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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Broucke, A. (1969). Calcul généralisé des plaques circulaires ou annulaires (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées, Bruxelles.
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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
ECOLE POLYTECHNIQUE
Faculté des Sciences Appliquées
CALCUL GENERALISE DES
PLAQUES CIRCULAIRES
OU ANNULAIRES
PAR ARMAND BROUCKEIngénieur Civil des Conslrucfions AI Br
+ CET OUVKA(æ N'ETAMT PAS + DANS LE DOMAINE PUBLIC, + NE PEUT ETRE CQMMLJNICUE
■»<ÿJ'AVBC L'AUTCRISATIÛN DE L'AUTEUR.+
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES ECOLE POLYTECHNIQUE
FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES
CALCUL GENERALISE DES PUQUES CIRCUUIRES OU ANNULAIRES
par Armand BROUCKE
Ingénieur Civil des Constructions AIBr
00^.3 b
Mémoire présenté pour l’épreuve de Doctorat en Sciences Appliquées.
1. CALCUL GENERALISE DES PUQUES CIRCULAIRES OU ANNULAIRES.
INTRODUCTION.
Les cas d’utilisation de plaques circulaires et annulaires sont relati vement fréquents. De nombreuses applications se rencontrent dans des éléments de fondation : fondations de cheminée, fonds de réservoirs etc. Il en est de même en superstructure ;
il n’est pas rare de trouver dans un seul château d’eau 4 ou 5 dalles circulaires ou annulaires différentes. La construction métallique et mécanique présentent aussi des cas d’application fréquents.
Il apparaît cependant que la littérature scientifique et technique ne fait en général qu’aboi^er les problèmes qui s’y rapportent : elle se borne le plus souvent à donner l’équation différentielle de la flèche
(Equation de Lagrange) et parfois la solution générale de celle-ci. Il reste alors a déterminer les constantes d’intégration et, connais sant celles-ci, calculer l’expression des moments de flexion tangen- tiel et radial, du moment de torsion et des efforts tranchants tangen- tiel et radial à partir des dérivées premières et secondes de la flèche. Comme dans beaucoup de cas de charge, pouvant encore être considérés comme élémentaires, les constantes d’intégration sont au nombre de 6, et que les coefficients des équations qui les déterminent sont lit téraux, on se trouve devant des problèmes qui, sans présenter de dif ficultés insurmontables, sont laborieux à résoudre et conduisent à des expressions assez compliquées des éléments de réductions énumérés ci- dessus.
En fait la théorie vraiment générale s’arrête à l’équation de Lagrange et l’on passe à ce moment aux cas particuliers malgré le travail mathé matique assez long qui reste à accomplir pour résoudre entièrement un problème posé. La résolution,éventuellement partielle, d’un nombre plus ou moins important de cas particuliers se retrouve dans divers ouvrages.
L’explication de l’absence de théorie générale plus poussée semble devoir être recherchée dans la multiplicité des paramètres qui inter viennent à ce stade de l’étude.
Il faut en effet tout d’abord tenir compte :
2.
- du type de sollicitation (charge répartie suivant une surface, lelong d'une ligne ou appliquée en un point, couple appliqué lelong d'une ligne ou en un point),
-du mode d'application de la sollicitation (sollicitation symétrique, uniforme ou non, sollicitation antimétrique etc),
-de la forme et des dimensions de la plaque (plaque circulaire ou annulaire),
- des conditions d'appui (appui suivant une surface,lelong d'une ligne, encastrement éventuel d'un bord).
La résolution complète d'un cas donné demande la détermination des lois de variation des 3 types de moment et des 2 types d'efforts tranchants cités plus haut, auxquels il y a éventuellement lieu d'ajouter l'ex pression de la déformée, de l'inclinaison de la tangente à celle-ci, voire de la réaction d'appui, qui diffère de l'effort tranchant en cas de sollicitation non symétrique.
Notons qu'un tel ensemble de formules ne vaut qu'à l'intérieur d'un domaine analytiquement continu. Dans beaucoup de cas, encore consi dérés comme élémentaires, il y aura donc plusieurs de ces ensembles. Au cours de l'étude, on limitera tout d'abord le nombre de paramètres
en agissant sur la manière d'exprimer la grandeur de la sollicitation; certains auteurs donnent une solution générale de l'équation de
Lagrange où figurent une charge par imité de surface p. Cette expres sion n'est donc plus valable si la sollicitation est appliquée lelong d'une ligne ou en un point où s'il n'y a pas de sollicitation à
l'intérieur du domaine considéré. En introduisant la sollicitation sous la forme de sa valeur totale, soit p.ex. la charge totale N en cas de charge symétrique ou le moment d'ensemble M extérieur en cas de charge antimétrique, on réduira sensiblement le nombre de catégories de sollicitations à envisager, ce qui facilitera une généralisation plus poussée.
Ensuite on s'attachera plus particulièrement à l'expression des élé ments de réduction, c.à.d. les moments de flexion radiaux et tangen- tiels, le moment de torsion et les efforts tranchants radiaux et tangentiels ;
3.
On ne peut cependant rien dire a priori des analogies qui pourraient exister entre différents cas de charges, entre différents cas de forme de dalles (circulaire, annulaire, à bords encastrés ou non etc) et entre les divers éléments de réduction à étudier.
Nous démontrerons qu’il est possible dans le cas d’une sollicitation q, symétrique par rapport au centre de la plaque mais variant avec le rayon r suivant la loi
^ ^o n ,
d’écrire,dans tous les cas, les éléments de réduction sous la forme
«r = N 1"k + Aa^+ Bbr+ T"" ^ 0 I-n ^nr «t = N vj[. K. + Aa^+ yn I-h ^nt «r II
[
"V ■ + A 0 ‘^nqoù N représente la charge totale appliquée
K,A,B et représentent des constantes ne dépendant que du matériai; (coefficient de Poisson) et du cas donné (forme, appuis et réparti tion de la sollicitation)
a , b , c , a^,... etc des fonctions du matériau et du rayon vec-teur, indépendantes de la forne de la plaque et du mode de solli citation.
Pour un cas donné, les constantes K, A, B et. sont donc les mêmes aussi bien pour M^, et que pour Q^,.
D’autre part les fonctions a^,, b^, etc sont toujours les mêmes, quel que soit le problème posé (dalle circulaire ou annulaire ; bords libres, appuyés ou encastrés).
Les cas fréquents de charge symétrique répartie uniformément sur une surface annulaire ou circulaire (q = cte), de charge symétrique répar tie lelong d’une circonférence ou de sollicitation appliquée sous forme de couples réparties uniformément lelong d’une circonférence à la
4.
La même proposition est valable pour les dalles soumises à des moments d*ensemble sous l’effet de charges linéaires et de charges réparties linéairement variables (sollicitations antimétriques).
Dans ce cas on démontre qu’on peut écrire :
«r M cos 9a . Aa^. + Bb^ + CCj. + Ddr ] M cos 0 a Aat + Bb^ + Cc^ + ““t ] «rt M sin G a “‘‘rt’ «r M cos G 7“ qr c] «t M sinÔ “2 qt c]
où 0 i l’angle vecteur
M ; le moment d’ensemble appliqué a : le rayon extérieur de la dalle
A,B .. des constantes analogues à celles définies ci-dessus
®r ‘ analogues à celles définies ci-dessus.
Il est également possible d’exprimer de façon générale, avec les mêmes constantes A, B, C etc, les différentes formules devant servir à tra duire des conditions aux limites particulières : flèche, angle de rotation en un point, réaction d’appui, équilibre de rotation etc. Pour un cas particulier donné, il suffira alors de choisir parmi ces expressions celles qui pex*mettent d’énoncer les conditions correspon dantes pour obtenir le système d’équation permettant de déterminer la valeur des constantes A, B, C etc.
A ce stade on dispose donc d’expressions générales des éléments de réduction dont on connait le mode de variation en fonction des coordonnées polaires r et ^ .
Il est par conséquent possible d’étudier leurs variations en fonction de ces coordonnées, et en particulier l’existence, la position et la grandeur d’extremums.
