Séries entières

Séries entières

1 Convergence des séries entières

1.1 Notion de série entière, rayon de convergence

Définition 1.1.1. Série entière

Soit (an)n2Nune suite de C^N. On appelle série entière associée à la suite (an)la série P

n0unde fonctions de C dans C, où l'on pose un(z) =anzⁿ.

On notera simplement P

n0anzⁿ cette série de fonctions de la variablez, élément de C.

Lemme 1.1.2. [lemme d'Abel (1802-1829)]

Soit P

anzⁿ une série entière etz02Ctel que la suite (anz0n) soit bornée.

Alors la série P

anzⁿ converge absolument pour toutz2C tel que jzj<jz0j. Démonstration. SoitM0 tel que8n2N; janz0n

j M et soitz2C tel quejzj<jz0j. Alors janzⁿj=janz0n

j z z0

n

Mz z0

n

:

Comme_z^z₀<1, la série géométrique est convergente et donc la sériePanzⁿconverge absolument.

Définition 1.1.3. Rayon de convergence

On appelle rayon de convergence de la série entière Panzⁿ l'élément de R+[ f+1g : R=supf2Rj(anⁿ)_n2Nest bornéeg:

Proposition 1.1.4. [Rayon de convergence et convergence simple]

Soit Panzⁿ une série entière de rayon de convergence R. Pour toutz2C,

¡ si jzj< R,P

anzⁿ converge absolument,

¡ si jzj> R,Panzⁿ diverge grossièrement.

Démonstration.

¡ Soitztel quejzj< R. D'après la définition d'une borne supérieure, il existez02 Betjzj< z0R. D'après le lemme d'Abel, comme la suite(anz0n)est bornée, la sérieP

anzⁿ converge absolument.

¡ Soitztel quejzj> R. Alorsjzj 2/B doncPanzⁿ diverge grossièrement.

Proposition 1.1.5. [convergence normale]

SoitPanzⁿune série entière de rayon de convergenceR, alors, pour toutr < R,Panzⁿconverge normalement sur le disque ferméD (0; r).

Démonstration. Si r < R, pour toutz2D (0; r), on ajanzⁿj janrⁿj, terme général d'une série convergente et indépendante dez, donc la série entière converge normalement surD (0; r).

Définition 1.1.6. Disque ouvert de convergence Si l'on note R le rayon de convergence de la série entière P

n>0anzⁿ, le disque ouvert D(0; R) est appelé disque ouvert de convergence de la série entière etC(0; R) =fz2Kj jzj=Rgest son cercle de convergence (ou d'incertitude).

1.2 Recherche du rayon de convergence

Les remarques suivantes (trop souvent oubliées), qui découlent immédiatement des résultats précédents peuvent rendre de grands services dans la détermination du rayon de convergence :

1. siz2Cest tel que la sériePanzⁿ converge, alorsR>jzj,

2. siz2Cest tel que la sérieP

anzⁿ diverge, alorsR6jzj, 3. siz2Cest tel que la sérieP

anzⁿest semi-convergente ou diverge de façon non grossière, alorsR=jzj. On dispose également des propriétes :

Proposition 1.2.1. [comparaison et convergence]

Si Panzⁿ et Pbnzⁿ sont deux séries entières de rayons de convergence respectifsRa et Rb alors

i.

an =

n!+1O(bn)

) Ra>Rb. ii. (an _n!+1 bn) ) Ra=Rb. Démonstration.

i. 9K2R;9N2N;8nN ;8z2C;janzⁿj6Kjbnzⁿj Sijzj< Rb, alorsP

bnzⁿconverge absolument, ainsi queP

anzⁿet donc jzj6Ra; d'oùRa>Rb. ii. On applique le point précédent car9N2N,8nN, ¹₂jbnj janj ³₂jbnj. Méthode : utilisation de la règle de d'Alembert pour les séries entières

Le raisonnement suivant sera à refaire à chaque exercice : Considérons la série entièrePzⁿ

noù2R. Soitz=/ 0. Pour toutn2N,bn=_n^zn=/ 0et ^jb_jb^n+1j

nj = _n

n+ 1

jzj ! jzj lorsquen!+1. La règle de d'Alembert s'applique alors à la série numériquePbn:

- sijzj<1, la série converge - sijzj>1, elle diverge.

