2018-2020 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2018-2020 04/2019
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : QCM (4 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Pour saisir sur calculatrice les données d’un tableau de contingence, il faut :
une liste deux listes trois listes quatre listes 2) Un effectif marginal est :
un effectif de un effectif un effectif Un sous-total faible taille supplémentaire virtuel d’effectifs 3) Le critère de Mayer est :
ei 0
ei20
ei minimale
ei2 minimale4) Issues d’un tableau de 10 valeurs, combien y a-t-il de moyennes mobiles des valeurs prises par groupes de quatre ?
2 2,5 6 7
Exercice 2 : Test du ² (6 points)
Une entreprise commercialise des tondeuses à gazon. Pour évaluer la fiabilité des machines de quatre marques différentes, on a relevé, pour chaque tondeuse vendue, sa marque (A, B, C ou D) et le fait qu’elle ait été rapportée ou non au service après vente, en période de garantie (voir tableau ci-dessous).
Marque
Fiabilité A B C D
Au moins un
retour au S.A.V 14 3 5 33
Aucun retour au
S.A.V 36 17 35 57
1) Peut-on déduire de ces données que la fiabilité d’une tondeuse dépend de sa marque ? On réalisera un
test au seuil de risque 0,01. 4 pts
Hypothèse nulle (H0) : fiabilité et marque sont indépendants.
Khi-deux calculé :
Des sous-totaux du tableau d'observations, on déduit un tableau d'effectifs théoriques :
13,75 5,5 11 24,75 55
36,25 14,5 29 65,25 145
50 20 40 90 200
Puis, la comparaison des deux tableaux précédents nous permet d'obtenir les Khi-2 partiels : 0,00454545 1,13636364 3,27272727 2,75
0,00172414 0,43103448 1,24137931 1,04310345
9,88087774
Le total apparaissant en bas, à droite, est notre ²calc. Khi-deux limite : au seuil de 1% et avec 3 ddl, ²lim = 11,3.
Comparaison et décision : ²lim est supérieur à ²calc . On ne peut donc pas rejeter l'hypothèse nulle à ce seuil (on a plus de 1% de chances de se tromper si on affirme que la fiabilité dépend de la marque).
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2) Donner les deux Khi-deux partiels les plus élevés ainsi qu'une explication concrète de ce qu'ils
représentent pour cette étude. 1 pt
Il s'agit de 3,27 et 2,75. Ils correspondent aux marques C et D, dans la catégorie « au moins un retour au SAV ». En comparant les effectifs observés et théoriques aux endroits correspondants, il apparait que, par rapport aux autres marques, les tondeuses de la marque C retournent au SAV moins souvent que la moyenne, et celles de la marque D plus souvent.
3) Donner un seuil avec lequel on peut rejeter l’hypothèse nulle ; expliquer. 1 pt Au seuil de 2% et avec 3 ddl, ²lim = 9,84. C’est légèrement moins que notre khi-2 calculé, donc nous pouvons rejeter l’hypothèse d’indépendance au seuil de 2% : on peut dire que la fiabilité dépend de la marque avec moins de 2% de risque de se tromper.
Exercice 3 : moindres carrés et intervalle de confiance (4,5 points)
Les recettes mensuelles d'un site internet commercial très récent sont listées, de janvier à décembre 2018, et données en k€ : 3, 5, 4, 8, 10, 9, 13, 12, 17, 18, 18, 21
1) Qu'est-ce qu'un ajustement linéaire et à quoi peut-il nous servir ? 1 pt Un ajustement linéaire consiste à modéliser l’évolution d’une variable en fonction d’une autre, à l’aide d’une équation de droite. Il permet d’estimer la valeur d’une variable lorsqu’on choisit une valeur pour l’autre.
2) En se basant sur les chiffres donnés ci-dessus, et selon la méthode des moindres carrés, donner l'intervalle de confiance à 95% de la recette de décembre 2019 (numéroter les mois à partir de 1 pour janvier 2018).
3 pts La variable X compte les mois, de 1 à 12, et la variable Y représente les recettes mensuelles données dans l’énoncé. La droite des moindres carrés a donc pour équation : y’ = 1,6364 x + 0,8636.
On peut donc établir les résultats suivants, sur calculatrice :
List1 List2 List3 List4
La moyenne de Z est 1,0132 et son écart type vaut 0,14538.
Le niveau de confiance 95% donne u = 1,96.
y’0 = 1,6364×24 + 0,8636 = 40,136.
On en déduit l’intervalle : [29,23 ; 52,10]
Il y a 95% de chances que la recette de
décembre 2019 se situe entre ces deux valeurs.
X Y Y ' = aX+b Z = Y / Y '
1 3 2,5 1,2
2 5 4,13636364 1,20879121
3 4 5,77272727 0,69291339
4 8 7,40909091 1,0797546
5 10 9,04545455 1,10552764
6 9 10,6818182 0,84255319
7 13 12,3181818 1,05535055
8 12 13,9545455 0,85993485
9 17 15,5909091 1,09037901
10 18 17,2272727 1,04485488
11 18 18,8636364 0,95421687
12 21 20,5 1,02439024
3) Quelle est la probabilité qu'en décembre 2019 la recette soit inférieure à 29,23 k€ ? 0,5 pt Cette probabilité vaut donc 2,5%.
Exercice 4 : changement de variable et Mayer (5,5 points)
Une étude de marché a été conduite sur un nouveau type de produit. Le tableau ci-dessous donne, pour plusieurs prix de ventes proposés, le pourcentage de personnes interrogées prêtes à payer ce prix-là.
prix à l'unité (€) X 2 3 4 5 6 7
pourcentage Y 66 43 28 19 13 10
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y). Interpréter. 1,5 pt
cov , 616
4,5 29,833333 31,58333 6
X Y xy x y
n .2018-2020 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 3 sur 3
cov , 31,58333
0,9489 1,70782513 19,4886
X Y
r X Y
. La corrélation linéaire est assez forte, mais pas excellente : il est possible qu’un ajustement affine ne soit pas le meilleur pour décrire le couple (X, Y).
2) On pose T X X
16
.a. Donner l'équation de la droite de Mayer du couple (T, Y). 2,5 pt
T -28 -39 -48 -55 -60 -63
Y 66 43 28 19 13 10
La méthode de Mayer consiste à partager le nuage de points en deux nuages égaux, suivant les valeurs croissantes de T ; autrement dit : le premier demi-nuage correspond aux trois premières colonnes du tableau et le second aux trois dernières. Calcul des coordonnées des deux points moyens :
tG1 = -115/3 ; yG1 = 137/3 ; tG2 = -178/3 ; yG2 = 42/3 = 14.
Coefficient directeur : a = (yG2 – yG1) / (tG2 – tG1) = 95/63 1,50794.
Ordonnée à l’origine : utilisons le point G2 : yG2 = a×tG2 = + b, soit 14 = -1,50794×178/3 + b, et donc b = 103,47.
L’équation de la droite de Mayer est : y = 1,50794 t + 103,47.
b. Pour des raisons simplificatrices, on réécrira cette équation : y = 1,5 t + 100. En déduire l’expression
d’une modélisation de Y en fonction de X. 0,5 pt
y = 1,5 t + 100 y = 1,5 x(x – 16) + 100.
c. Quel pourcentage de la population pourrait-on estimer pour un prix de vente de 8 € ? 1 pt y = 1,5×8(8 – 16) + 100 = 4. On estime que 4% de la population seraient prêts à dépenser 10 €.
____________________ FIN DU SUJET ____________________
