Quelques propriétés des séries entières

Quelques propriétés des séries entières

Laure Martin et Floran Saulnier

Mars 2012

Table des matières

1 Présentation 3

2 Domaine de convergence d’une série entière 3 3 Détermination du rayon de convergence R 4

4 Développement en série entière 5

4.1 Définition et Théorème. . . 5

4.2 Exemples de développement en série entière . . . 6

4.2.1 Fonction exponentielle . . . 6

4.2.2 Fonction circulaire . . . 7

4.2.3 Fonction logarithme . . . 7

5 Zéros d’une série entière 8

6 Application aux équations différentielles 9

1 Présentation

Définition 1. On appelle série entière de la variablexune série dont le terme général est de la formea_nxⁿ, n∈N. C’est-à-dire :

∞

X

n=0

anxⁿ=a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ+. . .

Remarque.La somme partielleSn(x) = a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ est un polynôme de degrén. Une série entière est donc une généralisation de la notion de polynôme.

2 Domaine de convergence d’une série entière

Il est à noter que

∞

X

n=0

anxⁿ converge lorsquex= 0.

Rappel. On dit qu’une suite de fonctions(fn)_n∈Nconverge uniformémentsur Dvers la fonction f si

∀ε >0,∃N t.q.∀n≥N,∀x∈ D,on a :|fn(x)−f(x)| ≤ε Théorème 1. Étant donné une série entière

∞

X

n=0

a_nxⁿ, il existe un unique nombreR ∈[0; +∞] tel que :

(i) SiR>0, la série

∞

X

n=0

anxⁿconverge absolument pour toutx0tel que|x0|<R et la série converge uniformément dans l’intervalle[−ρ;ρ],∀ρ <R.

(ii) SiR<+∞, alors,

∞

X

n=0

anxⁿ diverge pour tout x0 tel quex0∈/[−R;R].

Preuve.

(i) Six₀6= 0et

∞

X

n=0

a_nx₀ⁿ converge, alors, lim

n→+∞a_nx₀ⁿ= 0, (i.e :∀k >0,∃N ∈Ntel que(n≥N)⇒ |anx0n| ≤k).

Alors, si|x|<|x0| etn≥N, on a :

|anxⁿ|=|anx0n|

x x0

n

≤k

x x0

n

Or,

x x0

<1, d’où X

n≥N

|anxⁿ|est majorée par la série convergente X

n≥N

k

x x0

n

Donc,

∞

Xa xⁿ est absolument convergente pour|x|<|x |.

On pose alorsR:= sup{r∈[0; +∞[ t.q.

+∞

X

n=0

a_nrⁿconverge absolument}.

(ii) Si |x0| > R, alors

∞

X

n=0

anx0n diverge, car sinon, elle convergerait, ce qui

contredirait la définition deR.

Définition 2.

1) Le nombreRest le rayon de convergence de la série entière

∞

X

n=0

a_nxⁿ. 2) L’intervalle]− R;R[ est l’intervalle ouvert de convergence.

3 Détermination du rayon de convergence R

Nous allons énoncer deux critères qui permettent de déterminerR.

Proposition (Critère de D’Alembert pour les séries entières).

Soit

∞

X

n=0

anxⁿ une série entière telle que la suite

an+1

a_n

n≥0

admette une limite l∈[0; +∞]. Alors, le rayon de convergence R de la série est donné par R= 1/l.

Preuve.

Si lim

n→+∞

an+1

an

=l, alors :

n→+∞lim

an+1xⁿ⁺¹ anxⁿ

=|x| lim

n→+∞

an+1

an

=l|x|.

D’après le critère de D’Alembert pour les séries numériques, on a queP

|anxⁿ₀| converge si l|x0|<1, (i.e : |x0|<1/l) et diverge sil|x0|>1 (i.e : |x0|>1/l).

D’oùR= 1/l.

Proposition (Critère de Cauchy pour les séries entières).

Soit

∞

X

n=0

anxⁿ une série entière telle que lim

n→+∞

pn

|an|=l∈[0; +∞].

