Filière PSI

(1)

MATHÉMATIQUES I

Notations, définitions et rappels

Si , soit l’espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à . Pour dans , soit le polynôme . L’application ainsi définie est clairement un endomorphisme de . De plus, si ,

est stable par et on note l’endomorphisme de induit par . Soit la suite des polynômes de Hilbert, définie par :

et , .

Si , soient :

, et

On convient d’autre part que . Pour dans , soit l’espace vectoriel des fonctions de dans de la forme :

, où la série entière

a un rayon de convergence supérieur ou égal à . L’espace est appelé espace des fonctions entières.

On pourra utiliser la formule de Stirling : .

Objectif du problème, dépendance des parties

La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes de tels que . La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d’établir quelques proprié- tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme.

Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der- nière question de I.

n∈IN CI_n[ ]X

n P CI[ ]X T P( ) P X( +1) T

CI[ ]X n∈IN

CI_n[ ]X T T_n CI_n[ ]X T

H_i ( )_i_∈_IN

H₀ = 1 ∀i∈IN∗ H_i 1 i!----

k=0 i–1

∏

⁽^X^–^k⁾

=

R∈IR₊^*

D_R = {z∈CI, z <R} D_R = {z∈CI, z ≤R} C_R = {z∈CI, z =R} D_∞ = CI R IR₊^*∪{ }∞ E_R D_R CI

z a_nzⁿ

n=0 +∞

∑

a a_nzⁿ

n=0 +∞

∑

R E_∞

si n +∞, n! 2πn n ---e

  ⁿ

∼

→

P CI[ ]X P( )IN ⊂ZZ

(2)

Filière PSI

Partie I - Polynômes de Hilbert

Soit dans .

I.A - Inversion d’une matrice

I.A.1) Écrire la matrice de dans la base de . I.A.2) Vérifier que est inversible ; expliciter .

I.B - Propriétés de la suite

I.B.1) Montrer que est une base de .

I.B.2) Si et , donner une expression simple de montrant que est dans . On distinguera les trois cas : et . I.C - Polynômes de tels que

Soit dans . On décompose sur en : .

I.C.1) Vérifier l’égalité suivante : .

où est la transposée de la matrice . I.C.2) Établir :

, .

Si , que vaut ?

n IN

M_n T_n (1, , ,X … Xⁿ) CI_n[ ]X

M_n M_n^–¹

H_i ( )_i_∈_IN H_i

( )₀_{≤ ≤}_i _n CI_n[ ]X

j∈ZZ i∈IN∗ H_i( )j

H_i( )j ZZ j<0 0, ≤ ≤j i–1 j≥i

CI[ ]X P( )IN ⊂ZZ P CI_n[ ]X P (H_i)₀_{≤ ≤}_i _n

P a_iH_i

i=0

∑

n

=

P( )0 M P n( )

 

 

 

tM

= n

a₀ M a_n

 

 

 

tM

n M_n

i∈{0, ,… n}

∀ a_i ( )–1ⁱ^–^j C_i^j P j( )

j=0 i

∑

=

i≥n+1 ( )–1 ⁱ^–^j C_i^j P j( )

j=0 i

∑

(3)

I.C.3) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

a) , ,

b) , ,

c) .

En particulier les polynômes de tels que sont les combinai- sons linéaires à coefficients dans des polynômes de Hilbert.

I.D - Description des suites de la forme où est un polynôme.

Soit une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) il existe tel que : , ,

b)

, .

Partie II - Quelques propriétés des séries entières

Dans toute cette partie, on fixe : dans , dans , dans et dans . Pour dans on écrit donc :

, où la série entière

a un rayon de convergence supérieur ou égal à .

Pour on note la fonction définie pour par :

(on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale).

II.A - Représentation intégrale de à partir des valeurs de sur II.A.1) Si , prouver :

. II.A.2) Montrer :

. i∈{0, ,… n}

∀ P i( )∈ZZ i∈{0, ,… n}

∀ a_i∈ZZ

P( )ZZ ⊂ZZ

P CI[ ]X P( )IN ⊂ZZ ZZ

P j( )

( )_j_∈_IN P u_j

( )_j_∈_IN

P∈CI_n[ ]X ∀j∈IN u_j = P j( )

i∈IN

∀ i n 1 ( )–1 ⁱ^–^j C_i^j u_j

j=0 i

∑

⇒

≥ + = 0

R IR₊^*∪{+∞} f E_R ω D_R

r ]ω,R[ z D_R

f z( ) a_nzⁿ

n=0

∑

+∞

= a_nzⁿ

n=0

∑

+∞

R

k∈IN^* f^{( )}^k z∈D_R

f^{( )}^k( )z n n( –1)…(n–k+1)a_nzⁿ^–^k

n=k +∞

∑

=

f( )ω f C_r

p∈IN f re( ^it)e^–^iptdt

π –

∫

π ⁼ ²^π^a^p^r^p

f( )ω re^it

--- f re( ^it) dt ---

∫

π

=

(4)

Indication : on pourra partir de :

.