On en déduit que le rayon de convergence de la série entièrePzⁿ n est1.

Proposition 1.2.2. Pour toute suite (an)2C^N,Panzⁿ et Pn anzⁿont même rayon de convergence Démonstration. AppelonsR1et R2les rayons respectifs de ces séries. Par1.2.1,R26R1.

Réciproquement, si r < R1, soit 2]r; R1[. Alorsn anrⁿ=n_r

n

anⁿ=o(anⁿ)lorsque n!+1car, par croissance comparée,n_r

n

!ⁿ!+10.

CommePanⁿ converge absolument,r < 6R2.

On a montré que toutr < R1vérifie r < R2. DoncR16R2(par l'absurde).

Exercice. Montrer plus généralement que pour tout2R,P

anzⁿetP

nanzⁿont même rayon de convergence.

1.3 Opérations sur les séries entières

1.3.1 Combinaisons linéaires

Proposition 1.3.1. [sommes de séries entières]

Soit Panzⁿet Pbnzⁿdeux séries entières de rayons de convergence respectifsR1etR2. Alors la série entière P(an+bn)zⁿ a un rayon de convergence supérieur ou égal à min(R1; R2)et, pour tout jzj<min(R1; R2) :

X

n=0 +1

(an+bn)zⁿ=X

n=0 +1

anzⁿ+X

n=0 +1

bnzⁿ

Démonstration. En effet, sijzj<min(R1; R2), les deux sériesPanzⁿet Pbnzⁿ sonc convergentes, et donc la sérieP(an+bn)zⁿconverge également, soitR>min(R1; R2). La formule découle immédiatement du résultat

similaire sur les séries numériques.

Proposition 1.3.2. cas où les rayons de convergence sont distincts

Avec les notations de la proposition précédente, si R1=/R2, alorsR=min(R1; R2).

Démonstration. SupposonsR1< R2. PourR1<jzj< R2,Panzⁿdiverge etPbnzⁿconverge absolument donc

la somme diverge.

1.3.2 Produit de Cauchy

Proposition 1.3.3. [produit de Cauchy de séries entières]

Soient Panzⁿ et Pbnzⁿdeux séries entières de rayons de convergence respectifs R1 etR2. Posons cn=X

k=0 n

akbn¡k= X

p+q=n

apbq:

Alors la série entière Pcnzⁿ, appelée produit de Cauchy des séries entières Panzⁿ et Pbnzⁿ, a un rayon de convergence supérieur ou égal à min(R1; R2)et, pour tout jzj<min(R1; R2):

X

n=0 +1

cnzⁿ= X

n=0 +1

anzⁿ

! X

n=0 +1

bnzⁿ

!

(1.3.1)

Démonstration.En effet, sijzj<min(R1; R2), les deux sériesPanzⁿetPbnzⁿsonc absolument convergentes, et donc la série produit de Cauchy (des séries numériques,zétant fixé) est également absolument convergente.

Mais on aP

p+q=n(apz^p) (bqz^q) =zⁿP

p+q=napbq=cnzⁿ. On a doncRmin(R1; R2).

L'égalité1.3.1découle alors immédiatement du résultat similaire sur les séries numériques (la somme du produit

de Cauchy est le produit des sommes des séries).

2 Propriétés de la somme d'une série entière

2.1 Continuité

Théorème 2.1.1. [continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert]

Soit Panzⁿ une série entière, de rayon de convergenceR >0. Alors la fonctionS(z) =X

n=0 +1

anzⁿ est continue sur le disque ouvert D(0; R) =fz2Kj jzj< Rg.

Démonstration. Cas réel : on a vu en effet que la série convergeait normalement sur[¡r; r]pourr < R, donc S est continue sur un tel[¡r; r] et donc finalement sur]¡R; R[.