Alors, le rayon de convergence estR= 1/l.

Exemples.

1)

∞

X

n=1

xⁿ n =

∞

X

n=1

1 nxⁿ. On calcule : lim

n→+∞

a_n+1 an

= lim

n→+∞

n n+ 1 = 1.

DoncR= 1.

On remarquera que pourx= 1, la série diverge et pourx=−1, elle converge.

2)

∞

X

n=1

xⁿ n! =

∞

X

n=1

1

n!xⁿ converge absolument pour tout x. En effet :

n→+∞lim

a_n+1 an

= lim

n→+∞

n!

(n+ 1)! = lim

n→+∞

1 n+ 1 = 0.

Donc,R= +∞.

4 Développement en série entière

4.1 Définition et Théorème

Définition 3. Soitf une fonction définie sur]−α, α[,α >0.

On dit quef est développable en série entière sur]−α, α[ s’il existe une série entière X

n≥0

anxⁿ de rayon R ≥αtelle que :

f(x) =X

n≥0

a_nxⁿ,∀x∈]−α, α[.

Rappel :Une fonctionf développable en série entière sur]−α, α[est de classe C^∞ doncf admet en 0 un développement limité à tout ordre.

Théorème de Taylor :

Sif est de classeC^∞sur]−α, α[, alors∀x∈]−α, α[on a : f(x) =f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)

2! x²+. . .+f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ+Rn(x) où :Rn(x) =

Z x 0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt ou bienR_n(x) =f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx)xⁿ⁺¹

(n+ 1)! avec 0<θ<1.

Théorème 2. f est développable en série entière sur]−α, α[si et seulement si f est de classe C^∞ sur ]−α, α[ et, ∀x∈]−α, α[, la suite des restes de Taylor converge vers 0 lorsquentend vers +∞.

C’est-à-dire que pour toutx, lim

n→∞Rn(x) = 0.

Preuve.

f(x) =X

n≥0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ ⇔ lim

n→∞

n

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k

!

=f(x)

⇔ lim

n→∞

f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k

= 0

⇔ lim

n→∞|Rn(x)|= 0

Corollaire (Condition suffisante).

Si f est C^∞ sur ]−α, α[ et ∀x∈]−α, α[,∀n ≥ 0,

f⁽ⁿ⁾(x)

≤M alors f est développable en série entière sur]−α, α[etf(x) =X

n≥0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ. Preuve. Si

f⁽ⁿ⁾(x)

≤M, alors :

|Rn(x)|=

f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx) xⁿ⁺¹ (n+ 1)!

≤M |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)! −→

n→+∞0 (carXxⁿ

n! converge d’où le terme général |x|ⁿ

n! −→

n→+∞0).

4.2 Exemples de développement en série entière

4.2.1 Fonction exponentielle

f(x) =e^xest de classeC^∞et est développable en série entière sur ]− ∞,+∞[

e^x=

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ=

+∞

X

n=0

xⁿ

n! = 1 +x+x² 2! +· · · En effetf⁽ⁿ⁾(0) =e⁰ ∀n≥1

d’oùRn(x) = xⁿ⁺¹

(n+ 1)!e^θx avec 0<θ<1

⇒ |Rn(x)| ≤ |x|ⁿ⁺¹

(n+ 1)!e^|x| −→

n→+∞0 car, pour toutx, |x|ⁿ⁺¹

(n+ 1)! est un terme général d’une série convergente.

(Remarque :

+∞

X

n=0

1 n! =e).

4.2.2 Fonction circulaire

f(x) = sin(x)est de classeC^∞et est développable en série entière sur R.

sin(x) =

+∞

X

n=0

sin⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ =x−x³ 3! +x⁵

5! − · · · car

f⁽ⁿ⁾(x)

≤1∀x∈R, ∀n≥1 donc :

|Rn(x)|=

f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx) xⁿ⁺¹ (n+ 1)!

