Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
Considérons la suite d’entiers consécutifs p+i avec p≥0 et 1≤i≤n, ainsi que sa moyenne m=∑(p+i)/n=p+(n+1)/2 , et sa variance, carré de l’écart-type e, e2=∑(p+i-m)2/n.
m sera entier si n=2j-1 est impair ( j>1) ; alors m=p+j et e2=∑(i-j)2/n : i-j varie de 1-j à j-1, donc e2=2*j(j-1)(2j-1)/6n=j(j-1)/3
Comme n2=4j2-4j+1, l’équation j(j-1)=3e2 peut encore s’écrire n2-3*(2e)2=1 : si k=2e, n2-3k2=1 est une équation de Fermat-Pell dont la première racine est n=2, k=1 (qui ne convient pas car n est pair), puis les suivantes données par n’=2n+3k, k’=n+2k.
Les solutions de parité correcte sont n=7, k=4, soit e=2 ; puis n=97, k=56, e=28 ; et enfin n=1351, k=780 soit e=390.