Attention : On admet le résultat dans le cas de la variable complexe.

On considère dorénavant des SE d'une variableréelleà coefficientsréelsoucomplexes.

2.2 Intégration

L'argument de convergence normale sur[0; x]]¡R; R[montre le théorème suivant : Théorème 2.2.1. [Intégration d'une série entière]

Soit Panxⁿ une série entière de variable réelle, de rayon de convergence R >0, de somme S. Alors : 8x2]¡R; R[;

Z

0 x

S(u) du=X

n=0 +1

anxⁿ⁺¹ n+ 1 On a intégré "terme à terme".

2.3 Dérivation

Lemme 2.3.1. [Dérivation d'une série entière]

Soit Panxⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0, de somme S. Alors la fonctionS est de classe C¹sur ]¡R; R[et, pour toutx2]¡R; R[,

S⁰(x) =X

n=1 +1

n anx^n¡1

Propriétés de la somme d'une série entière 3

De plus, une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence.

Démonstration. D'après la proposition 1.2.2, Pn an xⁿ et donc Pn anx^n¡1 ont pour rayon de conver- gence R. Par intégration terme à terme (proposition 2.2.1), S est une primitive de la fonction continue x7!

P

n=1

+1n anx^n¡1sur]¡R; R[.

Théorème 2.3.2. [la somme d'une série entière est de classeC¹] Soit P

anxⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0, de somme S. Alors la fonctionS est de classe C¹sur ]¡R; R[et, pour tous p2N etx2]¡R; R[,

S^(p)(x) =X

n=p +1

n(n¡1):::(n¡p+ 1)anx^n¡p=X

n=0 +1

(n+p)!

n! an+pxⁿ

De plus, une série entière et toutes ses séries dérivées ont même rayon de convergence.

Démonstration. La deuxième expression deS^(p)se déduit de la première par un simple changement d'indice.

Par récurrence sur p:

¡ p= 1: d'après le lemme, S estC¹et la première égalité est vérifiée

¡ si le résultat est vrai pour un certain p, on applique le lemme à S^(p)ce qui montre l'hérédité.

Corollaire 2.3.3. Soit Panxⁿ une série entière à coefficients dans R, de rayon de convergence R >0, de somme S. Alors

8n2N; an=S⁽ⁿ⁾(0) n!

Démonstration. Fairex= 0dans le théorème précédent.

3 Développement en série entière

3.1 Définition

Définition 3.1.1. Fonction développable en série entière

Une fonctionf:K!Kdéfinie au voisinage de 0 est dite développable en série entière sur le disqueD(0; r) (où r >0) s'il existe une série entière Panzⁿ de rayon de convergenceR>r tel que, pour toutz2D(0; r):

f(z) =X

n=0 1

anzⁿ

Proposition 3.1.2. L'ensemble des fonctions de K dans K DSE en 0 est une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions de Kdans Kdéfinies au voisinage de 0.

Définition 3.1.3. Série de Taylor

Soitf:R!Cde classeC¹au voisinage de0. On appelle série de Taylor defen 0, la série entière P^f(n)(0)

n! xⁿ. Théorème 3.1.4. [unicité du DSE]

Si f:R!C a un DSE en 0, elle est de classe C¹ au voisinage de 0, son DSE est unique. C'est la série de Taylor de fen 0.

Démonstration. C'est le corollaire2.3.3.

3.2 Méthodes usuelles de développement

Nous allons voir trois méthodes principales : 1. algébrique,

2. étude du reste, 3. équation différentielle.

3.2.1 Méthodes algébriques

On peut utiliser tout d'abord les résultats sur les opérations algébriques concernant les séries entières et ana- lytiques pour les séries entières réelles.

