2016-2018 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – CORRIGE – page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2016-2018 18/11/2016
Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : taux et mathématiques financières (6 points)
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes : elles représentent trois exercices différents.
1) Une baguette de pain valait en moyenne 0,80 € à une date « d » et on a constaté que ce prix moyen est monté à 0,85 € un an plus tard (date « d+1 »).
a. Calculer le taux de variation de ce prix de la date d à la date d+1. 1 pt t = (0,85 – 0,80) / 0,80 = 0,0625 = 6,25%
b. Quel devrait être le taux de variation du prix, de la date d+1 à la date d+2, pour que le prix à la date
d+2 revienne à 0,80 € ? 1 pt
t = (0,80 – 0,85) / 0,85 ≈ -0,05882 = -5,882%
c. En fait, on a constaté une augmentation de 15% du prix de la baguette, de la date d à la date d+2.
Quel est donc le prix constaté à la date d+2 ? 1 pt
prix = 0,80 × 1,15 = 0,92 €
2) Un capital initial de 800 € placé sur un compte rémunéré en intérêts composés a rapporté 200 € d’intérêts en trois ans et demie. Quel était le taux du placement ? 1,5 pt 1000 = 800 × (1 + t)3,5 ⇔ 1,25 = (1 + t)3,5 ⇔ 1 + t = 1,251/3,5≈ 1,06583 ⇔ t ≈ 0,06583 = 6,583 % 3) M. Carl Heurt, artisan, doit rembourser un emprunt de 3 000 € contracté auprès de sa banque. Il a été
convenu d’un remboursement en quatre annuités, sous le mode des amortissements constants. Le taux d’intérêts annuel est fixé à 7%. Former et compléter le tableau d’amortissement de l’emprunt. 1,5 pt
Années
Capital restant dû (début de
période)
Amortissement Intérêts Annuités de remboursement
Capital restant dû (fin de
période) N
N + 1 N + 2 N + 3
3000 2250 1500 750
750 750 750 750
210 157,5
105 52,5
960 907,5
855 802,5
2250 1500 750
0
3000 525 3525
Exercice 2 : programmation linéaire (6 points)
De nouvelles normes environnementales imposent à une commune de planter au moins 100 arbres. Cette commune peut choisir parmi des bouleaux et des platanes, autant qu’elle veut de chaque sorte, pourvu que le total atteigne ou dépasse 100. Pour ces futures plantations, la surface disponible s’élève à 80 ares (1 are = 100 m²) ; or un bouleau occupe 20 m² et un platane 100 m². En outre, la commune ne veut pas dépenser plus de 30 000 € en tout, alors qu’un bouleau lui reviendra à 320 € et un platane à 200 €.
1) En appelant x le nombre de bouleaux et y le nombre de platanes que l’on 1 pt va planter, montrer de façon détaillée que l’écriture des contraintes liées
au nombre total d’arbres, à la surface disponible et à la dépense donne le système ci-contre.
On va planter x bouleaux et y platanes.
Nombre total d’arbres : x + y ; contrainte : ≥ 100 ; x + y ≥ 100
Surface totale : 20x + 100y ; contrainte : ≤ 8000 m² ; division par 100 : 0,2x + y ≤ 80
y x
y x
y x
≥ − +
≤ − +
≤ − +
100 0,2 80 1,6 150
2016-2018 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – CORRIGE – page 2 sur 3 Coût total : 320x + 200y ; contrainte : ≤ 30000 € ; division par 200 : 1,6x + y ≤ 150 D’où le système proposé dans l’énoncé.
2) Représenter ci-dessous la zone du plan solution de ce système (échelles : 1 cm pour 10 arbres). 2 pts
La zone colorée est la zone solution du système des contraintes.
3) La commune se verra allouer une subvention de 120 € par arbre planté, si bien que la subvention totale accordée peut être écrite en fonction des quantités x et y de la sorte : S = 120x + 120y. L’objectif pour la commune est de choisir le nombre d’arbres à planter, de chaque essence, pour maximiser la subvention tout en respectant ses contraintes.
a. Montrer que sous forme réduite on peut écrire y = -x + S/120. 0,5 pt Divisons par 120 l’égalité S = 120x + 120y : S/120 = x + y. D’où la forme réduite demandée.
b. Tracer sur le graphique au-dessus la droite correspondant à une subvention de 13 000 €. 0,5 pt D13000 : y = -x + 13000/120. Deux points : (0, 108,3) et (100, 8,3).
