Quelques propriétés des séries entières
Laure Martin et Floran Saulnier
mars 2012
Présentation Domaine de convergence d’une série entière Détermination du rayon de convergenceR Développement en série entière Séries entières complexes
Sommaire
1 Présentation
4 Développement en série entière Définition et Théorème
Exemples de développement en série entière
5 Séries entières complexes
Présentation Domaine de convergence d’une série entière Détermination du rayon de convergenceR Développement en série entière Séries entières complexes
Sommaire
1 Présentation
2 Domaine de convergence d’une série entière
Définition et Théorème
Exemples de développement en série entière
5 Séries entières complexes
Présentation Domaine de convergence d’une série entière Détermination du rayon de convergenceR Développement en série entière Séries entières complexes
Sommaire
1 Présentation
2 Domaine de convergence d’une série entière
3 Détermination du rayon de convergence R
5 Séries entières complexes
Présentation Domaine de convergence d’une série entière Détermination du rayon de convergenceR Développement en série entière Séries entières complexes
Sommaire
1 Présentation
2 Domaine de convergence d’une série entière
3 Détermination du rayon de convergence R
4 Développement en série entière Définition et Théorème
Exemples de développement en série entière
Sommaire
1 Présentation
2 Domaine de convergence d’une série entière
3 Détermination du rayon de convergence R
4 Développement en série entière Définition et Théorème
Exemples de développement en série entière
5 Séries entières complexes
Qu’est-ce qu’une série entière ?
Définition
On appelle série entière de la variable x une série dont le terme général est de la forme a n x n , n ∈ N .
∞
X
n=0
a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . .
Théorème Soit
∞
X
n=0
a n x n , ∃! R ∈ [0; +∞] tel que : I Si R > 0,
∞
X
n=0
a n x n CVA ∀ x 0 ∈ ] − R; R[
I Si R < +∞,
∞
X
n=0
a n x n diverge ∀ x 0 ∈ / [−R; R].
Preuve (partielle) Soit x 0 6= 0 t.q.
∞
X
n=0
a n x 0 n converge Si |x | < |x 0 | et n ≥ N,
|a n x n | = |a n x 0 n | x x 0
n
≤ x x 0
n
Donc,
∞
X
n=0
a n x n absolument convergente pour |x | < |x 0 | On pose alors
R := sup{r ∈ [0; +∞[ t.q.
+∞
X
n=0
a n r n converge absolument}.
Définition
I Le nombre R est le rayon de convergence de la série entière.
I L’intervalle ] − R; R[ est l’intervalle ouvert de convergence.
Proposition (Critère de D’Alembert pour les séries entières) Soit
∞
X
n=0
a n x n une série entière.
Si lim
n→+∞
a n+1 a n
= l ∈ [0; +∞]
Alors R = 1/l
Preuve Soit
∞
X
n=0
a n x n tq lim
n→+∞
a n+1 a n
= l
n→+∞ lim
a n+1 x n+1 a n x n
= |x | lim
n→+∞
a n+1 a n
= l |x |.
Donc X
|a n x 0 n |
• converge si |x 0 | < 1/l
• diverge si |x 0 | > 1/l .
Proposition (Critère de Cauchy pour les séries entières) Soit
∞
X
n=0
a n x n une série entière.
n→+∞ lim p
n|a n | = l ∈ [0; +∞] ⇒ R = 1/l
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Exemple
Calculer le rayon de convergence de la série entière suivante :
∞
X
n=1
x n n
On calcule : lim
n→+∞
a n+1 a n
= lim
n→+∞
n
n + 1 = 1. Donc R = 1.
Remarque : x = 1, la série diverge et pour x = −1, elle converge.
Exemple
Calculer le rayon de convergence de la série entière suivante :
∞
X
n=1
x n n
∞
X
n=1
x n n =
∞
X
n=1
1 n x n On calcule : lim
n→+∞
a n+1 a n
= lim
n→+∞
n
n + 1 = 1.
Donc R = 1.
Remarque : x = 1, la série diverge et pour x = −1, elle converge.
Définition
Soit f définie sur ] − α, α[, α > 0. f est développable en série entière (DSE) sur ] − α, α[ si ∃ X
n≥0
a n x n de rayon R ≥ α t.q. :
f (x ) = X
n≥0
a n x n , ∀x ∈ ] − α, α[.
Rappel
Théorème (de Taylor)
Si f est C ∞ sur ] − α, α[, alors ∀x ∈] − α, α[ on a : f (x ) = f (0) + f 0 (0)x + f 00 (0)
2! x 2 + . . . + f (n) (0)
n! x n + R n (x )
Théorème
f est DSE sur ] − α, α[ ssi f est C ∞ sur ] − α, α[ et
∀x ∈] − α, α[, lim
n→∞ R n (x ) = 0.
Preuve f (x) = X
n≥0
f (n) (0) n! x n
⇔ lim
n→∞
n
X
k =0
f (k) (0) k! x k
!
= f (x )
⇔ lim
n→∞
f (x ) −
n
X
k=0
f (k) (0) k! x k
= 0
⇔ lim
n→∞ |R n (x )| = 0
Condition suffisante pour être DSE
Corollaire
Si f est C ∞ sur ] − α, α[ et ∀x ∈] − α, α[, ∀n ≥ 0,
f (n) (x ) ≤ M alors f est DSE sur ] − α, α[ et f (x ) = X
n≥0
f (n) (0)
n! x n .
Preuve Si
f (n) (x )
≤ M, alors :
|R n (x )| =
f (n+1) (θx) x n+1 (n + 1)!
≤ M |x | n+1 (n + 1)! −→
n→+∞ 0
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Définition et Théorème
Exemples de développement en série entière