Elle permet également les opérations demandant de combiner entr*eux certains éléments de réduction, telle la recherche des contraintes
S
rincipales en un point sous l»effet combiné de M , et ou ^ et Q^. La discussion des variations des contraintes principales lelong d*une circonférence donnée est également possible.CHAPITRE I 6.
GENERALITES
1. Définitions
Au cours de l’étude nous adopterons les définitions ci-après ; 1.1. Types de dalles.
élément en forme de cercle dont l’épaisseur est constante et faible par rapport au diamètre.
élément en forme de couronne circulaire dont l’épaisseur est constante et faible par rapport au diamètre extérieur et à la différence entre les diamètres extérieur et intérieur.
-S££I£££2£S£-Ë£I»Ë2EËS °
Si tous les points du périmètre extérieur d’une dalle sont astreints à rester dans un même plan et si une rotation autour d’un axe tangent à ce périmètre extérieur est rendue impos sible la dalle est dite "encastrée extérieurement".
/
y
Si tous les points du périmètre intérieur d’une dalle annulai re sont astreints à rester dans un même plan et si une rota tion autour d’un axe tangent à ce périmètre intérieur est
rendue impossible la dalle est dite "encastrée intérieurement" ou "à partie centrale infiniment raide".
7.
1.2. Types de sollicitations. Sollicitation_^régartie :
sollicitation appliquée à une surface. Sauf indication con traire celle-ci est une surface circulaire ou annulaire con centrique à la dalle.
sollicitation appliquée suivant une ligne. Sauf indication contraire, celle-ci est une circonférence concentrique à la dalle.
Ë2îii£i^2^i2D_ËZS2î£i322 •
sollicitation telle qu^elle soit symétrique par rapport à une droite perpendiculaire à la dalle au centre de celle-ci
et ne varie pas suivant l*azimuth. Ë2iii£i£l^i22-i2£iS£££i31i2 •
sollicitation telle qu’elle soit symétrique par rapport à un diamètre de la dalle et ne varie pas suivant cette direction.
Ë2iii£i222i22_£!ÉË222i2_22i£2222 •
sollicitation uniformément répartie sur une surface annulai re ou circulaire et par conséquent symétrique.
C ]
Ë2iii£i£22i22-ii2é2i22_22if22!S2 •
ô. Sollicitation_ré£artie_linéairement_variable ;
sollicitation répartie dont le volume représentatif est déli mité par un plan passant par un diamètre de la plaque ; cette sollicitation est par conséquent antimétrique.
sollicitation linéaire telle que sa surface cylindrique re présentative soit délimité par un plan passant par un dia mètre de la plaque ; cette sollicitation est par conséquent antimétrique.
sollicitation appliquée en un point.
Cette sollicitation peut être une force ou un couple.
M2raent_d2ensemble :
moment total appliqué provenant d’une sollicitation antimé trique.
2. Notations.
Ci-après les principales notations utilisées.
X, y, Z ; coordonnées rectangulaires,
9.
g-j. : contrainte normale orientée suivant un rayon de la dalle. : contrainte normale orientée suivant la tangente à la cir
conférence de rayon r passant par le point considéré.
E : Module d*élasticité à la traction ou à la compression.
G : Module d’élasticité au cisaillement. V ; Coefficient de Poisson.
S) : Rigidité à la flexion.
M = Moment radial de flexion par unité de longueur, c.à.d.
créant des contraintes cr^.r
M^ = Moment tangentiel de flexion par unité de longueur, c.à.d. créant des contraintes cr^.
M^^= Moment de torsion par unité de longueur.
= Effort tranchant radial par unité de longueur. = Effort tranchant tangentiel par unité de longueur.
Q = dans le cas de sollicitations symétriques puisque = 0 on écrira Qj. = Q
log = logarithmes népériens. w = flèche.
3. Signes.
Contraintes de compression et de traction. Positive : traction
Négative : compression.
•J- : contrainte de cisaillement
10. Moments_^f lé chis sants.
Négatif : le moment fléchissant est négatif lorsque le centre
de la courbure qui en résulte est situé vers le
bas ( ).
Positif : le moment fléchissant est positif lorsque le centre
de la courbure qui en résulte est situé vers le haut ().
Négatif : l’effort tranchant en un point de , ^
rayon vecteur r est négatif lors- [ ^ *
que la partie de dalle située ---
|---entre 0 et r a tendance à —H--- j
descendre par rapport à la par- !
tie extérieure.
Positif : il est positif lorsque la
partie de dalle située entre J—j--- j
0 et r a tendance à monter ---j
j---par rapport à la j---partie extérieure.
Flèche.
Négative : déplacement vers le haut. Positive : déplacement vers le bas.
Négatif : l’effort tranchant tangentiel en un point de coor données polaires (r, 0 ) est négatif lorsque un point voisin de coordonnées polaires (r, ô-A6 ) a tendance à descendre par rapport au premier.
r^ositif : il est positif lorsque le point voisin de coordonnées polaires (r,- 40 ) a tendance à monter par rapport au premier.
22§£S££_22S£é£i£li£I2-22iii£i££S££2*
Moment d*ensemble.
11.
Le moment d’ensemble est positif lorsqu’il tend à réduire l’angle formé par l’axe & ® 0 et une perpendiculaire au plan de la pla que dirigée vers le haut.
4. Hypothèses fondamentales.
La théorie qui suit se base sur les hypothèses fondamentales sui vantes ;
4.1. Les déformations dans la surface moyenne de la dalle sont supposées nulles.
4.2. Les points situés sur une normale à la surface moyenne de la dalle avant déformation restent sur cette normale après déformation.
Cela revient à supposer que l’épaisseur de la dalle est faible par rapport à son diamètre extérieur s’il s’agit d’une dalle circulaire et par rapport à la différence entre ses diamètres extérieur et intérieur s’il s’agit d’une
dalle annulaire.
4.3. Les contraintes de compression ou de traction perpendicu» laire à la dalle sont négligées.
CHAPITRE II 12. THEORIE GENERALE DES PLAQUES
Différents mathématiciens se sont attachés dès le siècle passé à 1^étude des plaques.
Nous rappellerons ci-après brièvement les principales conclusions de ces travaux.
Une plaque, ou dalle, est un solide limité par deux plans parallèles et par une surface cylindrique perpendiculaire à ces plans dont la directrice est une ligne quelconque mais fermée. L»épaisseur h de la plaque est supposée faible par rapport aux autres dimensions. Les sollicitations envisagées agissent perpendiculairement à la plaque.
1. Mise en équation.
1.1. Coordonnées cartésiennes.
Soient tout d’abord un système de coordonnées cartésiennes
X, y et Z dont les axes Ox et Oy sont dans le plan moyen
de la plaque et u, v, w les déformations parallèlement aux
axes X, y, z.
Supposons encore que les déformations perpendiculaires au plan Oxy sont faibles par rapport à l’épaisseur de la plaque. On peut alors écrire, en négligeant les termes de rang
supérieur
w = w (x,y)
Compte tenu des hypothèses fondamentales formulées précé demment nous pouvons écrire
U Dwc'X et V (1)
U et V étant donc respectivement les déplacements suivant x
13.
La fig. 1 montre l’intersection de la plaque avant et après déformation, par un plan parallèle au plan Oxz.
On figurerait de même l’intersection de la plaque par un plan parallèle à Oyz en substituant y à x, D_w à w et V à U.
0 y ^ X
Désignons par et respectivement les allongements
unitaires suivant x et y et par ^ le glissement unitaire
correspondant. ^ On a J U D X e = y ?y » ^xyx 3 U I J y ? y ^ X
Compte tenu des expressions (1) on peut écrire : "x"
-^ x2 ’
D’autre part à partir i base de l’élasticité, T = —2 X I -_ E ^ y 1-y ( ê + V ' y s - - Z , r = y D ^ - 2z (2) r = G à' xy " xy
dans lesquels E est le module d’élasticité à la traction ou la compression
G est le module d’élasticité au cisaillement V est le coefficient de Poisson.
