout Ψ ∈ Γ(S(F )), l’op´ erateur D

tr

d´ efini par [GK91a, GK91b]

D

_tr

Ψ =

q

X

i=1

e

_i

· ∇

_ei

Ψ − 1

2 κ · Ψ. (1.3.2)

Cet op´ erateur d´ efini dans (1.3.2) est essentiellement auto-adjoint ayant un

spectre non discret. Pour rendre son spectre discret, on va rappeler un r´ esultat

d´ emontr´ e dans [ElK90, EG97].

Soit M une vari´ et´ e munie d’un feuilletage F . Un F -fibr´ e E, muni d’une connexion ∇, est dit hermitien s’il admet un produit hermitien d´ efini positif basique, (i.e. parall` ele le long des feuilles). Soit alors E un F -fibr´ e hermitien sur M, suppos´ ee compacte. On d´ efinit l’ensemble des sections basiques

Γ

_B

(E) = {s ∈ Γ(E)| ∇

_X

s = 0, ∀X ∈ Γ(L)}.

On a le th´ eor` eme suivant

Th´ eor` eme 1.3.4 Soit A un op´ erateur diff´ erentiel basique transversalement elliptique A : Γ

_B

(E) −→ Γ

_B

(E). Alors

1. Le noyau KerA est de dimension finie.

2. On a une d´ ecomposition orthogonale, Γ

_B

(E) = KerA ⊕ ImA

^∗

.

Si de plus l’op´ erateur A est auto-adjoint, alors il admet une base hilbertienne de L

²

(E) form´ ee de sections basiques et son spectre est discret.

Sur un feuilletage spinoriel F de M munie d’une m´ etrique quasi-fibr´ ee g

_M

, le fibr´ e S(F ) est un F-fibr´ e hermitien. D’o` u, on d´ efinit l’op´ erateur de Di- rac basique D

b

comme la restriction de D

tr

` a l’ensemble des sections ba- siques, not´ e Γ

_B

(S(F)). L’image de cet op´ erateur est incluse dans Γ

_B

(S(F )) si et seulement si le feuilletage est isoparam´ etrique. En effet, on consid` ere un rep` ere local orthonorm´ e {e

i

}

i=1,···,q

de Γ(Q) tel qu’en un point x de M, on ait ∇e

_i

|

_x

= 0. Soit Ψ un spineur basique. Alors pour tout X ∈ Γ(L), on a en x

∇

_X

D

_b

Ψ = ∇

_X

(

q

X

i=1

e

_i

· ∇

_ei

Ψ − 1 2 κ · Ψ)

=

q

X

i=1

e

i

· ∇

X

∇

ei

Ψ − 1

2 ∇

X

κ · Ψ − 1

2 κ · ∇

X

Ψ

=

q

X

i=1

e

_i

· (R

^S

(X, e

_i

)Ψ + ∇

_ei

∇

_X

Ψ + ∇

_[X,ei]

Ψ) − 1

2 ∇

_X

κ · Ψ.

Puisque X ∈ Γ(L), alors le premier terme s’annule. D’apr` es la d´ efinition de la connexion ∇, on a que [X, e

_i

]

_x

∈ L

_x

, d’o` u ∇

_[X,ei]

Ψ = 0. Ainsi D

_b

Ψ est ba- sique si et seulement si la courbure moyenne est constante le long des feuilles.

Ceci est ´ equivalent ` a dire que le feuilletage est isoparam´ etrique.

Ainsi le th´ eor` eme 1.3.4, appliqu´ e ` a E = S(F ), donne que le spectre de

l’op´ erateur de Dirac basique est discret si le feuilletage est isoparam´ etrique

1.3 L’op´ erateur de Dirac transversal 33

et la vari´ et´ e M est compacte. Les questions naturelles qu’on peut mainte- nant se poser : a-t-on des estimations des valeurs propres de l’op´ erateur de Dirac basique d’un feuilletage riemannien analogues ` a celles d’une vari´ et´ e spinorielle ? Si ces estimations existent, quelles interpr´ etations g´ eom´ etriques obtient-on sur le feuilletage et sur la vari´ et´ e ambiante ?

Les valeurs propres de l’op´ erateur de Dirac sur une vari´ et´ e riemannienne spinorielle sont estim´ ees grˆ ace ` a la formule de Schr¨ odinger-Lichnerowicz.

Cette formule relie le carr´ e de l’op´ erateur de Dirac au laplacien spinoriel

`

a un terme d’ordre z´ ero pr` es. On va ´ etablir une formule de Schr¨ odinger- Lichnerowicz pour l’op´ erateur de Dirac transversal. Pour cela, on note pour tous X, Y ∈ Γ(Q),

∇

²_X,Y

= ∇

_X

∇

_Y

− ∇

∇_XY

.

Alors sur un feuilletage riemannien, on a [GK91a, GK91b]

Proposition 1.3.5 Soit M une vari´ et´ e munie d’un feuilletage spinoriel F de codimension q et d’une m´ etrique quasi-fibr´ ee g

_M

. On suppose que la 1- forme κ de courbure moyenne est basique ferm´ ee et coferm´ ee. Alors pour tout Ψ ∈ Γ(S(F )), on a la formule de Schr¨ odinger-Lichnerowicz :

D

²_tr

Ψ = ∇

^?

∇

^tr

Ψ + 1

4 K

^∇

Ψ + 1 2

q

X

i,j=1

e

_i

· e

_j

· ∇

_π^⊥_([ei,ej])

Ψ,

o` u K

^∇

= Scal

^∇

+ |κ|

²

avec π

^⊥

: T M −→ L est la projection et

∇

^?

∇

^tr

= −

q

X

i=1

∇

²_e

i,ei

+ ∇

_κ

,

o` u {e

_i

}

i=1,···,q

est un rep` ere local orthonorm´ e de Γ(Q). Si de plus le spineur Ψ est basique, alors pour l’op´ erateur de Dirac basique on obtient

D

²_b

Ψ = ∇

^?

∇Ψ + 1

4 K

^∇

Ψ.