c. Déterminer alors graphiquement (et justifier grâce à la question 3a) la droite d’iso-subvention donnant la plus forte subvention que la commune puisse toucher compte tenu de ses contraintes. 1 pt La droite d’iso-subvention donnant la plus forte subvention que la commune puisse toucher compte tenu de ses contraintes est celle dont l’ordonnée à l’origine est la plus forte (car cette dernière vaut S/120), donc la droite la plus haute possible encore en contact avec la zone solution, tout en étant parallèle à D13000 (puisque toutes les droites d’iso-subvention ont la même pente : -1). La droite cherchée est donc celle qui contient le point d’intersection de D2 et D3.
d. Conclure (en justifiant par des calculs) : combien d’arbres de chaque essence doit-elle planter et
combien vaudra alors la subvention accordée ? 1 pt
Recherche du point d’intersection : -0,2x + 80 = -1,6x + 150 ⇔ 1,4x = 70 ⇔ x = 50.
Puis : y = -0,2x + 80 = -0,2×50 + 80 = 70.
Il faut donc planter 50 bouleaux et 70 platanes pour avoir la subvention la plus importante, dont la valeur est S = 50×120 + 70×120 = 14400 €.
D1
D2
D3
2016-2018 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – CORRIGE – page 3 sur 3 Exercice 3 : second degré (3 points)
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1) Étudier le signe du polynôme 3x² – 2x – 1 , puis donner les coordonnées du sommet de sa parabole
représentative. 1,5 pt
Le premier coefficient est positif : ce polynôme est donc décroissant puis croissant. Il est positif, sauf si x est choisi entre les racines, si elles existent.
Existence de racines : ∆ = 2² - 4×3× (-1) = 16. Deux racines : -1/3 et 1.
Conclusion : ce polynôme est négatif si et seulement si x est compris entre -1/3 et 1.
Abscisse du sommet : -b/2a = 1/3 ; ordonnée du sommet : 3× (1/3)² - 2× (1/3) – 1 = -4/3.
2) On donne le polynôme x² + bx + 1 où b est un paramètre que l’on peut choisir dans l’ensemble des nombres réels. À quelle condition sur b ce polynôme est-il de signe constant ? 1,5 pt Ce polynôme ne change pas de signe si et seulement s’il n’admet pas deux racines. Il faut donc que son discriminant soit négatif ou nul. ∆≤ 0 ssi b² - 4 ≤ 0 ssi b² ≤ 4 ssi b ∈ [-2 ; 2].
Exercice 4 : fonction (5 points)
Une entreprise peut fabriquer, en un mois, un nombre x de téléviseurs LCD, variable, compris entre 0 et 1000.
Le coût de production dépend de cette quantité ; on le note C x
( )
et il se calcule par la formule suivante :( )
C x =0,05x+2 x+15 (coût obtenu en milliers d’euros)
1) Montrer que si ces téléviseurs sont vendus 200 € pièce, alors le bénéfice réalisé sur la production et la vente de x unités peut s’exprimer (en milliers d’euros) par : B x
( )
=0,15x−2 x−15 . 1 ptLe prix de vente à l’unité est 0,2 millier d’euros. Le chiffre d’affaires vaut donc 0,2x.
Le bénéfice est alors : B x
( )
=0,2x−(
0,05x+2 x+15)
=0,15x−2 x−15 .2) a. Donner l’expression B x′
( )
de la dérivée du bénéfice. 1 pt( )
B x′ = − 1x = − 1x
0,15 2 0,15
2 .
b. Montrer alors que le bénéfice augmente avec x pour toute valeur x supérieure à 100. 1 pt Si x > 100, alors
x <
1 1
10 et B x
( )
′ = − 1x > − >
0,15 0,15 0,1 0 . Le bénéfice est donc croissant.
3) On souhaite connaître la valeur de x à partir de laquelle le bénéfice est positif. On peut remarquer que si on note « X » le nombre x, alors le bénéfice vaut 0 15, X2−2X −15.
a. Étudier le signe du polynôme précédent, en fonction de X. 1 pt Le premier coefficient est positif : ce polynôme est donc décroissant puis croissant. Il est positif, sauf si X est choisi entre les racines, si elles existent.
Existence de racines : ∆ = 2² - 4×0,15× (-15) = 13. Deux racines : 2− 13<
0,3 0 et 2+ 13 >
0,3 0.
b. Conclure alors sur la réponse à apporter à la question 3. 1 pt Conclusion : le bénéfice est positif si et seulement si x>2+ 13≈
18,685
0,3 . Il faut donc x > 349,13.
Il faut donc vendre au moins 350 téléviseurs pour avoir un bénéfice positif.
____________________ FIN DU SUJET ____________________