Rappelons que ces trois caractéristiques du matériau sont liées par la relation E = 2 (1 + V*) G
Nous pouvons maintenant étudier les fbrœs et les moments exercés sur un prisme dont la hauteur est égale à l’épais seur de la plaque et dont les faces latérales sont des plans parallèles à Oxz et Oyz entredistants d’une valeur unitaire.
14.
Exprimons d’abord les moments de flexion Mx et My suivant X et y en intégrant pour une largeur unitaire de - h à + h les contraintes ^ x et '■'y se trouvant à une distance z du plan moyen (voir Fig. 2)
Faisons de même pour les qui donnent un moment de
C + 7h
contraintes de cisaillement torsion M tel que
(5’)
Txy
Introduisons les valeurs de (4) dans (5) et (5’)* Comme w n’est fonction que de x et de y et non pas de z, on peut
Posons 15.
X) =
Cette expression caractérise la raideur de la plaque à la flexion a partir de son épaisseur (h) et de la nature du matériau constitutif (E et )^) ; c ^est pourquoi est ap pelé "rigidité à la flexion", "coefficient de raideur" ou "constante" de la plaque. A noter cependant que cette grandeur n’est pas sans dimensions.
La caractéristique 9 joue un rôle analogue à la valeur E I d’une poutre. A noter cependant qu’elle en diffère par
l’expression I qui est supérieure ou égale à 1.
ï - ^
Les expressions (6) peuvent alors s’écrire ;
«X
-a (
% t V * il - V)
D X 0 y
(7)
Mx et My. sont donc des moments de flexion représentés res
pectivement par des vecteurs perpendiculaires à Ox et Oy
tandis que est un moment de torsion auquel correspond
par réciprocité, le moment de tbrsion différents
vecteurs se trouvent dans le plan de la plaque (Fig. 3a) On peut de même écrire l’expression des forces qui agissent sur le prisme considéré (fig. 3b)
Nous avons posé comme hypothèse de départ que les déforma tions dans la surface moyenne de la dalle sont supposées
nulles. Il en résulte que les sommes N et N„ des contrainJt y
tes et «T'y, sont également nulles. Cela se vérifie aisé ment par simple examen de la fig. 2 ou en calculant
16.
X
De même 17. 0
Il reste à déterminer Q et Q .A y
L’équilibre de translation suivant Oz s’écrit :
^ «X ^ 'Sy
—- dx dy + dy dx + q dx dy - O
ou ^ ^x + + q = 0.
5 X D y
L’équilibre de rotation autour de Ox s’écrit en négligeant les moments dus à la variation de Q comme infiniment petit d’ordre
supérieur : ^ ” ^ ^xy dx dy + Q dx dy = 0 X ou ^ M <)M _L_ - ___ 22L > y ^ X
Qy = 0
(9)L’équilibre de rotation autour de Oy s’écrit de même - ^x dx dy - ^ ^yx dy dx + Q„ dx dy = 0 D X ^ y ou c) M. X) x Dy (10) - Qx = 0
Introduisons dans (9) les valeurs de M et M données par
les expressions (7) ; il vient : ^ ^
19. A partir de (10) et des expressions (7) et sachant que M =
- M , on trouve de même yx ^
=
-i-L A
«
(12)
^ ox
Etablissons enfin une relation entre la déformée w et la charge q.
Introduisons pour cela les expressions (12) et (11) de Q et Qy, déduites de équations d’équilibre (9) et (10), dans
la troisième équation d’équilibre (Ô). Il vient Aw +q =0 D X ^ y ou ou A A w = ^ 9) encore (13) 7T~2Dx ùy + (13’)
C’est l’équation de Lagrange, établie dès lôll.
On a ainsi obtenu une équation aux dérivées partielles du 4e ordre établissant une relation entre la déformée w et la charge q.
Sa solution générale comporte un certain nombre de constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions aux limites du cas particulier posé.
A partir de cette solution générale, qui est l’expression de la déformée et des lois des moments et efforts tranchants établies ci-dessus, il est alors possible de déterminer les contraintes en n’importe quel point de la plaque.
1.2. Coordonnées polaires.
La théorie générale, établie dans un système de coordonnées cartésiennes, nous a conduit aux formules suivantes :
M. H, = = Q- =
Q„ =
JD ( 2) (V :>^w i) X --D -2
-Dy + V ^ w J Dx ^yJ) r D^w ^ D^w 1
^ 1 77" T7 J
r <)^w ^ J) ^w
1
L*77
”7"7 J
(7)(
11)
(12) 20. et () "77 + 2 w T J) x Dy J) D y i) (I3MDans le cas des dalles circulaires ou annulaires il sera cepen- dans plus pratique de travailler en coordonnées polaires.
Transformons donc les relations ci-dessus en passant aux coor données polaires r et ô définies comme suit :
X = r cos 0 y = r sin ô d»où et 2 2^2 r = X + y & = arctg J On en déduit successivement -2-E = 2 = cos9 Î) X r 2L d X Sin ô JX = 1 = sine Dy r <) e _ cos e ^ y r
et ^ w _ 3 vr c) J« . ^ w JQ
“y 3 r 0 y 36 3 y
.) w
sin ^ i) yf cos ô
3 r 3 6 r
On détermine ensuite les dérivées secondes
21 if' 3 'x} t) ^ D'ix>' 3Ô i 9 ÙTC O I C>0'^ ô ^ — ^Vvv-v Ô i) Dx O DÔ ô 8 3 \ / Coi ô ^ ô D -U/ t^O/i i)-'i- 36 OO^Q j± i> T. D <•* 0 ^ ô 0 x^-i/vv 6 J> 6*" ■'v*^ -V 30 D-^ 6 + ^ D“tAJ- >Vv<i» 0 c»^ ô D ^ ^ ;)â
3V _ ^ Mf- /Vuv^*'Ô + ^ D y^vv^ 6 c«i’S 6 .J. D .CO- c,rS 6
3ô3a 30^ ù -ur t) X 3 1 ^ J w ô 3 X. t i>-*^ -Vw- ^ CoX ô ÙQ 'i.'*-r 7 1 ^ ^ a^Qc^ô -t ^ ^ J -u^ g ^yv*- ^-136 X. ûô'- 'l} - -•tvol0û»-)ô - 3 iie?x2.0 J A. 3Ô
Recha'ctons maintenant l’expression du Laplacien ^ w.
A w
On a : , .. _ () W3 2
t) X <) y
= i) + I. t)^w + I
On en déduit l’expression de l’équation de Lagrange en coordon nées polaires 22, à AV « ( 4)^ 77 ""7 . f ( + -1, r D ^ I Tâ^ r
2
Dr *jl^
) = -a- (14) Jr^X)
On peut maintenant également calculer les expressions des mo ments et efforts tranchants dans le même système de coordonnées. On obtient successivement, en supposant que l’axe x coïncide avec le rayon r, donc en faisant & = 0 dans les dérivées par tielles secondes par rapport à x et à y ci-dessus, et en intro duisant ces valeurs dans les expressions (7) °
- -»r^ L + ^ ( r Dr . I . + ■ ■ ””W / (15) "t = .i)i l 2X. ' r c>r r^
77"
,2 + V ^ .y ) (16) «rt“ Jü (I - ^ ) ( ' r Di
■aaonaoB a»r D0 I 7) w % 7? “ ’ (17)Pour les efforts tranchants on trouve
Q- = “ï) ^ w) Dr 2
Q, =
- .£)
r j>0 ^2» D r . I c) w . I *r Tr *-r-r ^2 c) c)d‘(lô)
dô’)
(19) (19’)Les expressions (14) à (19) constituent donc les formules de base à l’étude de toute dalle circulaire ou annulaire.
23o
2, Résolution de Inéquation de Lagrange (d*après Clebsch).
La solution générale w de l’équation de Lagrange peut s’écrire
w = + w,
O 1
avec = solution de l’équation homogène /iAw = 0 = solution particulière de l’équation A w
Clebsch a démontré que pouvait s’écrire sous la forme d’une série
Y. ^ + Y r' 'V»-U ^
= R + ZI K '>*10+^ ^ ô (20)
dans laquelle R , R et R’„ sont fonction du rayon vecteur r seu-
^ O ’ m m
lement.