(0< θ <1)

≤ |x|ⁿ⁺¹ (n+ 1)! −→

n→+∞0 4.2.3 Fonction logarithme

f(x) = log(1 +x)est développable en série entière sur]−1,1[. En effet, 1

1 +x =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ est une série géométrique de rayon de convergenceR= 1 d’où par intégration :

log(1 +x) = Z x

0

dt 1 +t

= Z x

0 +∞

X

n=0

(−1)ⁿtⁿ

! dt

=

+∞

X

n=0

Z x 0

(−1)ⁿtⁿdt

=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ⁺¹

n+ 1 (|x|<1) Remarque.

Pourx= 1, la série alternée

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+ 1 converge.

En admettant la continuité de la fonction somme enx= 1, on obtientlog(2) = 1−1

2 +1 3−1

4 +· · ·

5 Zéros d’une série entière

Proposition. Soit

∞

X

n=0

anxⁿ une série entière de rayon de convergence R>0

et soitf :=

+∞

X

n=0

anxⁿ sa somme.

i) Sif⁽ⁿ⁾(0) = 0 ∀n≥0, alors f est identiquement nulle, car f(x) =X

n≥0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ= 0, ∀x∈]− R;R[

ii) Sif(0) = 0, mais f n’est pas identiquement nulle sur]− R;R[,

alors, il existeρ: 0< ρ≤ R t.q.f ne s’annule pas sur ]−ρ;ρ[, sauf enx= 0.

(Donc,f(x)6= 0,∀x: 0< x≤ρ).

Preuve. On peut supposer qu’il existem≥1 tel que :am6= 0

f(x) =a_mx^m+a_m+1x^m+1+· · ·=

+∞

X

k=m

a_kx^k Un tela_m6= 0existe car sinon f ≡0 sur]− R,R[.

Donc :

f(x) =x^m[a_m+a_m+1x+· · ·]

=x^m

"

a_m+

+∞

X

k=1

a_m+kx^k

#

=x^m[a_m+h(x)]

avech(x) =

+∞

X

k=1

am+kx^k

h(0) = 0, h est de classe C^∞ (car c’est une série entière convergente) donc h est continue.

Finalement, par continuité deh,∃ρ >0 tel que|x|< ρ⇒ |h(x)−0|<|am| d’oùf(x) =x^m[am+h(x)]6= 0, 0<|x|< ρ.

6 Application aux équations différentielles

On peut parfois exprimer, à l’aide de leur développement en série entière, les solutions d’une équation différentielle

Théorème 3.

Soit

∞

X

n=0

a_nxⁿ ayant un rayon de convergenceR>0.

Alors, f(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ est de classeC¹ sur ]− R;R[ et f⁰(x) =

∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹ sur]− R;R[.

Exemples.

Résoudre le système :(∗)







y⁰⁰+y= 0 y(0) = 0 y⁰(0) = 1 Siy(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ est solution, alors,

∞

X

n=0

anxⁿ

!00

+

∞

X

n=0

anxⁿ

!

= 0 ⇔

∞

X

n=2

n(n−1)anxⁿ⁻²+

∞

X

n=0

anxⁿ= 0

⇔

∞

X

n=0

(n+ 2)(n+ 1)a_n+2xⁿ+

∞

X

n=0

a_nxⁿ = 0

⇔

∞

X

n=0

[(n+ 2)(n+ 1)an+2+an]xⁿ= 0

⇔ (n+ 2)(n+ 1)an+2+an= 0,∀n≥0

⇔ an+2= −an

(n+ 2)(n+ 1) Donc, on a :

y(x) =a₀

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n)! x²ⁿ+a₁

∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹

D’après le critère de D’Alembert, ces séries convergent sur]− ∞; +∞[. Donc, y(0) = 0 ⇒ a0= 0

ety⁰(0) = 1 ⇒ a₁= 1 D’oùy(x) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)!x²ⁿ⁺¹(= sin(x))est la solution recherchée.

Bibliographie.

- Notes de cours du module SSF, de Mr Mark Baker -Wikipédia(Série entière)

-maths.insa-lyon.fr(Séries entières)