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UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2

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(1)

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2

`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2013/2014

´Episode II : Diagonalisation de matrices

E XERCICE 1

Soit f l’endomorphisme de R

3

dont la matrice dans la base canonique est :

A =

4 0 0

−1 4 2 0 0 4

1. Montrer que f n’est pas diagonalisable.

2. Montrer que (A − 4I)

2

= 0 (I d´esigne la matrice identit´e).

3. Soit u

2

= (1, 1, 1). Montrer que (f − 4Id) (u

2

) est un vecteur propre u

1

de f (Id d´esigne l’application identique de R

3

dans R

3

).

4. On pose u

3

= (2, 0, 1). Montrer que {u

1

, u

2

; u

3

} est une base de R

3

.

Quelle est la matrice de f dans cette base ? Calculer A

n

pour tout entier naturel n.

E XERCICE 2

Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est diagonalisable, et dans l’affirmative, diagonalisez-la puis v´erifier que le d´eterminant et la trace de cette matrice sont les mˆemes que pour la matrice diagonale associ´ee.

A =

2 1 1 2

B =

1 2 2 4

C =

2 1

−1 2

D =

3/2 1 1/2

0 3 0

1/2 1 3/2

 E =

3 0 1

−1 2 −1 1 0 3

 F =

1 −1 0

1 1 2

−1 1 0

E XERCICE 3

Soit A =

1 −3 3

−1 −1 1 2 −2 2

.

1. Montrer sans calculer le polyn ˆome caract´eristique que 0 est valeur propre de A.

2. Montrer que A est diagonalisable et en d´eduire A

n

pour tout entier naturel n.

E XERCICE 4

Soit A =

a b 0 0 1 −1 0 2 4

 une matrice `a coefficients r´eels.

1. Dire, selon les valeurs de a et de b, si la matrice A est diagonalisable.

2. Dans le cas o `u a = 3 et b = 0, diagonaliser A.

(2)

E XERCICE 5

Soit a ∈ R , notons A la matrice suivante

A =

0 1

−a 1 + a

On d´efinit une suite (u

n

)

n∈N

, par la donn´ee de u

0

et u

1

et la relation de r´ecurrence suivante, pour n ∈ N u

n+2

= (1 + a)u

n+1

− au

n

1. Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Lorsque A est diagonalisable, calculer A

n

pour n ∈ N .

3. On suppose A diagonalisable. On note U

n

le vecteur U

n

= u

n

u

n+1

, exprimer U

n+1

en fonction de U

n

et de A, puis U

n

en fonction de U

0

et de A.

E XERCICE 6

Soit (u

n

) une suite r´eelle v´erifiant l’´equation de r´ecurrence : u

n+3

= 6u

n+2

− 11u

n+1

+ 6u

n

. 1. On pose X

n

=

 u

n

u

n+1

u

n+2

. Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M

3

( R ) telle que X

n+1

= AX

n

.

2. Diagonaliser A. En d´eduire u

n

en fonction de u

0

, u

1

, u

2

et n.

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