Les résultats suivants sont des conséquences rapides des propriétés précédemment vues : Proposition 3.2.1. opérations sur les fonctions DSE

Soientf etg des fonctions développables en série entière au voisinage de 0,

alorsf+gl'est aussi et son développement est la combinaison linéaire des développements.

fg l'est aussi et son développement est le produit de Cauchy des développements.

g=R

f l'est aussi et a pour développement une primitive du développement de f (attention àg(0)).

festC¹sur ce voisinage et, pour toutp2N,f^(p)y est développable en série entière et son développement est celui def dérivé pfois terme à terme.

3.2.2 Etude du reste

Dans un cadre général, on pourra utiliser le résultat suivant : Proposition 3.2.2. reste de la série de Taylor

Soientr >0 etf:]¡r; r[!C de classe C¹.

Alorsf est développable en série entière dans ]¡r; r[si et seulement si 8t2]¡r; r[; lim

n!+1 f(t)¡X

k=0 n f^(k)(0)

k! t^k

!

= 0 3.2.3 Solutions DSE d'une équation différentielle

Enfin, une dernière technique utilise le théorème (dit de Cauchy) sur l'unicité des solutions d'équations diffé- rentielles à conditions initiales données.

En pratique : soit f:U!Kune fonction de classeC¹dont on cherche à montrer qu'elle est DSE.

La démarche est la suivante :

1. trouver une équation différentielle vérifiée par f (on cherchera une EDL d'ordre p à coefficients polynomiaux)

2. trouver une série entièreP

antⁿ vérifiant formellement l'équation différentielle en question avec a0=f(0); ::: ; ap¡1=f^(p¡1)(0)

(p¡1)! (condition initiale) 3. montrer que cette série entière a un rayon de convergenceR non nul

4. Le théorème d'unicité de Cauchy garantit alors que8t2]¡R; R[\U ; f(t) =S(t) =P

n=0 +1antⁿ.

4 Fonctions usuelles

4.1 Fonctions d'une variable complexe

4.1.1 Fonction exponentielle

La règle de d'Alembert (par exemple) montre que la série entière P

n0 zⁿ

n! a un rayon de convergence infini.

Ceci justifie l'introduction de la définition suivante Définition 4.1.1. Pour z2C, on pose expz=P

n=0 +1 zⁿ

n!.

Proposition 4.1.2. propriétés de la fonction exponentielle complexe

i. La fonctionz7!exp(z)est un morphisme de groupes de (C;+)dans (C;), autrement dit : exp(0) = 1,exp(z1+z2) =expz1expz2,exp(z) =/ 0et (exp(z))^¡1=exp(¡z).

Fonctions usuelles 5

ii. 8z2C; exp(z) = (expz) Démonstration. i.exp0 =P

n=0 +1 0ⁿ

n! = 1 On a déjà vu (produit de Cauchy) :

X

n=0

+1 (z1+z2)ⁿ

n! = X

n=0 +1 z1n

n!

! X

n=0 +1 z2n

n!

!

doncexp(z)exp(¡z) =exp(z¡z) =exp(0) = 1.

ii.Il suffit de faire tendreN vers+1dans la formule évidenteP

n=0 N zⁿ

n!=P

n=0 N zⁿ

n!

Définition 4.1.3. Notation exponentielle

On posee=exp1; on a 8r2Q; exp(r) =e^r, ce qui justifie ensuite la notation exp(z) =e^zpour z2C.

Démonstration. Soitz 2C, par récurrence sur p2N, puis en utilisant exp(¡p z) = _{exp(p z)}¹ , on a 8p2Z; exp(p z) = (exp(z))^p. Si q2N, pour tout p2Z,

exp_p

q

q

=exp(p) = (exp(1))^p= e^p, exp_p

q

est le réel

positif dont la puissance p-ième vaute^pdoncexp_p

q

= e

p

q.

4.1.2 Fonction inverse

Proposition 4.1.4. La fonctionz7!_1¡¹_z est développable en série entière dans le disqueD(0;1) (R= 1).

Démonstration. On a _1¡¹_z= 1 +z++zⁿ+^z₁ⁿ⁺¹_¡z ce dernier terme tendant vers 0 quandntend vers +1si et seulement si jzj<1. On en déduit que pour jzj<1, _1¡¹_z=P

n=0

+1zⁿavec un rayon de convergence égal à 1.

