Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

2016-2018 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2016-2018 14/04/2017

Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 : QCM (3 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) Compléter en choisissant parmi les propositions : "Dans un test du Khi-deux, le seuil de risque est la probabilité que H0 soit ___[1]___ sachant qu'on l'a ___[2]___."

[1] vraie [1] vraie [1] fausse [1] fausse

[2] rejetée [2] acceptée [2] rejetée [2] acceptée

2) Les moyennes mobiles des valeurs 3 ; 5 ; 4 ; 6 ; 4 ; 7 prises deux par deux sont :

4 ; 5 ; 5,5 3 ; 4 ; 4 4 ; 4,5 ; 5 ; 5 ; 5,5 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11

3) Si les résidus calculés entre un nuage de points et une droite sont tous faibles, alors :

|r| ≈ 1 cov(X,Y) ≈ 0 |r| ≈ 0 cov(X,Y) ≈ 1

Exercice 2 : Test du χ² (5,5 points)

On donne le tableau de contingence suivant regroupant 418 femmes, classées selon la couleur des yeux et la couleur des cheveux :

Couleur des cheveux

Bruns Châtains Roux Blonds Couleur des

yeux

Marron 82 118 20 35

Verts 11 16 11 8

Bleus 33 42 18 24

1) Par un test du Khi-deux, peut-on dire au seuil de 2% s'il y a une relation entre la couleur des cheveux et la couleur des yeux dans la population dont cet échantillon est extraite ? 3 pts tableau des effectifs théoriques :

76,866 107,368 29,892 40,873 255 13,866 19,368 5,392 7,373 46 35,268 49,263 13,715 18,753 117

126 176 49 67 418

tableau des Khi-2 :

0,3429 1,0527 3,2737 0,8439 0,5924 0,5858 5,8316 0,0533 0,1458 1,0709 1,3385 1,4677

16,6

Hypothèse nulle H0 : La couleur des cheveux et celle des yeux sont indépendantes dans la population.

Khi-2 obtenu de la comparaison des effectifs observés et théoriques : χ²calc = 16,6 Zone de rejet : 6 ddl et α = 2% donnent χ²lim = 15

Comparaison et décision : χ²calc > χ²lim , donc on peut rejeter H0 au seuil de 2%.

2) Donner une explication concrète du seuil de risque indiqué en question 1. 1 pt En affirmant que les deux variables sont dépendantes (la distribution des individus par couleur des yeux dépend de leur couleur de cheveux), nous prenons moins de 2% de risque de nous tromper.

3) En regardant en détails les khi-2 partiels, dire pour quelle couleur de cheveux on a une répartition de la couleur des yeux sensiblement différente du reste de la population. 1,5 pt Les Khi-2 partiels les plus importants correspondent aux personnes de cheveux roux ; dans cette catégorie, la répartition des individus par couleurs des yeux est très différente.

2016-2018 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE Exercice 3 : (6,5 points)

L'évolution de la valeur du SMIC horaire est montrée dans le tableau ci-dessous sur la période des treize dernières années. Le nuage de points correspondant est également affiché.

année

rang année

SMIC horaire brut (€)

X Y

2005 1 8,03

2006 2 8,27

2007 3 8,44

2008 4 8,71

2009 5 8,82

2010 6 8,86

2011 7 9,10

2012 8 9,31

2013 9 9,43

2014 10 9,53

2015 11 9,61

2016 12 9,67

2017 13 9,76

Y

X

1) a. Donner l'équation de la droite de régression de Y en X selon les moindres carrés. 1 pt y = 0,1439x + 8,034

b. Tracer cette droite sur la représentation graphique ci-dessus. 1 pt c. Avec cet ajustement linéaire, calculer une estimation du SMIC horaire brut en 2025. 1 pt y = 0,1439×21 + 8,034 = 11,056 €

2) Il semble qu'un ajustement linéaire ne soit pas le meilleur modèle pour refléter l'évolution constatée : on décide d'effectuer le changement de variable T = X .

a. Calculer la covariance du couple (T, Y) puis son coefficient de corrélation linéaire. Interpréter. 2 pts

( )

( )

( ) ( )

, ,

302,585

2,5273 9,04154 0,42533 13

0,42533

0,9955 0,78287 0,54572

i i

TY

Cov T Y t y t y n

Cov T Y

r T Y

=∑ − × = − × ≈

= ≈ ≈

× ×

σ σ

Ce coefficient de corrélation linéaire est excellent car très proche de 1 et très supérieur à 0,95.

Une régression linéaire rend particulièrement bien compte de la relation entre T et Y.

b. Donner l’équation de la droite de régression de Y sur T, selon la méthode des moindres carrés. 0,5 pt y = 0,6940 t + 7,288

c. Donner alors, avec ce nouveau modèle, une estimation du SMIC horaire brut en 2025. 1 pt y'0 = 0,6940 × 21 + 7,288 ≈ 10,468 €

Exercice 4 : (5 points)

Un site web de conseil en automobile a recensé les valeurs à la revente de plusieurs véhicules d'un même modèle en fonction de leur ancienneté. Les résultats chiffrés et le nuage de points correspondant sont donnés ci-dessous :

âge du véhicule (années) : X 1 1,5 2 3 3 4 5 7

valeur à la revente (k€) : Y 9200 6700 5500 4300 4200 3750 3400 3000

2016-2018 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE

1) Un ajustement linéaire serait ici absurde. On se propose de pratiquer le changement de variable suivant : T 1

= X , dans le but de modéliser la corrélation linéaire supposée entre T et Y. Donner l’équation de la droite de régression de Y en T, selon la méthode des moindres carrés. 1 pt y = 7241,36 t + 1904,96

2) On souhaite avoir une estimation du prix de vente d'un véhicule du même modèle, mais âgé de 10 ans.

a. Déterminer l'estimation ponctuelle de ce prix. 1 pt

y'0 = 7241,36 × 1

10 + 1904,96 ≈ 2629,10 €

b. Déterminer une estimation de ce prix par un intervalle à 95% de confiance (on obtiendra d'abord un intervalle pour T suivant la méthode des rapports, puis on traduira cela en valeurs de X). 2,5 pts

À partir de l'équation obtenue en question 1, on obtient les valeurs de Y' ; puis on calcule les rapports Z = Y/Y'.

X 1 1,5 2 3 3 4 5 7

Y 9200 6700 5500 4300 4200 3750 3400 3000

T 1 0,666667 0,5 0,333333 0,333333 0,25 0,2 0,142857

Y' 9146,33 6732,54 5525,65 4318,75 4318,75 3715,30 3353,24 2939,44 Z 1,005868 0,995167 0,995359 0,995658 0,972503 1,009339 1,013946 1,020601

Pour la variable Z, on a : z≈1,001 et σ_Z ≈0,013926^.

L'intervalle de confiance à 95% est alors : I=y⁰′

(

)

(

)

[

]

c. D'après cette dernière estimation, quel est le pourcentage de tels véhicules âgés de 10 ans qui se

vendront plus de 2560 € ? 0,5 pt

Il y a donc environ 97,5 % des véhicules dont le prix dépassera la valeur minimale donnée par l'intervalle.