Introduisons cette expression de dans = 0, il vient s
AA w-, = H
JL + J_ J_ - \l à- R^ + I j ^-K. - 'Vt-v. R CtyJ-wv 6üOt-*’ Ja. /1 aitj' 't. aU V /
4l' i + A - 2riî' 'l / éÜ- + ' R
1 -V -V*’ / «pL-l
->vi (9 - O
Pour que cette dernière condition soit vérifiée, quelque soit m, il faut que les expressions entre crochets soit toujours nulles. On est ainsi amené à unesérie d’équations différentielles en r dont les solutions sont :
Pour m = 0 Pour m = 1 Pour m > 1 ®o**^ ^0 r + D^r^ log r Ri = Air + B^r^ + C^^r”^ + r log r R = A r® + B r“® 4 4 D„r“® ^ m m m m m (21) (22) (23)
24.
RECHERCHE D’ANALOGIE DE FORME ENTRE LES EXPRESSIONS DE M^., M^, ,
Q et DANS LE CAS DES DALLES CIRCULAIRES OU ANNULAIRES, r t
C H A P I T R E III
Les chapitres précédents étaient de portée générale. Dorénavant nous nous limiterons aux cas de dalles circulaires ou annulaires.
1. Charge symétrique quelconque.
Le problème devient indépendant de la variable ^ . Toutes les dérivées partielles par rapport à Q dans les expressions (14) à
(19) deviennent nulles et il reste : M. «t = -D -» d^w L dr^ I dw r ïïr + dw ïïr d w dr (24) (25) «rt = ° Q, «t =° 7) <1 f 4. I ^ 3ÎT ( —T + -dr dw r Ht A A w = ( (26) dr ou d^w .. I 3r“> ' 2 d w . I dw ;2 r dr^ + — r 3r 2 d^w I d^w . I dw • 7 dr^ *7 H? part w = "o "l X) (27) (27* )
Supposons la solution particulière w^^ ^ (r) = f
25.
Les formules (24), (25) et (26) peuvent alors s’écrire
«t «r + ^ d f r dr
) +
d^Ro dr — d^o r dr . I dRo r 3r* + ^ d‘Ro dr^ I dRo ? HT (2Ô) (29) (30)Nous allons démontrer qu’il sera toujours possible d’écrire les 3 éléments de réduction sous la forme
“N (A + C /j. + D )
= N (A «(^ + B + C + D iSj )
OÙ
N est la charge totale appliquée a le diamètre de la plaque
A, B, C, D des constantes
t t X et ^ des fonctions sans dimensions de la variable ^ =
a) Les éléments de réduction sont proportionnels à la grandeur de la sollicitation en vertu des principes mêmes de l’élasticité. Les expressions (2Ô) à (30) montrent d’autre part que Ü4L, et
seront des sommes de plusieurs termes. ^ ^
Chacun de ces termes devra donc être proportionnel à la grandeur de la sollicitation.
b) et ont la dimension d'une force. Si l’on met la grandeur
de la sollicitation en évidence soxisla forme de la charge totale N y le reste de l'expression devient sans dimensions.
De même, a la dimension d'une force par unité de longueur. Si l'on met en évidence la charge totale N divisée par une lon gueur caractéristique de la zône chargée, p.ex. le diamètre du bord extérieur de cette zône, le reste de l'expression de Q sera également sans dimensions.
0
)|
26.
c) Les expressions (2Ô) à (30) contiennent des dérivéesde ^et de R^. La fonction ne dépend pas des constantes d’intégration, mais uniquement de la loi de variation de la charge q. A un mode de variation de charge donné (p.ex. répartition uniforme, linéaire, parabolique, sinusoïdale etc) correspond une fonction cp .
Pour un mode de variation de charge donné, il sera toujours pos sible de remplacer les termes comprenant les dérivées de par
3 fonctions ^, ^4. etr w ^
Si l’on a au préalable procédé à la mise en évidence dont ques tion en b)ci-dessus, ces fonctions seront sans dimensions.
Toutefois si dans cette mise en évidence on a utilisé une lon gueur non caractéristique de la charge (le diamètre extérieur de la plaque alors que la zône chargée ne s’étend pas jusque là p;ex.), il y aura lieu d’introduire un facteur correctif A, lui-même sans dimensions.
d) Considérons enfin les dérivées de R^.
D’après (21) R^ est une expression linéaire des 4 constantes d’intégration ; dans les dérivées par rapport à r, 3 de ces con stantes figureront encore sous forme linéaire, la 4© ayant
disparu. Il en sera de même dans M^, et Q^. qui sont des sommes de dérivées par rapport à r.
On pourra donc toujours écrire cette partie de M^,, et Q^. sous la forme d’une somme des 3 constantes, chacune multipliée par une fonction sans dimensions.
L’ensemble des considérations ci-dessus démontre la thèse avancée. Au chapitre suivant, nous en donnerons une démonstration analytique
et déterminerons la forme des différentes fonctions /Z, jr et J .
2. Charge antimétrique quelconque.
L’expression (20) nous donne la solution de l’équation homo
gène sous sa forme la plus générale. La condition d’antimétrie per mettra cependant de supprimer certains termes.
Comme la sollicitation est antimétrique, la déformée le sera égale ment. Pour que cette condition soit satisfaite il faut que toutes
les fonctions
27. Il faut également que pour 9 ^ ^ , on ait w « 0, quelque soit r. Or pour = -^,cos mO * + I pour m = 0, 2, 4, 6, ... Donc toutes les fonctions de rang pair doivent être nulles :
®o “ ^ " ®4 “ ^6 * . •. » 0
Par conséquent en supposant la solution particulière connue et égale & f , telle que
= f 6 ) = f ,
On peut écrire la solution générale sous la forme
w = f + {A^r + B^r^ + ^1^**^ ®1^ ^ ^
^^3»5,... (A_r® + B r"® + C r®^^ + D r"®^^)cos m$’ ' m m m a
A partir de cette expression de w, il est possible d^écrire les5for mules donnant les éléments de réduction.
On trouve tous calculs faits ;
N = "d(,-v}\± Él _ 1. ^
Q
DG •7 D '1 B + 2! \ ^ /1 - -w> V l'I^x -f 1 ^ ^ d + ^ [ ; (Af) fl (*' 'î, - l>. j ô f ‘t d (y» -hIi “VVi V / /Vvt —^ . f -VK ( V « -Va i ^ A. ^Wi û *>VV ôl 2ê,(a)
/3«,jÇv
l'L àQ - 1 4 + .1)^ a'" 1ô
-Zjç ^->vi ^ +)|^ j-m 6 . 0^*}Oe l*examen de ces expressions, on peut dégager les conclusions suivantes :
1. Pour les mêmes raisons que celles qui cmt été exposées lors de l*étude des charges symétriques, si l*on met en évidence dans Mj,, et un facteur caractéristique de la grandeur de la sollicitation et ayant les dimensions d’une force, par exemple le moment d’ensemble appliqué divisé par le diamètre extérieur de la zône chargée, les termes restants seront sans dimensions. Il en est de même pour Q^. et si l’on met par exemple en évi» dence le moment d’ensemble divisé par le carré du diamètre.
29.
2) Chacune des 5 expressions ci-dessus comporte 3 groupes de termes
- le premier groupe contient des dérivées partielles de f , Rappelons que la fonction f (r, ô ) dépend uniquement de la loi de variation q (r^ 0 ) de la charge et non pas des con stantes d’intégration, c.à.d. des conditions aux limites. Par conséquent pour un certain mode de variation de charge, p.ex. la variation linéaire, et compte tenu de la mise en évidence dont question ci-dessus, il sera toujours possible de définir pour chacune des fomules M^, ... une fonction
sans dimensions , U ., ... qui sera toujours la même,r w
quelque soient les conditions aux limites.
- le deuxième groupe est constitué par le produit d’une somme de 3 fonctions élémentaires de r et de cos 0 , ou de sin0 suivant le cas. On constate que ce sont les mêmes constantes
et qui multiplient ces fonctions élémentaires dans les 5 formules.