Exercice 4.1.1. Pourjzj<1, on az7!_(1¡¹_z)k+1est DSE surD(0;1).

4.2 Fonctions d'une variable réelle

Proposition 4.2.1. développement de (1 +t)

Soit2R. La fonctiont7!(1 +t)est développable en série entière sur ]¡1;1[si2/N, sur Rsi2N. Démonstration. Si2N, le résultat est évident car alors la fonction est polynomiale. Supposons donc2/N. On va utiliser la technique de l'équation différentielle.

La fonctionf:t7!(1 +t)vérifie en toutt2R: f⁰(t) =(1 +t)^¡1et donc (1 +t)f⁰(t) = f(t): (E) On chercheS:t7!P

n=0

+1antⁿsolution de(1 +t)y⁰¡ y= 0: d'oùP

n=0

+1((n+ 1)an+1+n an¡ an)tⁿ= 0soit an+1=_n^¡_{+ 1}ⁿanpour toutn>0et a0=f(0) = 1...

Considérons donc la série entière1 +P

n>1

(¡1):::(¡n+ 1) n! tⁿ. Pour toutn,an=^(¡1):::(_n! ^{¡n+ 1)}=/ 0et lim

n!+1

an+1

an

=lim¡n

n+ 1= 1. Donc son rayon de convergence est1.

Posons donc, pourt2]¡1;1[,S(t) = 1 +P

n=1

+1antⁿ. AlorsS est solution de(E) Mais alors_S

f

₀

(t) =^{(1 +t)}_{(1 +}^S0(t)_t)+1^{¡ S(t)}= 0donc la fonction ^S_f est constante sur]¡1;1[.

Comme elle vaut 1 au point 0, elle est constamment égale à 1 et donc

8t2]¡1;1[; (1 +t)=S(t) = 1 +X

n=1

+1 (¡1):::(¡n+ 1)

n! tⁿ:

On obtient ainsi facilement des développements en série entière de(1 +t)^¡1,(1 +t²)^¡1,(1¡t²)^¡1,(1¡t²)^¡1/2, (1 +t²)^¡1/2, puis par intégration des développements de ln(1 +t), Arctant et Arcsint. En récapitulant, on obtient la table suivante de développements en série entière :

e^t =X

n=0 +1

tⁿ

n!; R= +1 série de Taylor, le reste tend vers 0

cost =X

n=0 +1

(¡1)ⁿ t²ⁿ

(2n)!; R= +1 Taylor oucost=e^it+e^¡it 2 sint =X

n=0 +1

(¡1)ⁿ t²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!; R= +1 Taylor ousint=e^it¡e^¡it 2i cht =X

n=0 +1

t²ⁿ

(2n)!; R= +1 Taylor oucht=e^t+e^¡t 2 sht =X

n=0 +1

t²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!; R= +1 Taylor ousht=e^t¡e^¡t 2 (1 +t) =1 +X

n=1 +1

(¡1):::(¡n+ 1)

n! tⁿ; R= 1ou+1 équation différentielle 1

1¡t =X

n=0 +1

tⁿ; R= 1 série géométrique

1

1 +t =X

n=0 +1

(¡1)ⁿtⁿ; R= 1 précédente (t ¡t)

ln(1 +t) =X

n=1 +1

(¡1)^n¡1tⁿ

n; R= 1 intégration de la précédente

ln(1¡t) =¡X

n=1 +1 tⁿ

n; R= 1 précédente (t ¡t)

Arctant =X

n=0 +1

(¡1)ⁿt²ⁿ⁺¹

2n+ 1; R= 1 intégration de 1

1 +t² Arcsint =t+X

n=1

+1 1.3:::(2n¡1) 2.4:::(2n)

t²ⁿ⁺¹

2n+ 1; R= 1 intégration de (1¡u)^¡12 oùu=t²

A retenir

Convergence simple sur le disque ouvert D(0; R), normale sur tout disque fermé D(0; r) où r < R, divergence grossière en dehors du disque fermé D(0; R). Tout est possible surC(0; R).

