1er problème
On désigne par D,E,F les projections des sommets d’un triangle ABC sur une droite quelconque (L).Démontrer que les perpendiculaires aux trois côtés BC,CA et AB passant respectivement par D,E et F sont concourantes.
2ème problème
Soit un ABCD un quadrilatère circonscrit à un cercle (Γ) avec BC > BA. On trace sur le côté BC le point P tel que BP = BA. Démontrer que la bissectrice de l’angle BCD, la perpendiculaire à la droite BC passant par P et la perpendiculaire à la droite BD passant par A sont concourantes.
1er problème : Nous avons l’égalité des produits scalaires AB.DF=AC.DE=DE.DF.
Si les perpendiculaires à AC et AB menées respectivement par E et F se coupent en M, AB.DM=AB.DF et AC.DM=AC.DE. Alors
BC.DM=AC.DM-AB.DM
=AC.DE-AB.DF=0 : DM est
perpendiculaire à BC, ou encore les perpendiculaires à BC, CA, AB passant respectivement par D, E et F sont concourantes.
2ème problème : Soit M l’intersection de la perpendiculaire à BC passant par P avec la bissectrice de BCD, Q la projection de M sur CD : ABCD étant circonscrit, AB+CD=BC+DA, et comme AB=BP et CP=CQ , AD=DQ.
MP est tangente en P au cercle de centre B passant par A, et MQ tangente en Q au cercle de centre D passant par A. M étant sur la bissectrice,
MP=MQ , donc M appartient à l’axe radical de ces deux cercles, qui passe par A et est
perpendiculaire à la ligne des centres, BD.
