A627. Partitions et concaténations (* à *****)
Q1 Trouver l’entier n à 3 chiffres qui est en même temps :
- la somme de deux entiers tels que n² s’obtient par concaténation de ces deux entiers,
- la somme de trois entiers tels que n³ s’obtient par concaténation de ces trois entiers dont l’un d’eux s’écrit par convention sous la forme 0xy.
Q2 Trouver tous les entiers n à 6 chiffres qui sont la somme de deux entiers à 6 chiffres tels que n² s’obtient par concaténation de ces deux entiers.
Pour les plus courageux
q1 Trouver tous les entiers n à 4 chiffres qui sont la somme de trois entiers à 4 chiffres tels que n³ s’obtient par concaténation de ces trois entiers.
q2 Trouver tous les entiers n à 3 chiffres qui sont la somme de quatre entiers non nuls tels que n4 s’obtient par concaténation de ces quatre entiers.
Nota : les calculs de Q1 et de Q2 peuvent s’effectuer sans l’aide d’un quelconque automate.
Solution de Paul Voyer
Q1
Le seul entier convenable est n = 297 . n² = 88 209 et 297 = 88 + 209
n³ = 26 198 073 et 297 = 26 + 198 + 073.
Q2
n = a+b = 1000x + y
n² = 1 000 000*a+b comporte 12 chiffres, donc n >100 000 10 (316 228).
On trouve 21 solutions utilisant 2 entiers à 6 chiffres :
n a b
318682 101558 217124 329967 108878 221089 351352 123448 227904 356643 127194 229449 390313 152344 237969 461539 213018 248521 466830 217930 248900 499500 249500 250000 500500 250500 250000 533170 284270 248900 538461 289940 248521 609687 371718 237969 643357 413908 229449 648648 420744 227904 670033 448944 221089 681318 464194 217124 791505 626480 165025 812890 660790 152100
818181 669420 148761 851851 725650 126201 857143 734694 122449
q1
n = a+b+c
n³ = 100 000 000*a+10 000*b+c
On trouve 5 solutions utilisant 3 entiers à 4 chiffres :
n a b c
4949 1212 1388 2349
5049 1287 1113 2649
5455 1623 2457 1375
5554 1713 2377 1464
7172 3689 1035 2448
q2
La seule solution est 4334 = 35 152 125 121 et 35 + 152 + 125 + 121 = 433
Résulte d'une étude sur tableur avec :
100 ≤ n ≤ 177 n4 a 9 chiffres répartis en aaa, bb, cc, dd et autres combinaisons 178 ≤ n ≤ 316 n4 a 10 chiffres
317 ≤ n ≤ 562 n4 a 11 chiffres
563 ≤ n ≤ 999 n4 a 12 chiffres aaa,bbb,ccc,ddd