Détermination de R : méthodes de comparaison, utilisation du critère de d'Alembert, eventuellement sur les séries numériques.

Opérations : combinaisons linéaires et produit de Cauchy ne réduisent pasR.

2. Continuité de la sommeS par convergence normale.

Intégration et dérivation terme à terme, rayon Rpréservé. an=^S(n)_n!⁽⁰⁾.

3. Méthodes de développement en série entière : opérations algébriques ou intégration/dérivation terme à terme, étude du reste (inégalité de Taylor-Lagrange), équation différentielle.

4. Méthodes précédentes sur les fonctions classiques.

Un peu d'histoire :

Fonctions usuelles 7

Aux XVIIème et XVIIIème siècles, de nombreux mathématiciens comme Gregory, Taylor et Mac-Laurin partent des travaux de Newton pour approcher les fonctions classiques par des polynômes et pour obtenir le théorème de Taylor (1715). Ils construisent donc des séries de fonctions dont la somme n'est définie rigoureusement qu'à partir du cours de Cauchy à l'École Polytechnique (1815-1830).

Les fonctions développables en série entière vues dans ce cours constituent le petit bout réel de l'analyse complexe qui fut développée principalement par les grands mathématiciens autour du XIXème siècle : Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass et bien d'autres. Cette partie importante des mathématiques est utilisée en cartographie pour représenter l'ellipsoïde terrestre par des projections, mais aussi dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique des fluides ou la relativité générale.

Exercices sur les séries entières

--- 07.1.1.tm

Exercice 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières :

1. Pn²+ 1

3ⁿ zⁿ

2. Pe^¡n2zⁿ

3. P

n>1 lnn

n² z²ⁿ

4. Pⁿⁿ

n! z³ⁿ

5. Pn!zⁿ

6. P2n

n zⁿ

7. P^(3n)!

(n!)³ zⁿ

8. P ¡^{n+ 1}pn+ 1

¡ⁿpn zⁿ

9. P

zⁿ²

10. Psin(n)zⁿ

11. P

n>1sinn n² zⁿ

12. P ⁿ²⁺²ⁿ

p

x²ⁿ

--- 07.1.6.tm

Exercice 2. Soit la série entière Panzⁿ, de rayon de convergenceR. Déterminer le rayon de convergence R⁰ de Pan2zⁿ.

Indication :Peut-on utiliser la règle de d'Alembert ? Justifier.

En supposant que cette règle s'applique, que trouve-t-on pourR⁰?

--- 07.1.7.tm

Exercice 3. Séries entières disjointes

SoientPanzⁿ etPbnzⁿde rayons de convergence respectifsRaet Rb. On suppose que, pour toutn,anbn= 0.

Montrer que le rayon de convergence deP(an+bn)zⁿ estR=min(Ra; Rb).

Application : rayon de convergence deP2^(¡1)nnzⁿ

--- 07.2.1.tm

Exercice 4. Soit la fonction de variable réellef:x7!P

n=1 +1sin ₁

pn

xⁿ.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant f.

2. Étudier la convergence de cette série en ¡R et enR.

3. Déterminer la limite de f(x)lorsquex!1^¡.

4. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP

n>2

hsin ₁

n¡1 p

¡sin ₁

pn

ixⁿ

Montrer que sa sommeg est continue en 1 (on pourra admettre cette question difficile).

5. En déduire que, lorsquex!1^¡,(1¡x)f(x)!0.

--- 07.2.2.tm

Exercice 5. Soit f:x7!P

n=1

+1ln(n)xⁿde variable réelle.

1. Déterminer le domaine Ide définition de f.

2. On pose a1=¡1et, sin>2,an=¡ln¡

1¡_n¹

¡_n¹.

a. Déterminer le domaine de définition de g:x7!P

n=1 +1anxⁿ.

b. Montrer que, six2I, g(x) = (1¡x)f(x) +ln(1¡x).

c. Montrer que gest continue sur ]¡1;1[. On admet qu'elle l'est aussi sur[¡1;1].

