2019-2021 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 2 « partiel » CORRIGE page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2019-2021 12/2019
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Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : (3 points)
Un nouveau produit est lancé sur le marché en février, très bien accueilli puisqu’on a constaté une progression des ventes de 17% par mois (chaque mois, on vend 17% d’articles en plus que le mois précédent). On prévoit que cette tendance durera jusqu’en décembre inclus.
1) Par combien la quantité vendue sera-t-elle multipliée après dix mois de progression ? 1,5 pt Chaque mois, elle est multipliée par 1,17, donc après 10 mois par 1,1710 = 4,807.
2) Si on a vendu 500 unités en février, combien en a-t-on vendu en septembre ? 1,5 pt 500 × 1,177 = 1500 ou 1501
Exercice 2 : (2 points)
Résoudre le système suivant : 2 3 1
4 5 7
x y x y
+ =
+ =
.
1 2
2 3 1 4 6 2 4 6 2 8
4 5 7 4 5 7 L L 5 5
x y x y x y x
x y x y − y y
+ = + = + = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = = − = −
Exercice 3 : (3 points)
On donne le polynôme suivant : P x
( )
=3x2−5x−2.1) Etudier le signe de ce polynôme. 1,5 pt
Son discriminant vaut 49 et ses racines sont -1/3 et 2. Comme son premier coefficient est positif, ce polynôme est négatif si, et seulement si, sa variable est prise dans l’intervalle [-1/3 ; 2].
2) Donner, après justification, sa valeur minimale. 1,5 pt
Comme son premier coefficient est positif, ce polynôme atteint sa valeur minimale en x = -b/2a = 5/6.
Cette valeur minimale est 5 49
6 12
= −
P .
Exercice 4 : (6 points)
Soit la fonction C définie sur [0 ; 12] par :
( )
2 2 2 2016
x x
C x x
+ +
= + .
1) a. Dériver la fonction C. 1 pt
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2 . 2
2 2
4 2 16 2 2 20 1 2 64 12
16 16
+ + − + + + +
′ = =
+ +
x x x x x x
C x
x x
b. Montrer que la fonction C est croissante sur [0 ; 12]. 1 pt
Le dénominateur de C x′
( )
est positif, car c’est un carré ; son numérateur est positif car il est la somme de trois nombres positifs (x ∈ [0 ; 12]).( )
C x′ est donc positif et la fonction C est croissante sur cet intervalle.
c. Représenter graphiquement en page suivante la fonction C, pour x ∈ [0 ; 12]. 1,5 pt
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2) Une entreprise produit des pièces détachées d’un certain type, en quantité x, x ∈ [0 ; 12], en tonnes.
Le coût total de production, C, est donné en fonction de x par : C x
( )
2x2 216x 20x + +
= + (en k€).
Le coût de production moyen, CM , est défini par :
( ) ( )
M
C x C x
= x , en k€/tonne, sur ]0 ; 12].
a. Calculer le coût de production moyen de deux tonnes produites, puis celui de dix tonnes. 1 pt
( ) ( ) ( ) ( )
;
2 10
2 0,889 k€/tonne 10 0,923 k€/tonne
2 10
M M
C C
C = ≈ C = ≈
b. Justifier que, si on désigne par O l’origine de notre repère et par A un point de la courbe de la fonction C, alors la pente du segment [OA] a la même valeur que le coût de production moyen. 0,5 pt
Entre les points O et A, A 0 A
( ) ( )
A 0 A
pente y y y y C x M CQFD
C x
x x x x x
−
=∆ = = = =
∆ − .
c. Utiliser le principe énoncé dans la question précédente pour déterminer graphiquement la quantité à
produire qui rend le coût moyen minimal. 1 pt
On recherche le segment [OA] ayant la pente la plus faible, en faisant parcourir la courbe par le point A.
On s’aperçoit que pour x = 4, cette pente est la plus faible (segment tracé sur la figure).
Exercice 5 : (6 points)
Le tableau 1 ci-dessous montre les résultats d’un groupe d’étudiants de TC en mathématiques (la ligne
« effectifs » désigne le nombre d’étudiants correspondant à la note indiquée au-dessus).
note sur 20 6 8 9 10 12 14 17
effectifs 1 3 2 8 7 3 1
1) a. Déterminer la note médiane de la série (expliquer). 1,5 pt
Il y a 25 étudiants. La note médiane est celle du 13ème de la liste : 10/20.
b. Donner la note moyenne et son écart type. Interpréter ce dernier. 2 pts D’après la calculatrice : x ≈ 10,84 points et σ ≈ 2,344 points.
L’écart type est la distance moyenne séparant les valeurs de leur moyenne.
2) On décide de regrouper ces résultats en classes, suivant le tableau 2 ci-dessous : note sur 20 [6 ; 9[ [9 ; 11[ [11 ; 13[ [13 ; 20[
effectifs 4 10 7 4
A
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a. Compléter la ligne des effectifs de ce tableau 2, à partir du tableau 1. 0,5 pt b. Ci-dessous, représenter l’histogramme de la série donnée par le tableau 2. 2 pts
Les hauteurs des rectangles sont les concentrations : 4/3 ≈ 1,33 ; 10/2 = 5 ; 7/2 = 3,5 ; 4/7 ≈ 0,57.
note sur 20 [6 ; 9[ [9 ; 11[ [11 ; 13[ [13 ; 20[
effectifs 4 10 7 4
amplitudes 3 2 2 7
concentrations 1,33 5 3,5 0,57