Il sera donc également possible de poser des fonctions
y^ir» ^ir» “^If ^ It ***’ qu’on puisse exprimer
ce second groupe de termes sous la forme
ir ® P®"""
(Aj^ =< it + fi It ^It > P®®*" ”t
<'^1 ® P®®'" «rt
^ Iqr^ ®l^lqr ) co3 & pour
<*l"'lqt'^ ^l-^lqt ) sinO pour
- le troisième groupe est constitué par des séries dont chaque terme est analogue au deuxième groupe. Les mêmes conclusions sont donc applicables à chacun des termes des séries.
30
= N |a « K ]c^Ô+Z^^ (dm iB^S r +D j )e^^ô]
û. L ^ V l'i < / i-i I >\J ii,.A ^ '>-'1. ->^'1 -w, -vv,/i.y I
M : M
t
iX
f) ■< f(/i c.(
it { I '<ir 4 \vi'''V, ->v t A if + D i^ t Of^ -Viô
M : ^ 71
---A.
Ojtf ^ I iir f//i<- I l'xt! ii',.' '‘«•'fc.it ■■^/ -t^it -u^ 'k.ie '«.-/w.-it/
/i• -f-r (fl d f6 /î J C4»^ 0 J
flol ^
I “it yi</v» ->n.Ô
]
Nous convenons d’appeler cette forme d’écriture la "forme type” des éléments de réduction. Les fonctions du type , /s , <r et\r
sont appelées "fonctions élémentaires"» ’
Remarques Y
1) Il est entendu que les constantes A, B, C et D des expressions ci-dessus n’ont plus la même valeur que dans les expressions
(31) à (35).
2) Il convient de noter que contrairement aux autres fonctions , /î , (j et ci , qui ne dépendent que de p = r, les fonctions
" Q
^ dépendent à la fois de r et de Ô .
CHAPITRE IV. 31.
DALLES CIRCULAIRES OU ANNULAIRES SOUMISES A DES SOLLICITATIONS SYMETRIQUES
Nous avons démontré au chapitre précédent la possibilité d♦écrire les éléments de réduction sous la forme-type dans tous les cas de sollici tation symétrique. Aucune autre hypothèse n’a été faite sur la forme analytique de la loi de répartition de la charge q = q (r), mais la solution particulière de l’équation de Lagrange était supposée connue.
Nous allons ici traiter entièrement le cas d’une charge symétrique dont la variation en fonction du rayon est une fonction algébrique de la forme
q = nO •'n ■■n
Nous traiterons ensuite le cas particulier fréquent où q = cte.
Partant de l’expression (21), la solution générale de l’équation de Lagrange peut s’écrire ;
w = r^ + C2 log I + C3 r^ log I + + f (36)
a étant une constante ayant la dimension d’une longueur.
On a alors successivement, en désignant les dérivées successives de par rapport à r par cf> *, etc.
M
M - -J0 ( d ^ dAM- \
32
Recherchons aussi l’expression de l’effort tranchant à partir de (26)
Q = f) ÏÏF"d
ïï?
dwf 9 t
(40)
1. Cas de sollicitation de la forme q - 2! o ^n
Nous considérons un domaine compris entre r^^ et T2 tels que 0 r^ et
^2 — a, a étant le rayon du périmètre extérieur de la plaque.
Supposons un cas de sollicitation répartie symétrique mais quelconque q = q (r). Le volume représentatif de
la charge est donc un solide de révolu tion dont l’axe est perpendiculaire à la plaque au centre de celle-ci.
On peut en général mettre cette sollici tation avec une approximation suffisan te sous la forme d’un polynôme de puis sance n, comprenant n + 1 termes et tel que
q = q (r) ^
A cet effet on choisit n + 1 points de la loi réelle et on détermine les coefficients k de telle façon que la loi approchée passe par ces points.
Il faut donc chercher la solution particulière = ‘f de l’équation ÛAW-J---^ 7" k„r"^ ÿ Z.
0 a
Pour la simplification de l’écriture, supposons que q se réduise au seul terme k r>^ : il sera aisé de revenir ultérieurement à l’expres-
n ’ sion générale. Essayons
f = K ky^ r” ^ (41)
K étant une constante que nous déterminerons ultérieurement. Transfor mons d’abord l’équation différentielle.
33. Reprenons l’expression (26) de l’effort tranchant
« =
^ ( A- + ^
dr
dw \ ïïr ^
La partie entre parenthèse peut aussi s’écrire I d /„ dw » r 3? HF ^ L’expression (26) devient dw 3F d 3? I d i ^ dw , ? HF ' ^ ^ ^ Q (26)
D’autre part dans le domaine considéré
r r 2 n r. Q = q 2 n r. dr ou Q =I ^ r q r dr et on a d 3F” I d F 3F ( dw ( r ^ I r £) q r dr
Multiplions les deux membres par r, puis dérivons par rapport à r la nouvelle expression ; divisons enfin par r le résultat de cette dérivation, il vient, tous calculs faits :
I d
F 3F If
I d / dw »
F 3? 3F ' = «a.D
(42)
Introduisons w = «f exprimé par (41) dans le premier membre de cette nouvelle expression de l’équation différentielle. Après dérivations successives, il vient :
(n + 4) (n+2) K r*^ =
Pour déterminer K, identifions cette expression avec
34.
Et on a par conséquent la solution particulière
Le nombre n étant nul ou entier positif par définition, on peut écrire la forme plus généralisée et ses dérivées successives comme suit :
donc d’étudier les cas comportant une charge symétriqu qu Iconque, Il suffit à cet effet, après avoir mis la loi de la charge répartie sous la forme d’un polynôme, d’exprimer les conditions aux limites en choisissant les équations appropriées parmi les expressions (36 à (40). Celles-ci donnent un système d’équations linéaires dont les inconnues sont les constantes d’intégration. Il n’y a plus d’inté grations ni de dérivations à faire.
Si nous transformons les expressions (36) à (40) en y introduisant d’une part les valeurs (43) de ^ , f etc t d’autre part la variable
sans dimension , a représentant le diamètre extérieur de la
â “ plaque, nous obtenons
f
f'vx-t + zj !0
De même ; 35. J Z CL^^i + u) + ((4 v-) J ■^- (^ 14 3 w jj (-V4.1) (■»^ +^)’'X’ Et Q =-^ <X '»» + 2. 'U^t ~ ^C, +r A y f->i4i) Posons s ^)+ vj -éo^ J -é- /b 4 V') ~ O î-_ ^ -f 5 ^ V/ .>« + 2. Q. =_!.// 4 v) J f> 4- ( * ^ Tl ^ ' 0 l TC . ^ = <-v ^ TC Ç ^ C, = ^ ^ «K t n ('^*‘^)('^ + i)4t\^^ a =_iL 1 TC^ c c •>\ c| —y‘— 71 (-^*î)
Les expressions (44) à (46) s'écrivent alors
36.
On constate que i
1) Les fonction : a^, b^, c^^r ’ r ’ nr
ne dépendent que de q et de v ; elles ne dépendent ni du mode de
répartition des charges, ni de leur valeur, ni des conditions d*appui, ni des dimensions de la dalle, ni du fait que celle-ci soit annulaire ou circulaire.
Elles sont donc les mêmes pour tous les cas de plaques envisagés. A noter que e et v étant sans dimensions, ces fonctions le sont
également. Ce sont les fonctions élémentaires définies au chapitre précédent.
2) Le nombre de fonctions élémentaires comprises dans les sommes
dépend du mode de répartition de la charge répartie (mais non pas de sa grandeur). Dès que celui-ci est connu, n est connu.
Ainsi pour une surcharge répartie uniforme
q > OZ_o n = cte
et la seule valeur de n à considérer est n = 0. On a alors or 3 +v
mr
I + 3 ot H0
4— oq 2 n3) Pour obtenir les lois de M , M. et Q, les fonctions élémentaires a, b et c^ doivent être multipliées par des constantes qui sont ;
37
De plus, dans et figurent un terme indépendant de qui dans
les deux cas vaut - ^ .2 (I + ^ ) C^.