Donner alors un équivalent def(x)lorsquex!1^¡.

d. On a vu en classe queP

n=1 +1 (¡1)^n¡1

n =ln2(chap.5, section 0.3).

Calculer g(¡1)et en déduire la limite de f(x)quandx! ¡1⁺.

--- 07.2.3.tm

Exercice 6. On considère la fonctionf définie par f(x) =P

n=0

+1e^¡ncos(n²x)

1. Montrer que la fonction f est de classe C¹surR.

2. Montrer que, si p2N, jf^(2p)(0)j>e^¡pp^4p.

3. En déduire le rayon de convergence de la série de Taylor de f.

4. La fonction f est-elle développable en série entière en 0 ?

Indication :3. Montrer quePe^¡pp^4p

(2p)! x^2pdiverge pour toutx=/ 0.

--- 07.3.3.tm

Exercice 7. Montrer que la fonctionf:x7!px²+x+ 1

possède un développement en série entière en 0 de rayon de

convergenceR>1.

Indication :f(x) = ¹₁^¡x3

¡x

q

= (1¡x³)¹²(1¡x)¹².

--- 07.3.4.tm

Exercice 8.

1. Former le développement en série entière en 0 de la fonction f:x7!ln(x²¡5x+ 6)

2. Même question avec g:x7!ln(1 +x+x²)

2

Indication :1. Factoriser l'expression dans le ln. Attention aux signes !

--- 07.3.5.tm

Exercice 9. Montrer que la fonction f:x7!

Z

¡1

x dt

1 +t+t²= lim

a!¡1

Z

a x dt

1 +t+t² est définie et dérivable sur R. En

déduire un développement en série entière def en 0.

Indication :Justifier que c'est la primitive d'une certaine fonction.

--- 07.3.10.tm

Exercice 10. On considère la fonctionS définie par S(x) =P

n=0

+1 x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1) (2n¡1) 1

1. Trouver le rayon de convergence de la série associée.

2. Déterminer une équation différentielle simple dont S est solution.

3. En déduire une expression deS à l'aide d'une intégrale.

--- 07.4.3.tm

Exercice 11. On considère une série entièrePanzⁿ, de rayon de convergence Ret de sommeS.

1. Que peut-on dire du rayon de convergenceR2de la sériePa2nz²ⁿ? Exprimer sa sommeS2en fonction deS.

2. En calculant 1 +jⁿ+j²ⁿ en fonction den, répondre à la même question avec P

a3nz³ⁿ.

3. Vérifier ces égalités sur la série entièreP

zⁿ.

--- 07.4.4.tm

Exercice 12. SoitP2R[X].

1. famille (Pk)définie par P0(X) = 1etPk(X) =^(X+k)(X+k_k!^{¡1):::(X+ 1)}

a. Rappeler pourquoi la famille (Pk)est une base de R[X].

b. Soitk2N. Calculer rayon de convergence et somme de la série entièreP

n>0Pk(n)xⁿ.

c. En écrivant P(X)dans la base(Pk), calculer la somme de la sérieP

n>0P(n)xⁿ

d. Application : rayon de convergence et somme deP

n>0(2 +n+n²)xⁿ

2. famille (Qk)définie par Q0(X) = 1 et Qk(X) =X(X¡1):::(X¡k+ 1)

a. Soit k2N. Calculer rayon de convergence et somme de la série entièreP

n>0Qk(n)^x_n!ⁿ.

b. En écrivantP(X)dans la base(Qk), calculer la somme de la sérieP

n>0P(n)^x_n!ⁿ

c. Application : rayon de convergence et somme deP

n>0(2 +n+n²)^x_n!ⁿ Indication :1. Quel est le développement en série entière det7!_(1¡¹_t)k+1?

2. Quel est le développement en série entière det7!t^ke^t?