CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 2: Espaces vectoriels normés, continuité

CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 2:

Espaces vectoriels normés, continuité

Jeudi 12 octobre 2006

1 Espaces vectoriels normés

Soit un E un espace vectoriel sur un corps K .

Une norme sur E est une application N de E dans R ⁺ veriant:

∀x ∈ E × E N(x) = 0 ⇒ x = 0

∀(λ, x) ∈ K × E N (λx) = |λ|N (x)

∀(x, y ) ∈ E ² N (x + y) ≤ N (x) + N (y)

Exemples

-Sur l'espace vectoriel R ⁿ ; en notant (x ₁ , x ₂ , ..; x _n ) les coordonnées d'un vecteur quel- conque de cet espace, k x k _p = (| x ₁ | ^p +...+ | x _n | ^p )

et k x k _∞ = Sup _1≤i≤n | x _i | dénissent des normes. Le cas p=2 est très particulier, on retrouve la norme eucli- dienne provenant du produit scalaire classique.

-Soit E = C([a, b], R ) , l'ensemble des fonctions numériques continues sur l'intervalle [a, b]

k f k ₂ = ( R b

a | f(x) | dx)

k f k _∞ = Sup _x∈[a,b] | f (x) |

sont des normes sur l'ensemble C ([a, b], R )

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Remarque: k f k ₂ = ( R b

a | f (x) | dx)

provient aussi d'un produit scalaire. Cette norme a de nombreuses applications en physique. Elle permet de modéliser l'energie d'un signal entre autre.

Remarque

Un espace vectoriel normé (e.v.n) est un cas particulier d'epace métrique; on pose en eet si (E, N ) est un e.v.n en posant d(x, y) = N (x − y) on vérie que d est une dis- tance. En revanche la réciproque est fausse. Par exemple, la distance lexicographique entre les mots d'un langages n'est liée a aucune structure d'espace vectoriel.

1.1 Equivalence de normes

D'après la remarque précédente, On a une notion d'équivalence de normes, heritée de l'équivalence des distances:

On dit que deux normes sont équivalentes quand:

∃α, β tel que ∀x ∈ E αN ₁ (x) < N ₂ (x) < βN ₁ (x).

Théorème

Dans un espace vectoriel de dimension nie, toutes les normes sont équivalentes.

La consequence pratique de ce théorème intervient quand on fait de l'analyse sur R ⁿ ;c'est le cas qui nous importe pour ce cours. Par contre en analyse fonctionnelle où l'on manipule des espaces fonctionnels de dimensions innies ce resultat ne sub- siste pas et le choix d'une norme adaptée au problème à resoudre est très important.

1.2 Produit scalaire, espace euclidien

Le cas p = 2 vu precèdement permet vraiment de faire de la géometrie euclidienne car l'orthogonalité peut être modélisée:

Un produit scalaire ϕ sur E est une forme bilinéaire symétrique (2- tenseur symétrique comme on le verra) dénie et positive:

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ϕ(x, y) = ϕ(y, x)

ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y)

ϕ(x, x) ≥ 0

ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0

Exemple, remarque

-Sur R ⁿ : ϕ(x, y) = x 1 y 1 + ...x n y n si x = (x 1 , ...x n ) et y = (y 1 , ...y n ) est un produit scalaire

-Sur C([a, b], R ) ϕ(x, y) = R b

a f(x)g(x)dx) est un produit scalaire.

En physique on a coutume de nommer produit scalaire :

< x, y >= c ² .tt ⁰ − x ₁ y ₁ − x ₂ y ₂ − x ₃ y ₃

même si ce réel n'est pas déni positif. Dire que ϕ(x, x) est nul c'est dire que l'on se déplace à la vitesse de la lumière.

2 Limite, continuité

-Soit (X 1 , O 1 ) , (X 2 , O 2 ) deux espaces topologiques. f une application de X 1 vers X ₂ . On dit que f admet une limite l quand x tend vers a lorsque:

∀V ∈ V(l) ∃U ∈ V(a) / f(U ) ⊂ V

-Si f est dénie au point a et que l = f(a) ,on dit que f est continue au point a -Remarque: à partir de cette dénition générale; on retrouve toutes les dénitions classiques de limite et continuité.

2.1 application de la dénition générale

1) X 1 = X 2 = R et les ouverts engéndrés par les intervalles ouverts.

modelisons lim x→a f (x) = l (*):

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Un voisinage de l contient un intervalle ]l − ε, l + ε[

Un voisinage de a contient un intervalle ]a − α, a + α[

(*) devient:

∀ > 0 , ∃α > 0 f (]a − α, a + α[) ⊂]l − ε, l + ε[

Ou encore:

∀ > 0 , ∃α > 0 |x − a| < α ⇒ |f (x) − l| < ε

2)modelisons la limite d'une suite: lim n→+∞ f (n) = l (*):

V _n = {n + 1, n + 2, ...} forme une famille d'ouverts donc:

Un voisinage de l contient un intervalle ]l − ε, l + ε[

Un voisinage de +∞ contient un V _N = {N + 1, N + 2, ...}

(*) devient:

∀ > 0 , ∃N > 0 f ({N + 1, N + 2, ...}) ⊂]l − ε, l + ε[

Ou encore:

∀ > 0 , ∃N > 0 n > N ⇒ |f(n) − l| < ε

en posant u _n = f(n) On retrouve la dénition connue.

2.2 Continuité d'une application de R ⁿ dans R ^p

Rappelons que dans un espace de dimension nie toutes les normes sont équivalentes:

On choisit donc N ₁ appropriée a la source, N ₂ au but et:

On dit que f admet l pour limite quand x tend vers x ₀ quand:

∀ > 0 , ∃α > 0 N ₁ (x − x ₀ ) < α ⇒ N ₂ (f(x) − l) < ε

On dit que f est continue en x ₀ quand: lim _x→x

f (x) = f(x ₀ )

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