On constate que ces termes sont les mêmes dans chacun des 3 cas au facteur ^ dans l’expression de Q près,
â
Les termes contenant C2 et dépendent - du coefficient de raideur 0
» des conditions aux limites c.â.d. de la forme et des dimensions de la plaque, des sollicitations en grandeur et mode de réparti tion et des conditions d’appui.
Remarque ;
On vérifiera par la suite que C2 et seront toujours inverse
ment proportionnels à 0 , de sorte que le coefficient de raideur s’élimine.
Les termes k^^.a^ dépendent seulement de la grandeur et du mode de répartition de la charge répartie et de la dimension a de la plaque.
4) Pour obtenir et Q sous la forme-type, il ne reste plus qu’à
mettre la charge totale appliquée N en évidence.
En divisant les valeurs des constantes ci-dessus par N, il sera possible d’obtenir des nouvelles constantes qui ne dépendront plus de la grandeur de la sollicitation.
5) N est une charge totale appliquée sur une surface circulaire ou annulaire ou lelong d’une circonférence.
Mr» et Q par contre sont des moments ou des forces par unité d’arc de circonférence.
On peut donc prévoir que dans chacun des termes des polynômes on retrouvera un facteur I .
Il
Nous sommes maintenant en mesure de formuler les conclusions sui vantes s
Dans tous les cas de dalles circulaires ou annulaires chargées symé triquement dans un domaine (r^^j r£) par une charge
1) il sera toujours possible d’exprimer dans le domaine les lois du moment radial et du moment tangentiel de telle façon que
- N [t + A a, + B -f 1“
J
(58)=S [k + A + B b^ + L„ (59)
OÙ N représente la charge totale appliquée,
K, A, B et L représentent des constantes sans dimensions qui sont identiques pour et pour et qui dépen dent du problème posé (mode de répartition de charges, conditions d’appuis, forme et dimensions de la plaque),
c__, a., b^, c_* des fonctions sans dimensions de la r r nr c t nt variable f , indépendants du problè
me posé.
2) Les expressions des fonctions élémentaires a, b et c^^ sont :
= I (I log y + » (I +v)iogy + ^
c =* n •«- 3 > ^ . n+2 ^ ^ I •>• (n-»-3) o n+2
îiCnHÎ Cn+2)^ ^ n (nH)(n+2)^ ^
3) Les constantes K, A, B et sont liées aux constantes C^, C2 et
39. par les relations s
NK = - 2 (I NA = - n NB = - ^2 n Z) 7 ou NK rrmrj^ NA "Tî> NB a^ n i) NL = - k_ n a n n n+2 NL, U a n n+?
La déformée peut alors aussi s’écrire, avec les constantes K, A, B et Ljj,
2 r .-Na " ^ n
n+4
SalvT) logf +Blog^+2;o
(n+4) (n+2
C, ^ îi 1 (60)
a^ N
La tangente â la déformée dans un plan radial s’exprime par D _ T ^ n+3
if (2 logj> + I) + r n?
dw Na r K « f . . .
a? = - -sn [ Tw)
f
(n+4) (n+2 )'La loi de la charge vaut q
(61)
(62)
X a
4) Il sera également possible d’exprimer la loi de l’effort tranchant Q sous la fozme
A. (63)
où N, A et Lj^ ont les mêmes significations et valeurs que ci»dessus a représente le rayon du périmètre extérieur
a et c des fonctions sans dimensions de la variable p , in-
40.
5) Les expressions de ces fonctions
a.
ny et nq
sont : n(n+2)
6) Les expressions (5d) à (63) fournissent les fozmiles nécessaires à l’écriture du système d’équation en K, A, B et L^^ qui corres» pondent aux conditions aux limites d’un problème donné.
Application.
Soit une dalle circulaire appuyée lelong son périmètre extérieur et soumis à une charge en paraboloîde de révolution
q “ %
On demande les lois des et Q.
de
La loi de la charge peut encore s’écrire
q = - **^■‘■*10
a Dans
on a donc = q^ et k2 =«■ “y , tous les autres k étant nuis.
Il faut donc chercher K, La charge totale N vaut
r a A» ^ «2 N =* j 2 x r. q dr ■= d. D’où L. =» « k„ X a^ d’où L^ - - 2 0 —R--->^2 * 0 I II d’où L2 " 2
Au centre de la plaque les fonctions a^, et b^. deviennent infinies
41. Exprimons enfin qu'au bord extérieur = o
- N [ K + Aa^ + Bbj. + + L2 03^ ] Pour ? - 1 , c^j. = 1 et c2r d»où On a donc «r “
«[
«b* «[ VîT^*'
Q - aN 2 ®or * ‘2r 'ot ^ '2t ^ ®Oq ^ '2qSi l'on désire également connaître la déformée par rapport à la cir conférence d'appui prise comme référence, il suffit d'exprimer à l'aide
(52) que la flèche est nulle pour f = 1 : on en tire la valeur de C,
et tous les termes de l'expression de w sont alors connus. ^
2. Sollicitations autres qu'une charge répartie.
Nous avons Jusqu'à présent envisagé uniquement le cas d'une charge
répartie de façon continue dans le domaine r^^> r > T2i et nous avons
étudié un ensemble de formules valables à l'intérieur dece domaine. Appelons a et b respectivement les rayons des périmètres extérieur et
intérieur de la plaque (Pour la dalle circulaire b = o).
1) Si r^^ < a,il y aura un domaine r^ ^ r < a extérieur à la zône chargée possédant ses formules propres.
L'équation de Lagrange devient ici A Aw = o.
Les formules établies précédemment poiu* le domaine (r^ ; r2) res tent valables, en y faisant q = o, étant entendu qu'on aura ici une autre série de constantes d'intégration C'^, C'2, C*^ et C*^.
2) Si T2 > b, il y aiira de même un domaine (t2 ; b) intérieur à la zône chargée pour lequel la même remarque peut être faite. 3) Les domaines (a ; r^^) ou (r2 ; b), au lieu d*être non chargés,
pourraient recevoir une charge q* répondant à une loi q* q (r) : les formules établies pour (r^^ ; r2 ) restent valables en y remplaçant q par q* et sachant qu’il s’agit de 4 autres constantes d’intégration et d’une autre charge totale N*.
42.
4) On peut ainsi généraliser au cas d’une dalle circulaire ou annulaire divisée en m domaines concentriques chargés respec
tivement de charges réparties q^, q2» conduira
à un système de 4 m équations à 4 m inconnues.
A noter cependant que la constante n’intervient que dans la formule de la flèche ce qui simplifie le problème dans certains cas.
Il résulte de ce qui précède que pour chacun des domaines, les propriétés de similitude entre les lois de M^, et Q et par conséquent les conclusions du paragraphe 1 ci-dessus restent va lables.
5) Il reste deux autres types de sollicitations possibles : une charge linéaire uniforme P ou un couple linéaire uniforme m
(Définition ; v. Ch. I. 1.2.).
Nous avons déjà vu que les propriétés de similitude restent vérifiées pour un domaine non chargé contigu à un domaine
chargé de façon continue (r, ; r2)« Or l’influence de la zône chargée sur celle qui ne l’est pas se traduit par l’application à la frontière r^^ (ou T2 ) d’un moment radial îÇ, d’un moment tangentiel ÎL et d’un effort tranchant Q. Le domaine chargé
pourrait donc être remplacé par et Q.
Il en résulte que quelque soit le mode de sollicitation appli quée à la frontière de la zône non chargée, les propriétés de similitude restent applicables dans ce domaine.
Ces propriétés sont donc également valables pour les deux types de sollicitations envisagés.
Conclusion :
Les formules établies au paragraphe 1 pour un domaine sollicité par une charge répartie et en particulier les propriétés de simi litude entre les lois de M^,, et Q sont applicables aux autres domaines, chargés ou non. Elles le sont également si la sollici
CHAPITRE V.
43.
