2017-2019 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 1 sur 4
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2017-2019 30/03/2018
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Compléter : "Un résidu est un décalage …?... entre un point et une droite." :
minimal maximal vertical moyen
2) Si un nuage de points (xi, yi) s’étire en descendant, alors :
Cov(X, Y) < 0 Cov(X, Y) < 0 Cov(X, Y) > 0 Cov(X, Y) > 0
et r < 0 et r > 0 et r < 0 et r > 0
3) L’amplitude d’un intervalle à p% de confiance augmente forcément si :
y’0 augmente y’0 augmente y’0 diminue y’0 diminue
et p augmente et p diminue et p augmente et p diminue
4) Un coefficient de corrélation linéaire compris entre 0 et 0,5 implique que les points du nuage…
sont distribués suivent une sont éloignés les ne suivent pas
presque au hasard courbe uns des autres une droite
Exercice 2 : Test du χ² (5 points)
Une étude réalisée auprès de 2000 Français a pour but de mettre en évidence un lien entre le revenu annuel de leur foyer et la catégorie du lieu de séjour choisi pour les vacances d'été :
Revenu annuel du foyer (k€) [15 ; 25[ [25 ; 35[ [35 ; 60[ 60 et
plus totaux Lieu de séjour
Camping 345 428 177 27 977
Hôtel 44 131 135 82 392
Appartement/maison 113 245 156 117 631
totaux 502 804 468 226 2000
1) Par un test du Khi-deux, peut-on dire au seuil de 1% s'il y a une relation entre le revenu d'un foyer et son
type de lieu de séjour préféré ? 4 pts
Hypothèse nulle (H0) : revenu et lieu sont indépendants.
Khi-deux calculé :
Des sous-totaux du tableau d'observations, on déduit un tableau d'effectifs théoriques : 245,227 392,754 228,618 110,401 977
98,392 157,584 91,728 44,296 392
158,381 253,662 147,654 71,303 631
502 804 468 226 2000
Puis, la comparaison des deux tableaux précédents nous permet d'obtenir les Khi-2 partiels : 40,5936195 3,16299902 11,6544538 63,0042011
30,0683965 4,48464981 20,4132433 32,093002 13,0030443 0,29578827 0,4717496 29,286507
248,531654
Le total apparaissant en bas, à droite, est notre χ²calc. Khi-deux limite : au seuil de 1% et avec 6 ddl, χ²lim = 16,8.
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Comparaison et décision : χ²lim est largement dépassé par χ²calc . On peut donc rejeter l'hypothèse nulle et affirmer (avec moins de 1% de chances de se tromper) qu'il y a un lien entre le revenu et le choix du type de lieu de séjour.
2) Donner les deux Khi-deux partiels les plus élevés ainsi qu'une explication concrète de ce qu'ils
représentent pour les foyers Français. 1 pt
Il s'agit de 40,59 et 63. Ils appartiennent tous les deux à la première ligne du tableau des Khi-deux et concernent donc le public choisissant le camping. En comparant les effectifs observés et théoriques aux endroits correspondants, il apparait que, par rapport au reste de la population, les foyers modestes ont une préférence marquée pour le camping alors que les foyers les plus aisés délaissent le camping.
Exercice 3 : (3 points)
Le laboratoire d'une entreprise agroalimentaire produisant de la sauce bolognaise étudie la croissance d'une culture bactérienne dans cette sauce. Pour cela, l'évolution de la quantité de bactéries en fonction du temps à température ambiante est analysée dans quatre échantillons, ce qui a donné le nuage de points ci-dessous (ce dernier montre une tendance, mais ne suit pas une courbe en particulier, du fait que la croissance bactérienne ne s'est pas déroulée exactement au même rythme dans les différents échantillons).
1) Si une norme sanitaire interdit la consommation d'un produit lorsqu'il contient plus de 20000 bactéries par millilitre, quelle sera pour la sécurité du consommateur la durée maximale conseillée à laquelle on peut
laisser un pot ouvert à température ambiante ? 1,5 pt
En effectuant une estimation de la croissance bactérienne la plus rapide constatée (courbe en pointillés), on dira que le seuil des 20000 bactéries par mL est atteint au bout de moins de 4h. Par sécurité, on conseillera une ouverture ne dépassant pas 3h30, voire 3 heures si l'on considère que d'autres échantillons auraient pu montrer une croissance plus rapide encore.
