2018-2020 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2018-2020 09/11/2018
Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : taux et pourcentages (3,5 points)
Durant l'année 2017, le prix d'un article a augmenté de 40%, puis baissé de 30%, puis augmenté de 20%, et enfin a baissé de 10%.
1) Si l'article valait initialement 50 €, donnez ses différents prix après applications successives de ces quatre
taux de variation. 1,5 pt
50 × 1,40 = 70 ; 70 × 0,70 = 49 ; 49 × 1,20 = 58,8 ; 58,8 × 0,90 = 52,92
2) De quel taux l'article a-t-il varié entre le 31 décembre 2016 et le 1er janvier 2018 ? 1 pt (52,92 – 50) / 50 = +5,84 %
3) De quel taux faudrait-il faire varier sa valeur au 1er janvier 2018 pour qu'il retrouve sa valeur au 31
décembre 2016 ? 1 pt
(50 – 52,92) / 52,92 ≈ –5,518 %
Exercice 2 : taux et premier degré (2,5 points)
Un article coûte x € et un autre coûte y €. Objectif : déterminer ces valeurs.
Si j’augmente le premier de 50% et que je baisse le second de 50%, alors le premier coûtera 25 € de plus que le second. Si, au lieu de cela, je diminuais le premier de 25% tout en augmentant le second de 25%, alors le second coûterait 50 € de plus que le premier.
1) Expliquer que l’énoncé revient à écrire le système 1,5 0,5 25 0,75 1,25 50
x y
x y
− =
− + =
1 pt
Traduisons la phrase " Si j’augmente le premier de 50% et que je baisse le second de 50%, alors le premier coûtera 25 € de plus que le second" : x×1,50= ×y 0,50 25 €+ .
Traduisons la phrase " Si je diminuais le premier de 25% tout en augmentant le second de 25%, alors le second coûterait 50 € de plus que le premier " : y×1,25= ×x 0,75 50 €+ .
On retrouve bien le système proposé.
2) Résoudre manuellement ce système puis conclure. 1,5 pt
( ) ( )1 2
1,5 0,5 25 2 3 50
4 250 62,5 et 3 50 37,5
0,75 1,25 50 4 3 5 200
x y x y
y y x y x
x y x y
− = × − = +
⇔ ⇒ = ⇔ = − = ⇒ =
− + = × − + =
Le premier article coûte 37,5 € et le second 62,5 €.
Exercice 3 : mathématiques financières (4 points)
Une somme de 5000 € est placée le 1er janvier 2018, au taux d’intérêts composés annuel de 3,5%.
1) Calculer les intérêts acquis au 1er janvier 2019. 1 pt
1 5000 1,035 5175 €. Donc les intérêts valent 175 €.
C = × =
2) Calculer les intérêts acquis au 1er janvier 2023. 1 pt
5 .
5 5000 1,035 5938,43 €. Donc les intérêts valent 938,43 €
C = × ≈
3) Au bout de combien de temps le capital a-t-il augmenté de 35% ? 2 pts Le capital doit avoir été multiplié par 1,35. Donc :
log log
1,035 1,35 1,35 8,72 années, soit 8 ans et 9 mois.
1,035
n = ⇔ =n ≈
2018-2020 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 2 sur 3 Exercice 4 : programmation linéaire (8 points)
De nouvelles normes environnementales imposent à une commune de planter au moins 250 arbres. Cette commune peut choisir parmi des bouleaux et des platanes, autant qu’elle veut de chaque sorte, pourvu que le total atteigne ou dépasse 250 arbres. Pour ces futures plantations, la surface disponible s’élève à 80 ares (1 are
= 100 m²) ; or un bouleau occupe 20 m² et un platane 40 m². En outre, planter un bouleau représente 3 heures de main d'œuvre, contre 2 heures pour un platane, or la commune ne pourra pas consacrer à ces opérations plus de 800 heures.
1) En appelant x le nombre de bouleaux et y le nombre de platanes que l’on va planter, montrer que les contraintes liées au nombre total d’arbres, à la surface disponible et au temps passé donnent le système ci-contre (expliquer en détails). 1 pt
Le nombre total d'arbres doit atteindre au moins 250, soit : x+ ≥y 250.
La surface utilisée vaudra x fois 20 m² + y fois 40 m², et ne peut dépasser 8000 m², soit : 20x+40y≤8000, soit en divisant par 40 : 0,5x+ ≤y 200.
Le temps passé au total vaut x fois 3 h + y fois 2 h, et ne peut dépasser 800 h, soit : 3x+2y≤800, soit en divisant par 2 : 1,5x+ ≤y 400.
Les trois inéquations précédentes forment le système proposé par l'énoncé.
2) Représenter graphiquement, ci-dessous, la zone du plan solution de ce système (suivre les graduations
imposées sur les axes). 2,5 pts
voir les trois droites noires et la zone verte
3) On note C le coût de l'opération, que le maire de cette commune souhaite bien sûr minimiser. Ce dernier estime les coûts d'achat et de plantation à 300 € par bouleau et 200 € par platane.
a. Exprimer C en fonction de x et y. 0,5 pt
300 200
C= x+ y
b. Montrer qu’alors sous forme réduite : 1,5 200
y= − x+ C . 0,5 pt
c. Tracer la droite d’iso-coût correspondant à C = 70 000 €. 1 pt
Voir droite en pointillés rouges, d'équation y= −1,5x+350.
250 0,5 200 1,5 400
y x
y x
y x
≥ − +
≤ − +
≤ − +
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d. Déterminer alors graphiquement (et justifier) la droite d’iso-coût toujours compatible avec la zone solution obtenue en question 2, et correspondant au coût le plus faible possible. 1 pt Toutes les droites d'iso-coût ont la même pente (-1,5) : elles sont donc parallèles entre elles.
Leur ordonnée à l'origine (C/200) décroît avec C : il faut donc trouver la droite la plus basse possible.
Cette dernière est cette qui contient le point A, dont les coordonnées semblent être 100 et 150.
e. Conclure (en justifiant par des calculs) sur le nombre d’arbres de chaque sorte à planter et sur le coût que
cela représentera pour la commune. 1,5 pt
Vérifions : A répond au système
( ) ( )2 1
250 0,5 50 100 et donc 250 100 250 150
0,5 200
y x
x x y x
y x
= − + −
⇒ = ⇔ = = − + = − + =
= − +
Pour minimiser les coûts tout en respectant les contraintes, il faut donc acheter et planter 100 bouleaux et 150 platanes, pour un coût C=300x+200y=60000 €.
Exercice 5 : second degré (2 points)
Étudier le signe du polynôme − +x2 4x+21.
Son premier coefficient est négatif. Ce polynôme présente donc des valeurs négatives pour tout x, sauf s'il admet des racines et que l'on choisit x entre les deux.
∆ = 16 + 84 = 100. Le polynôme admet bien deux racines réelles distinctes. Elles valent -3 et 7.
Conclusion : − +x2 4x+21 est positif sur [-3 ; 7] et négatif pour les autres valeurs de x.
____________________ FIN DU SUJET ____________________