SOLLICITATIONS SYMETRIQUES UNIFORMES
1. Charge répartie uniforme.
Il s♦agit d^un cas particulier du chapitre précédent où l^on a : cte.
a = ^ k
^ L O r^= > îî k. a>" f ^n
La seule valeur de n à envisager est n = o
et k„ = q
Dans les formules établies précédemment, toutes les sommes du type vont se simplifier en se réduisant à un seul terme et nous obtenons les expressions ci-après.
^nr donne or T - ‘^r ^nt donne II o U I^+ 31^ ^2 _ ^ ^nq donne ^oq - ^q 2 donne I-o =
1
II I0
Nous avons ainsi défini les fonctions c^., c^ et c^ analogues aux fonctions a et b, ainsi que la constante C. Celle-ci se différencie des constantes K, A et B par le fait qu*elle ne dépend pas des
constantes d♦intégration C^, Cg, C^ et C^. Etudions la de plus près. En examinant la définition de C, l*on constate que le numérateur représente la charge que recevrait une dalle de rayon a entièrement chargée de la charge q. C est donc une mesure de la proportion
chargée de la surface de la plaque.
Soit b le rayon d*une circonférence intérieure délimitant la zône chargée de la zône non chargée
1.1. Si l*oh se limite tout d’abord axùc dalles annulaires à un domaine et aux dalles circulaires à ^domaines, quatre cas peuvent se présenter. Ils sont résumés au tableau ci-après :
44*
Position de la
charge répartie N Valeur de
2
n -Ttqa Schéma complète zone intérieure zône extérieure nulle
2
q a Tl v2
q D 71 /2
,2
. q(a "b )u - 1 I ( -^ ) - ^ ( X- ;0
fr-1... II'' 'il . ^ [T( X- ) : la valeur de C indiquée se rapporte à la zône chargée.
Dans la zône non chargée C =
0
Ces définitions étant posées, les expressions générales {5^)^
45. On a de même à partir de (60) et (61), en appelant D la constante
En exprimant les conditions aux limites à l*aide des relations (64) à (6ô) on pourra déterminer les inconnues A, B, C, K et D.
Les 4 premières d^entr*elles étant déterminées, on a immédiatement les lois des M^., et Q.
Propriétés particulières des constantes.
1) La constante D n’intervient que dans l’expression de la flèche. Connaissant l’origine de l’axe O2, c.à.d. une valeur particulière de w pour un ^ donné, on la détermine par une seule équation
Cette détermination est cependant Inutile chaque fois que l’on se contente de connaître les constantes sans s’intéresser aux dé formations.
2) Lorsque le domaine étudié s’étend jusque r = o, pour que la flè che au centre reste finie, il faut que dans w, le terme
R
- log reste fini pour ^ — o. Il faudra donc que l’on ait B = o.
3) Considérons l’expression de pour le même cas limite f ^ o. On vient de voir qu’on a déjà B = o.
Pour que M^. reste fini lorsque y—o,il faut que le coefficient e a^ soit nul
D’où A = o.
4) Les valeurs de C sont données par le tableau ci-dessus.
Ces 4 remarques importantes sont de nature à simplifier considéra blement le calcul des constantes.
C
4 •
3
Applications. 46.
a. Soit le cas simple de la dalle circulaire uniformément chargée sur toute sa surface
par une charge q.
i -
iaa.l. On demande M^., et Q. Recherchons K, A, B et C.
1. Compte tenu des "Propriétés particulières des constantes" n® 2 et 3, on a
A * 0 et B = 0
2. La charge étant complète le tableau des C donne
C = - 1
3. Il reste à déterminer K
Exprimons que M^. = 0 pour f = 1
I = “ [ K - 1-cj 0 “>■ * -
"0
D»où «r Wt Q N N N â ( U TSnî ) ) )a.2. On demande aussi w sachant que le périmètre extérieur se trou ve dans le plan de référence.
47. b ^ V - ^ r 3 + v 1) n ii 5- • D . N'x “ ( Q'-iJiÜ 1 f Ÿ » ■ i
et - Na. - s’’ i-ii-iv) f + No. _ 1 '
£) P. r,H ic k£i
N Cl' f I 11 _
! tV ^
'1
b. Etudions ensuite le cas représenté ci-contre.
On demande M^, et Q.
Il y a deux domaines à considérer.
Affectons la zône extérieure de l»indice "prime" Ilya2x4=Ô constantes à déterminer.
Pour la zône intérieure on a pour les mêmes raisons que dans la 1ère application
A = 0 B = 0
Pour la zône extérieure (v. tableau) C » = 0
Il reste K, A», B» et K*.
1. Exprimons à l’aide de (5Ô) que l’effort tranchant total lelong de la circonférence de rayon b est égal à l’effort tranchant total lelong de la circonférence de rayon a.
A’a_ + C’c^ N Aa^ + Cc^
q q ? = P ^ q q
ce qui se réduit à A»a^ 1 y - P 4Ô. _I^ 7 ; = P
d*où, compte tenu des définitions des fonctions et c^,
A* ■ ïI
2. Exprimons à l'aide de (6?) qu'au bord extérieur l'angle de rota tion est nul
=0 Na rr F'H" A'f (2 iog<j> + f = I =
0
ce qui se réduit à (I + ) B' + n K' - -g-ii3. Exprimons à l'aide de (6?) qu'à la limite commune auxdeux domai nes les angles de rotation sont les mêmes :
( dw* % _ / dw t ' ' J = P ” ' H?"' ^ * P >Na 5) n I +t SI + C . .3 Na J0 n P+7 A y <2 log<j> + I) + ^ + j’ = P j> = P ce qui se réduit à : (I + V/ ) B* + p^n K» - p^n K - ).P ( 4 log p + I ) =0
4« Exprimons à l'aide de (64) qü'à la limite commune auxdeux domai nes les moments radiaux sont les mêmes
N [ K' + A'a^ + B'bj. + C'cJ = N [ K + Aa^. + Bbj. + CcJ
f “ P ; = P
49.
ce qui se réduit à ;
(I -V ) B» - p^u K» + p^n K + ^ -^p^log p ^ = 0
Les 3 relations entre B’, K* et K ainsi déterminées forment un système de 3 équations linéaires dont la solution est
, (^) (a ^
K = \l (P^ - U log P)
Il suffit maintenant d’introduire les2 x 4 constantes A B, C, K et
A’, B’, C*, K’ dans les expressions générales (
64
) à (60) pour obtenir directement les 2x3 formules donnant les M^,, et Q.
Si l’on désire connaître également w’ et w, il suffit, en supposant que le bord extérieur se trouve dans le plan Oxy, d’écrire à partir
de (6Ô) que (w’)^ * i ~ ^ 9^^ donnera D’.
Ensuite en exprimant, à l’aide de la même expression (6B), que
P * trouvera D.
1.2 Nous avons examiné au point 1.1 le cas de dalles annulaires à un domaine et de dalles circulaires à 2 domaines (voir exemples ci-contre). Il s’agit en fait des dalles possédant une circonférence particulière intérieure de rayon b.
i' — " i
I " I f • \
zô-J.O.
Etudions maintenant le cas de dalles annulaires à 2 domaines et de dalles circulaires à 3 domaines.
la charge étant répartie et limitée ar—^
à un domaine. On a maintenant une seconde circonférence intérieure
particulière dont le rayon est c fth pm
et nous posons ^ =* £ ^ /c
® Jter
___________XCL
Les propriétés de similitude entre les lois des M^, et Q étant générales, elles s’appliquent également à ces cas-ci. On peut donc procéder de la même façon que précédemment.
50.
Les cas de dalles circulaires à 3 domaines demandent cependant la détermination de 3 x 4 = 12 constantes. Malgré les simplifica tions signalées au paragraphe "Propriétés particulières des con stantes", le calcul des formules théoriques complètes, c.à.d. avec termes littéraux en est très long.
Les propriétés de similitude établies ci-dessus combinées au prin cipe de superposition permettent toutefois une résolution quasi immédiate du problème à partir de la connaissance de cas à 2 do maines .