2) Il semble qu'un ajustement linéaire ne soit pas le meilleur modèle pour refléter l'évolution constatée. Les analystes ont opté pour une représentation exponentielle et en ont déduit l'équation suivante :
0,4525
2191e x 7000
y= + où y est le nombre de bactéries par mL et où x est la durée exprimée en heures.
a. Sur le graphique au-dessus, tracer la courbe correspondant à cette équation. Commenter. 1 pt Voir courbe bleue en trait plein. En effet, cette courbe semble représenter assez bien "l'axe" du nuage.
b. Grâce à cette équation, estimer le nombre moyen de bactéries par mL que l'on atteindrait au bout de
10 heures d'ouverture à température ambiante. 0,5 pt
0,4525
2191e x 7000 209220
y= + = .
2017-2019 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 3 sur 4 Exercice 4 : (3,5 points)
Le tableau ci-contre croise deux variables X et Y. Un ou plusieurs individus
correspondent à chaque
intersection (intérieur du tableau).
À l'aide de votre calculatrice, donner les moyennes et écarts types de ces deux variables, et calculer leur covariance.
Y
X 1 2 4 7
[0 ; 20[ 4 12 20 7
[20 ; 30[ 6 15 14 2
[30 ; 40[ 13 16 3 1
Les valeurs de X, celles de Y et les effectifs seront saisis sur trois listes en parallèle, par exemple : List1 : X List2 : Y List3 : effectifs
10 1 4
25 1 6
35 1 13
10 2 12
25 2 15
35 2 16
10 4 20
25 4 14
35 4 3
10 7 7
25 7 2
35 7 1
En paramétrant correctement sa calculatrice, on obtient les résultats suivants :
( )
cov ,
22,212 ; 10,3466 ; 2,8938 ; 1,7108
6460 22,212 2,8938 7,1102 113
X Y
x y
X Y xy x y
n
σ σ
= = = =
=
∑
− × = − × = −Exercice 5 : (6,5 points)
Le chiffre d'affaires du e-commerce en France évolue de manière assez régulière depuis quelques années.
Le tableau ci-dessous (source : http://fr.statista.com) le donne en milliards d'euros, de 2008 à 2016 :
année 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
CA 20 25 31 37,7 45 51,1 56,8 64,9 72
On souhaite modéliser cette évolution par une équation simple, si possible celle d'une droite, et utiliser celle- ci à des fins de prévision.
1) Nommons X le nombre d'années écoulées après l'an 2000 (ex : X = 8 pour 2008, X = 16 pour 2016), et Y le chiffre d'affaires du e-commerce en France.
a. Calculer la covariance du couple (X, Y) puis son coefficient de corrélation linéaire. Est-il pertinent d'utiliser une droite pour la modélisation du CA en fonction du temps ? 1,5 pt
( )
cov , 5234,7
12 44,833333 43,6333 9
X Y xy x y
=
∑
n − × = − × ≈ .( )
cov , 43,6333333
0,99897 2,5819889 16,9164614
X Y
r X Y
= σ σ ≈ ≈
× . La corrélation linéaire est excellente : il est donc pertinent d'utiliser une droite pour la modélisation du CA en fonction du temps.
b. Donner directement, grâce à votre calculatrice, une équation de la droite des moindres carrés issue de
ce tableau. 1 pt
6,545 33,707
y= x− .
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2) a. Grâce à l'exploitation de cette droite, et dans l'hypothèse que la progression future se fasse au même rythme, donner un intervalle à 99% de confiance du chiffre d'affaires du e-commerce en France pour
l'année 2025. 3,5 pts
Calcul des yi′ =6,545xi−33,707 :
18,653 25,198 31,743 38,288 44,833 51,378 57,923 64,468 71,013 Calcul des i i
i
z y
= y′ :
1,0722 0,9921 0,9765 0,9846 1,0037 0,9946 0,9806 1,0067 1,0139 Obtention de la moyenne et de l'écart type de Z : 1,00278 et 0,02717424.
Calcul de y0′ =6,545x0−33,707 129,918= : estimation du CA pour 2025 (x0 = 25).
Intervalle de confiance :
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
0 ; 0
129,918 1,00278 2,58 0,02717424 ; 129,918 1,00278 2,58 0,02717424 121,17 ; 139,39
Z Z
y′ z u σ y′ z u σ
− × + ×
= − × + ×
=
b. Quelle est environ la probabilité qu'en 2025 ce chiffre d'affaires dépasse 140 milliards d'€ ? 0,5 pt Cette probabilité vaut donc environ 0,5%.
____________________ FIN DU SUJET ____________________