II.B - Principe du maximum

II.B.1) Justifier la définition de .

II.B.2) Montrer : .

II.B.3) Montrer : .

Indication : si , on pourra appliquer, avec justification, le résultat de II.B.2 à puis faire tendre vers .

II.C - Division de par pour dans

II.C.1) Si , montrer la convergence de la série de terme général pour . On pose :

.

II.C.2) Montrer que, lorsque , .

II.C.3) Montrer que le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à . Pour , on pose :

.

Vérifier : , .

II.D - Minoration de à l’aide des zéros de

On suppose que , que s’annule en points distincts de .

II.D.1) Montrer qu’il existe dans telle que : , .

II.D.2) Si et que vaut

? re^it re^it–ω

--- ω

re^it ---

 

 ^p

p=0 +∞

∑

=

M_f( )r = Max{ f z( ),z∈C_r} f( )ω r

r– ω --- M_f( )r

≤ f( )ω ≤M_f( )r p∈IN∗

f^p p +∞

f z( )–f( )ω z–ω f E_R j∈IN

a_nωⁿ^–¹^–^j n≥ j+1 b_j a_nωⁿ^–¹^–^j

n=j+1 +∞

∑

=

j→+∞ b_j O 1 r^j ---

  

=

b_jz^j

j=0 +∞

∑

R z∈D_R g z( ) b_jz^j

j=0 +∞

∑

= z∈D_R

∀ (z–ω)g z( ) = f z( )–f( )ω

M_f( )r f

p∈IN∗ f p z₁, ,… z_p

D_r\ 0{ }

F E_R

z∈D_R

∀ F z( ) (z–z_j)

j=1 p

∏

× f z( ) (r²–z_jz)

j=1 p

∏

×

=

j∈{1, ,… p} z∈C_r\{ }z_j r²–z_jz

z–z_j ---

(5)

II.D.3) En appliquant II.B.3 à au point , montrer : .

II.D.4) On suppose où . Prouver :

.

II.E - Étude asymptotique d’une fonction entière nulle sur

On suppose que , , est nulle sur et que lorsque , .

Montrer que .

Indication : on supposera par l’absurde , on appliquera II.D.4 avec , , , et on fera tendre vers .

Partie III - Théorème de Pólya

Soit dans .

III.A - Majoration de

Soient dans et un réel tel que .

III.A.1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : .

III.A.2) À l’aide de II.A.2, prouver :

. III.A.3) Montrer :

.

F ω = 0

M_f( )r z_j

j=1

∏

p ^≥ ^f^{( )}⁰ ^r^p

×

f( )0 = … = f⁽^k^–¹⁾( )0 = 0 k∈IN∗

M_f( )r z_j

j=1

∏

p ≥---^f^{( )}^kk!^{( )}⁰ r^p⁺^k

×

IN

R = +∞ c∈ ]0,e[ f IN r→∞

M_f( )r = O c( )^r f = 0

f ≠0

k = Min{i∈IN,f^{( )}ⁱ ( )0 ≠0} r = p z₁ = 1, ,… z_p = p p +∞

f E_∞

1

( )– ^k C_n^k f k( )

k=0

∑

n

n IN∗ r r>n

F_n n!

X X( –1)…(X–n) ---

=

n!f re( ^it) re^it–1

( )…(re^it–n) --- dt

2π ---

π –

∫

π ^{( )}^–¹ ⁿ^–^k^Cⁿ^k ^{f k}^{( )} k=0

∑

n

=

1

( )– ⁿ^–^kC_n^kf k( )

k=0

∑

n ≤ (---r–^n!1)…^M^f(^{( )}r^r–n)

(6)

III.B - Preuve du théorème On suppose ici

a) ,

b) Lorsque , .

On va démontrer que est polynomiale (théorème de Pólya).

N.B. L’exemple de montre que la condition asymptotique (b) n’est pas loin d’être optimale.

III.B.1) En appliquant III.A.3 à , prouver qu’il existe dans tel que

, .

III.B.2) À l’aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.

••• FIN •••

f( )IN ⊂ZZ

r→+∞ M_f( )r o 2^r ---r

  

=  

f f z( ) = 2^z

r = 2n+1 N IN

n≥N

∀ ( )–1ⁿ^–^k C_n^k f k( )

k=0 n

∑

⁼ ⁰