Considérons 1*exemple E ci-contre : On peut le décomposer en la dif férence des 2 cas El et E2 figurés ci-après. (» . / 1 Ml > ri jTTrr f Xc. Ail ia-Nous avons vu que les fonctions élé
mentaires a, b et c sont toujours les mêmes, pour tous les cas de dalles. Il n*y a donc que les con stantes A, B, C et D et le terme N qui diffèrent entre El et E2.
'z I t M » I ^ • r » f / I / --- '
Il suffit donc de faire la différence des termes NA, NB NC et NK, domaine par domaine pour obtenir la résolution complète du cas envisagé.
Nous écrivons la résolution du cas E sous la forme du tableau ci- après ; les valeurs pour El et E2 sont données par Inapplication b du § 1.1 ; les valeurs de E sont obtenues par simple différence ;
52. Sachant que 2 2 2 Nj= qnb = qna p N2 = q lï = q 11 a^ N = q n (b^ c^) = q n a^ (/3^ -On a aisément Ni = N2 = N. N. "2 P - y g ^ p^TT^
On peut alors dans les résultats du tableau ci*dessus remplacer Ni et N2 par leur valeur en fonction de N, p et et l’on
obtient ainsi les 3x4 constantes A, B, C et K permettant d’écrire
dans chacun des 3 domaines les lois des et Q.
53
2. Charge linéaire uniforme.
En ce qui concerne les dalles circulaires^ nous avons au paragraphe 1.1. étudié le cas d*une dalle à 2 domaines dont l*un recevait ime charge répartie.
Au point 1.2. nous avons montré que les formules établies restaient valables pour une dalle à 3 domaines, toujours sous une charge ré partie.
Le cas d’une dalle à 2 domaines recevant à la limite de ceux-ci une charge linéaire peut être considéré comme un cas limite où la lar geur du domaine chargé tendait vers 0 tout en maintenant la charge totale N constante (q tend donc vers l’infini).
Comme en 1.1. toutes les formules ont été exprimées en fonction de N et non pas de q, elles restent intégralement d’application.
On en déduit que lorsque la charge est linéaire la constante C est toujours nulle.
Application.
Reprenons l’exemple E étudié au § 1.2. en y faisant tendre ^ vers p La zône intermédiaire disparaît donc
et on a immédiatement pour le domaine
extérieur ( p).
(I + P^)
Conclusions. 54. Les formules établies en 1.1. pour les chargea réparties sont appli» cables aux cas de charges linéaires.
On aura de plus toujours C = 0.
uniforme.
Ces cas se distinguent des précédents par le fait que la sollicita» tion n^est plus une force mais un couple agissant uniformément le»
long d’une circonférence.
Il ne pourra dès lors plus être question de mettre le terme N en évi dence qui n’existe pas ici.
Reprenons la théorie générale établie au chap. III pour lessollici- tations symétriques et en particulier les expressions (44)y (45) et
(46).
Puisqu’il n’y a pas de surcharge répartie, les coefficients k sont
tous nuis. ”
Dès lors les expressions (44) à (46) se réduisent è :
Mj.= I 2 Cj (1+ V ) =>
(I»
2(1+V )iog^ + (3 + )
r 2 Cj (1+ >^) + )+ C3I 2{I+*')logj' + (I +3v^î c, ^Q
. (69)
(70)(71)
En introduisant les fonctions élémentaires a^, b^, a^, définies précédemment, ces expressions deviennent :
•>t et a. IV = 2 Cj (1+^ ) + C^ * u.a_ + 2 0 a. Co n . b_K ' a (69* ) «t = -i) 2 Cj (1+ *^ ) + C3 * ^t (70*) Q = . a. (71’)
55. (72)
(73) (74)
Pour passer de (69*), (70*) et (71*) à (72), (73) et (74), nous avons dù poser
m K = - -^^.2 (1+ ^)
m A = - ^ n
Or nous constatons que si l*on remplace m par N, l*on retrouve exactement les expressions liant K, A et B à C^, C2 et dans la théorie générale (point 3 des conclusions du § 1, chap.IV).
Il en résulte que toutes les expressions établies au § 1.1. pour les charges réparties uniformes restent valables à condition de remplacer N par m et en particulier (67) et (6Ô) qui deviennent
1) Les 3 premières propriétés particulières des constantes formu lées au § 1.1. du présent chapitre pour les charges réparties restent valables.
La 4e (valeur de C) devient sans objet.
2) Examinons la signification de la constante A.
Lorsqu*une plaque est soumise uniquement à un couple linéaire uniforme, la somme de ses réactions d*appui perpendiculaires au plan de la plaque doit être nulle, par équilibre de transla tion.
Si la plaque n*est appuyée que lelong d*une seule circonférence, cette réaction d*appui sera donc nulle.
Dans ce cas 1*effort tranchant sera partout nul également. / (75)
« = f ^
Pour tous ces cas on aura donc A = 0.
Or, d’après (74) 56.
D’où la règle :
Dans tous les cas des dalles circulaires ou annulaires soumises à un couple linéaire uniforme,appuyées le. long d’une seule circonféren
ce, l’effort tranchaht est partout nul et A = 0.
4. Résumé.
Tout problème de dalle circulaire ou annulaire soumise à une solli citation symétrique (une charge répartie uniforme, charge linéaire uniforme ou couple linéaire uniforme) se ramène à la détermination de 4 m constantes, m étant le nombre de domaines que comporte la plaque.
Certaines propriétés particulières permettent la détermination immé diate de certaines de ces constantes.
Les autres doivent être déterminées à l’aide d’un système d’équa tions linéaires.
57.
CHAPITRE VI
RESOLUTION COMPLETE DE DIVERS CAS DE SOLLICITATIONS SYMETRIQUES
UNIFORMES-Par application de la théorie établie au chapitre V, nous allons donner dans ce chapitre les valeurs des constantes A, B, C et K permettant d*écrire les lois des M^, M^ et Q dans la plupart des cas de sollicita tions symétriques uniformes.
Nous indiquerons successivement :
- Tableau I : Tableau synoptique et numérotation des cas de sollicita tion par charge répartie uniforme et linéaire uniforme envisagés.
Tableau II : Charge répartie uniforme et linéaire uniforme -Valeur de A, B, C et K.
- Tableau III : Tableau synoptique et numérotation des cas de sollicita tion par couple linéaire uniforme envisagés.
- Tableau IV : Couple linéaire uniforme - Valeur de K et B.
• Tableau V : Valeur des fonctions élémentaires a^, b^, a^, b^, ®t» ®q ®q P®'*** T variant de 0,05 en 0,05, avec
V a 0,1.
Remarque concernant le calcul numérique de dalles circulaires.
Un examen du tableau II ci-après montre que dans beaucoup de cas les constantes K, A, B et C sont des quotients de polynômes de plusieurs termes. Nous avons vu précédemment que les lois des M^, M^ et Q se présentent également sous la forme de sommes algébriques de plusieurs termes.
Comme ces divers termes sont parfois de môme ordre de grandeur mais de signes opposés, il Importe de les calculer avec suffisamment de pré cision, sous peine d*obtenir des résultats dénués de toute significa tion.
TABLEAU I 5S. Forme et appui de la plaque Sollicitation I I I I I I I I I r I JUL œhh_llEli t_______ i Ü. I t * * I t I I I M ■ I I » t » t I t I n I I M I iT~) I ' ' n I M i~n JE" la 2a 15 3a 25 2 Sa 8 16 11 26 17 12 27 I5a I6a I7a I8a 3 lia I2a 18 28 4 7 9 19 13 29 rr I ^ I > M I I [ I I I 111111 ~2l. jST 20 IGa 30 20a 2Ia 10 21 31 I . I M ' I I I i I I I7i f n I I I I I U 111 iT—-Tl I I I M rrm Æ~ 5a 6a 22 5a 32 I4a 23 33 6 14 24 14 34 22a 23a
24
a 23a I4a 23 33 I4a 23 33Remarque : Un numéro suivi de l^indice a désigne le cas inverse de celui répris soùs le même numéro mais sans indice ; les constantes correspondantes sont donc les mêmes mais changées de signe.
n:
